Combinatorics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Combinatorics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

दिया गया है:

प्रथम पद (a) = 27

सार्व अनुपात (r) = 2/3

गुणोत्तर श्रेणी का चौथा पद ज्ञात कीजिए।

प्रयुक्त सूत्र:

गुणोत्तर श्रेणी का n-वाँ पद = a × r^(n-1)

गणना:

चौथा पद = 27 × (2/3)^(4-1)

⇒ चौथा पद = 27 × (2/3)³

⇒ चौथा पद = 27 × (8/27)

⇒ चौथा पद = 8

∴ सही उत्तर विकल्प (1) है।

अवधारणा:

घात श्रेणी:

  के रूप की श्रेणी को एक बिंदु z = z0 के सापेक्ष घात श्रेणी कहा जाता है।

यदि z₀ = 0 है, तब z₀ = 0 के सापेक्ष घात श्रेणी  है।

अभिसरण की त्रिज्या: 

माना  एक घात श्रेणी है और माना R वृत्त की त्रिज्या है जिसमें घात श्रेणी अभिसरण करती है और

गणना:

दी गई घात श्रेणी है:

माना, R अभिसरण की त्रिज्या है।  

      (∵ 1/n = 0)

⇒ R = |3x - 1|

दिया है:

प्रयुक्त संकल्पना:

सीमा तुलना परीक्षण​:

यदि an और bn दो धनात्मक श्रेणियाँ इस प्रकार हैं कि   जहां c > 0 और परिमित तब, या तो दोनों श्रेणियाँ एक साथ अभिसरण या अपसरण करती हैं

P - श्रेणी परीक्षण:

 ∑ , p > 1 के लिए अभिसारी है और p ≤  1 के लिए अपसारी है 

दी गई श्रेणी का nवां पद = u_n = 

मान लीजिये कि 

∴ तुलना परीक्षण द्वारा, Σun और Σvn अभिसरण या अपसरण दोनों करती हैं।

लेकिन Σvn अभिसारी है। [p श्रेणी परीक्षण  - p = 2 > 1]

 ∴ Σu_n अभिसारी है।

दिया गया है:

प्रयुक्त संकल्पना:

सीमा तुलना परीक्षण​:

यदि an और bn दो धनात्मक श्रेणियाँ इस प्रकार हैं कि   जहां c > 0 और परिमित तब, या तो दोनों श्रेणियाँ एक साथ अभिसरण या अपसरण करती हैं

P - श्रेणी परीक्षण:

 ∑ , p > 1 के लिए अभिसारी है और p ≤  1 के लिए अपसारी है 

∴ तुलना परीक्षण द्वारा, Σun और Σvn समान व्यवहार करते हैं।

लेकिन Σv_n =  जो  सार्व अनुपात वाली गुणोत्तर श्रेणी है

∴ Σv_n अभिसारी है।

अत: Σu_n अभिसारी है।

गणना

α = 12 + 42 + 82 …. 

⇒ tn = an2 + bn + c 

⇒ 1 = a + b + c 

⇒ 4 = 4a + 2b + c 

⇒ 8 = 9a + 3b + c 

हल करने पर हमें मिलता है,

⇒

⇒

⇒

तुलना करने पर

⇒  k = 353

दिया है,

दिया समांतर श्रेणी है 13, 11, 9……

सूत्र:

T_nt = a + (n – 1)d

a = पहला पद

d = उभयनिष्ठ पद

गणना:

a = 13

d = 11 – 13

d = (-2)

T₅₀ = 13 + (50 – 1) × (-2)

⇒ T₅₀ = 13 + 49 × (-2)

⇒ T₅₀ = 13 – 98

∴ T₅₀ = -85

संकल्पना:

a + ar + ar2 + ar3 +…..

उपरोक्त अनंत ज्यामितीय श्रृंखला का योग:

विश्लेषण:

दिया हुआ:

1 + 2(a2 + 1) + 3(a2 + 1)2 + 4(a2 + 1)3 + ......

माना कि x = (a2 + 1)

अब श्रृंखला बन जाती है

S = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + ......  ----(1)

x को दोनों तरफ से गुणा करके हम प्राप्त करते हैं

xS = x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + ...... ----(2)

(1) और (2) घटाकर, हम प्राप्त करते हैं

S(1 - x) = 1 + x + x2 + x3 + ..... ---(3)

(3) का दाहिने हाथ का पक्ष a = 1, r = x के साथ अनंत ज्यामितीय श्रृंखला बनाती है

∴ S(1 - x) =

x का मान डालते हैं, हम प्राप्त करते हैं

उपयोग किया गया सूत्र:

समांतर श्रेढ़ी का योग = n/2{पहला पद + अंतिम पद}

गणना:

पदों की संख्या = n = 12

⇒ S_n = 12/2{5 + 38}

⇒ S_n = 6{43}

⇒ S_n = 258

दिया गया है:

3 के पहले पांच गुणज

अवधारणा:

गुणज = एक गुणज एक संख्या है जिसे किसी अन्य संख्या से बिना किसी शेषफल के एक निश्चित संख्या में विभाजित किया जा सकता है।

गणना:

⇒ 3 के पहले पांच गुणज = (3 × 1), (3 × 2), (3 × 3), (3 × 4), (3 × 5) = 3, 6, 9, 12, और 15

⇒ गुणजों का योग = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 = 45

∴ अभीष्ट परिणाम 45 होगा।

दिया है:

6, 1, 2, 3 के प्रयोग से संख्या बनती है।

गणना:

पहला स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 4

दूसरा स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 3

तीसरा स्थान भरने के तरीकों की संख्या = 2

तरीकों की कुल संख्या = 4 × 3 × 2

⇒ तरीकों की कुल संख्या = 24

∴ अंकों की कुल संख्या 24 है।

Additional Information

यहां अनुसरण किया गया पैटर्न है -

अत: 16 शृंखला को पूरा करेगा।

गणना:

कुल अक्षर = 8

अक्षर 'E' 3 बार दोहराया जा रहा है।

अक्षर 'N' 2 बार दोहराया जारहा है।

⇒ शब्द बनाए जा सकते हैं = 

⇒ शब्द बनाए जा सकते हैं = 

⇒ शब्द बनाए जा सकते हैं = 3360

∴ 3360 शब्द बनाए जा सकते हैं।

सही विकल्प है 1 अर्थात 3360

Shortcut Trick

प्रयुक्त सूत्र:

औसत = (अवलोकन का योग)/(अवलोकन की संख्या)

अंतिम पद = a + (n - 1)d

गणना: 

उपरोक्त श्रंखला समांतर श्रेणी में है इसलिए मध्य 8वाँ पद औसत होगा।

⇒ 8^वाँ पद = 8 + (8 - 1) × 3 = 29

⇒ श्रंखला का योग = 29 × 15 = 435

∴ उपरोक्त श्रंखला का योग 435 है। 

Additional Information

हम इसे ऊपर (29 × 15) अंकों के योग विधि और विकल्प से गुणा करने से बच सकते हैं।

29 के अंकों का योग (2 + 9) ⇒ (11) ⇒ (2) और 15 है (1 + 5) = 6 

⇒ 2 × 6 = 12 ⇒ (1 + 2) ⇒ 3 

अब उन विकल्पों की जाँच कीजिये जिनके अंकों का योग 3 होगा, केवल विकल्प 2 है जिसका अंकों का योग 3 है। 

∴ सही उत्तर 435 है।

पारंपरिक तरीका: 

दिया गया है:

समांतर श्रेणी 8 + 11 + 14 + 17 से 15 पदों तक

प्रयुक्त सूत्र: 

समांतर श्रेणी का योग = n[2a + (n - 1)d]/2

गणना:

प्रथम 15 पदों का योग = 15[2 × 8 + (15-1)3]/2

⇒ (15 × 58)/2

⇒ 435

∴ सही उत्तर 435 है।

संकल्पना:

हमारे पास  का क्रमगुणित प्रतिनिधित्व,   के रूप में हैं। 

गणना:

 = 

 = 

 = 

 = 495

अतः  का मान 495 है।  

संकल्पना:

पुनरावृत्ति संबंध:

पुनरावृत्ति संबंध एक अनुक्रम के nवें पद को इसके पूर्ववर्ती पद से जोड़ता है। ये संबंध पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म से संबंधित हैं।

परिभाषा:

अनुक्रम a0, a1, a2,.... के लिए पुनरावृत्ति संबंध एक सूत्र (संबंध) है जो प्रत्येक पद an को इसके पूर्ववर्ती पद a0, a1, a2,...., an-1 के विशिष्ट पदों से जोड़ता है। ऐसे पुनरावृत्ति संबंध के लिए प्रारंभिक स्थितियां a0, a1, a2,...., an-1 के मानों को निर्दिष्ट करती है। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 3, 8, 13, 18, 23 के लिए पुनरावर्ती सूत्र निम्न हैं

a1 = 3, an = an-1 + 1, 

गणना:

दिया गया है:

पुनरावृत्ति संबंध, T(n) = T(n - 1) + 2

यदि n= 1 हो तो T(n) = T(n-1)+ 2 = T(1) = T(1-1)+ 2 = T(0) +2 =5+2 = 7   / प्रश्न में दिया गया T(0) का मान

यदि n= 2 हो तो T(n) = T(n-1)+ 2 = T(1) = T(2-1)+ 2 = T(1) +2 =7+2 = 9   / T(1) का मान 7 है

यदि n= 3  then T(n) = T(n-1)+ 2 = T(1) = T(3-1)+ 2 = T(2) +2 =9+2 = 11   / T(2) का मान 9 है

इसलिए, उपरोक्त स्वरुप को निम्न रूप में लिखा जा सकता है

T(n) = 2n+ 5 

यदि  n= 1 हो तो T(n) = 2n+ 5 = T(1) = 2(1)+ 5 = T(1) =7 है

इसलिए विकल्प 3 सही उत्तर है