Application of Determinants MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Application of Determinants - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Apr 7, 2025
Latest Application of Determinants MCQ Objective Questions
Application of Determinants Question 1:
यदि किसी त्रिभुज के शीर्ष (1, 2), (2, 5) और (4, 3) हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा -
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 1 Detailed Solution
अवधारणा
जिसके तीन शीर्ष दिए गए हैं, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
स्पष्टीकरण:
अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।
Application of Determinants Question 2:
यदि किसी त्रिभुज के शीर्ष (1, 2), (2, 5) और (4, 3) हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा -
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 2 Detailed Solution
अवधारणा
जिसके तीन शीर्ष दिए गए हैं, किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
स्पष्टीकरण:
अतः विकल्प (2) सही उत्तर है।
Application of Determinants Question 3:
एक निकाय समीकरण पर विचार करें:
जहाँ
| सूची-I | सूची-II | |
|---|---|---|
| (I) | क्रमित युग्मों |
(P) 1 |
| (II) | क्रमित युग्मों |
(Q) 9 |
| (III) | क्रमित युग्मों |
(R) 91 |
| (IV) | क्रमित युग्मों |
(S) 90 |
Answer (Detailed Solution Below)
I → S, II → Q, III → P, IV → R
Application of Determinants Question 3 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है:
रैखिक समीकरणों का निकाय है:
गुणांक आव्यूह A है:
संवर्धित आव्यूह [A|B] है:
A के सारणिक, |A| की गणना करें:
⇒ अद्वितीय हल के लिए,
कोई हल नहीं या अनंत हल के लिए,
⇒ यदि
⇒ दूसरे और तीसरे समीकरणों से, एक हल के अस्तित्व के लिए,
⇒ यदि
⇒ यदि
(I) अद्वितीय हल:
(II) कोई हल नहीं:
(III) अनंत हल:
(IV) कम से कम एक हल: कुल युग्म - कोई हल नहीं वाले युग्म= 100 - 9 = 91
∴ (I) - (S), (II) - (Q), (III) - (P), (IV) - (R)
Application of Determinants Question 4:
यदि बिंदु (5, 2, 4), (6, -1, 2) और (8, -7, k) संरेख हैं, तब k का मान ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 4 Detailed Solution
दिया गया है:
बिंदु (5, 2, 4), (6, -1, 2) और (8, -7, k) हैं
प्रयुक्त अवधारणा:
इन बिन्दुओं के प्रयोग द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0
गणना:
⇒ 5(- k + 14) - 2(6k - 16) + 4(- 42 + 8) = 0
⇒ - 5k + 70 - 12k + 32 + 4(- 34) = 0
⇒ -17k + 102 - 136 = 0
⇒ -17k - 34 = 0
⇒ -17k = 34
⇒ k = -2
अतः, सही उत्तर "-2" है।
Application of Determinants Question 5:
मान लीजिए α, β (α ≠ β) m के वे मान हैं जिनके लिए समीकरण x + y + z = 1; x + 2y + 4z = m और x + 4y + 10z = m² के अनंत हल हैं। तब
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 5 Detailed Solution
= 4 - 6 + 2 = 0
अनंत हलों के लिए
Δx = Δy = Δz = 0
m² - 3m + 2 = 0
m = 1, 2
α = 1, β = 2
= 55 + 385
= 440
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k के किस मान के लिए समीकरण निकाय kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k2 का कोई हल नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 6 Detailed Solution
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माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
⇒ AX = B
⇒ X = A-1 B =
⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत है।
⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ संगत है।
⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत (कोई हल नहीं) है।
गणना:
दिया गया समीकरण: kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k2
⇒ दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं होने के लिए, |A|=0
⇒ k (k2 – 1) -1(K – 1) +1(1 – k) = 0
⇒ k3 – k – k +1 +1 – k = 0
⇒ k3 -3k +2 = 0
⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0
⇒ k = 1, -2
यदि हम दिए गए उपरोक्त समीकरण में k = 1 रखते हैं, तो सभी समीकरण समान हो जायेगा।
अतः k = -2 होने पर दिए गए समीकरण में कोई हल नहीं हैं।
यदि शीर्ष (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है, तो k का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 7 Detailed Solution
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शीर्ष (x1, y1) , (x2, y2), (x3, y3) वाले एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है
क्षेत्रफल =
गणना:
दिया गया है, शीर्ष (-3, 0), (3, 0) और (0, k) वाले एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है।
⇒ क्षेत्रफल =
⇒ क्षेत्रफल =
⇒ क्षेत्रफल = 3k
प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई है।
⇒ 3k = 9
⇒ k = 3
अतः k का मान 3 है।
एक समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा a के बराबर होती है। यदि इसके शीर्षों के निर्देशांक (x1, y1); (x2, y2): (x3, y3) हैं तो सारणिक
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 8 Detailed Solution
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समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल =
गणना:
दिया है : इसके शीर्षों के निर्देशांक (x1, y1); (x2, y2): (x3, y3) हैं फिर सारणिक
(△ ABC ) =
दोनों ओर वर्ग करने पर,
⇒
⇒
यदि A, 2 × 2 आव्यूह और |A| = 5 है, तो |5A| का मान क्या होगा? (| | सारणिक को दर्शाता है)
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 9 Detailed Solution
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सारणिक के गुण:
n×n वाले आव्यूह A के लिए, det(kA) = kn det(A).
गणना:
दिया गया है कि:
|A| = 5
k = 5
सारणिकों के गुणों से हम जानते हैं कि |KA| = Kn |A| है, जहाँ n सारणिक की कोटि है।
यहाँ n = 2 है, इसलिए उत्तर K2 |A| है।
|5A| = 52|A|
|5A| = 52 × 5 = 125
यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 10 Detailed Solution
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यदि
क्षेत्रफल =
सारणिकों के गुण
गणना:
यदि
क्षेत्रफल =
दिया हुआ: क्षेत्रफल 'k' वर्ग इकाइयाँ है
⇒ k =
⇒
अब,
=
=
= 16.(2k)(2k)
= 64k2
बिंदु A (1, 1) ,B ( 6, 0) और C ( 3, 2) पर शीर्ष के साथ त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 11 Detailed Solution
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यदि
क्षेत्रफल =
सूचना: क्षेत्रफल सदैव एक धनात्मक राशि है, इसलिए हम सदैव क्षेत्रफल के लिए सारणिक का विशिष्ट मान लेते हैं।
गणना:
दिया गया शीर्ष A (1, 1) ,B ( 6, 0) और C ( 3, 2) हैं।
हम जानते हैं कि त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है,
Δ =
⇒ Δ =
⇒ Δ =
⇒ Δ =
सही विकल्प 1 है।
शीर्ष (K, 0), (4, 0), (0, 2) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 4 वर्ग इकाई है, तो K का मान क्या है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 12 Detailed Solution
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एक त्रिभुज के क्षेत्रफल को निम्न समीकरण द्वारा ज्ञात किया गया है, जिसके शीर्ष (x1, y1), (x2, y2) और (x3, y3) हैं
गणना:
दिया गया है, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 4 वर्ग इकाई और शीर्ष (K, 0), (4, 0), (0, 2) है।
इसलिए क्षेत्रफल सदैव धनात्मक होता है लेकिन सारणिक धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है।
∴ Δ = ± 4 .
⇒ ± 4 =
⇒ ± 4
⇒ ± 8 = -2k + 8
इसलिए, 8 = -2k + 8 या -8 = -2k +8
⇒ k = 0 या 8 .
सही विकल्प 2 है।
यदि एक का मान _____ है तो बिंदु (5, -2), (8, -3) और (a, -12) संरेखीय है।
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 13 Detailed Solution
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यदि बिंदु A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) संरेखीय हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0
माना कि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं, फिर Δ ABC का क्षेत्रफल (A):
गणना:
यहाँ, हमें k के मूल्य का पता लगाना है जिसके लिए बिंदु (5, -2), (8, -3) और (a, -12) संरेखीय हैं
माना कि
x1 = 5, y1 = -2,
x2 = 8, y2 = -3,
x3 = a, y3 = -12.
जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल =
2A = 5 (-3 + 12) + 2(8 - a) + 1(-96 + 3a)
2A = 45 + 16 - 2a - 96 + 3a
2A = a - 35
⇒ A = (a - 35)/2
∵ दिए गए बिंदु संरेखीय हैं।
जैसा कि हम जानते हैं कि, यदि A (x1, y1), B (x2, y2) और C (x3, y3) एक Δ ABC के शीर्ष हैं तो ΔABC का क्षेत्रफल = 0।
⇒ (a - 35)/2 = 0
⇒ a = 35
इसलिए विकल्प D सही उत्तर है।
Alternate Method
अवधारणा:
तीन या अधिक बिंदु संरेखीय है यदि अंकों के किसी भी दो जोड़े का ढलान समान है।
अलग-अलग बिंदुओं (x1, y1) और (x2, y2) से होकर गुजरने वाली रेखा का ढलान
गणना:
माना, A = (5, -2), B = (8, -3), C = (a, -12)
अब, AB का ढलान = BC का ढलान = AC का ढलान (∵ बिन्दुं संरेखीय हैं)
⇒ a - 8= 27
⇒ a = 27 + 8 = 35
इसलिए, विकल्प (4) सही है।
सारणिक Δ =
यदि a13 = yz, a23 = zx, a33 = xy और a13, a23, a33 की उपसारणिक क्रमशः (z − y), (z − x), (y − x) हैं, तो Δ का मान क्या है ?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
दिया गया है:
Δ =
a13 = yz, a23 = zx, a33 = xy और M13 = (z − y), M23 = (z − x), M33 = (y − x)
स्तंभ 3 के साथ सारणिक का विस्तार करने पर,
⇒ Δ = a13 (a21a32 - a22a31) - a23 (a11a32 - a12a31) + a33 (a11a2 - a12a1)
⇒ Δ = a13M13 - a23M23 + a33M33
जहाँ Mij, aij अवयव के उपसारणिक को दर्शाता है।
⇒ Δ = yz(z - y) - zx(z - x) + xy(y - x)
⇒ Δ = yz(z - y) - z2x + zx2 + xy2 - x2y
⇒ Δ = yz(z - y) + (xy2 - z2x) + (zx2 - x2y)
⇒ Δ = yz(z - y) + x(y2 - z2) + x2(z - y)
⇒ Δ = (z - y)[yz - x(y + z) + x2]
⇒ Δ = (z - y)[yz - xy - xz + x2]
⇒ Δ = (z - y)[y(z - x) - x(z - x)]
⇒ Δ = (z - y)[(z - x)(y - x)]
k के किन मानों के लिए समीकरण निकाय 2k2x + 3y - 1 = 0, 7x - 2y + 3 = 0, 6kx + y + 1 = 0 संगत है?
Answer (Detailed Solution Below)
Application of Determinants Question 15 Detailed Solution
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Consider three linear eqaution in two variable:
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
a3x + b3y + c3 = 0
Condition for the consistency of three simultaneous linear equations in 2 variables:
द्विघात समीकरण के लिए सूत्र:
ax2 + bx + c = 0
x =
गणना:
2k2x + 3y - 1 = 0 ....(1)
7x - 2y + 3 = 0 ....(2)
6kx + y + 1 = 0 ....(3)
For consistency of given simultaneous equation,
⇒ 2k2(-2- 3) - 3(7 - 18k) - 1(7 + 12k) = 0
⇒ -10k2 - 21 + 54k - 7 - 12k = 0
⇒ -10k2 + 42k - 28 = 0
⇒ 5k2 - 21k + 14 = 0
By using the formula,