Definite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Definite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Mar 24, 2025

पाईये Definite Integrals उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Definite Integrals MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Definite Integrals MCQ Objective Questions

Definite Integrals Question 1:

समाकल \(\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sqrt {\sin \theta } {\cos ^5}\theta {\rm{ }}d\theta \) का मान होगा

  1. \(\frac{2}{{231}}\)
  2. -64
  3. \(\frac{1}{{231}}\)
  4. \(\frac{64}{{231}}\)
  5. \(\frac{1}{{31}}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : \(\frac{64}{{231}}\)

Definite Integrals Question 1 Detailed Solution

विश्लेषण:

\(I = \mathop \smallint \limits_0^{\pi /2} \sqrt {\sin \theta } {\cos ^5}\theta {\rm{ }}d\theta \) पर विचार कीजिए

sin θ = t रखने पर

cos θ dθ = dt

यदि θ = 0 to \(\theta = \frac{\pi }{2}\) तब t = 0 से t = 1

अब, \(I = \mathop \smallint \limits_{\theta = 0}^{\pi /2} \sqrt {\sin \theta } \cos \theta \cdot {\left( {1 - {{\sin }^2}\theta } \right)^2}d\theta \)

\(I = \mathop \smallint \limits_{t = 0}^1 \sqrt t {\left( {1 - {t^2}} \right)^2}dt\)

\(I = \mathop \smallint \limits_{t = 0}^1 \sqrt t \left( {1 + {t^4} - 2{t^2}} \right)dt\)

\(I = \left( {\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{{t^{\frac{{11}}{2}}}}}{{\frac{{11}}{2}}} - \frac{{2{t^{\frac{7}{2}}}}}{{\frac{7}{2}}}} \right)_0^1\)

\(I = \frac{2}{3} + \frac{2}{{11}} - \frac{4}{7}\)

\(\therefore I = \frac{{64}}{{231}}\)

Definite Integrals Question 2:

समाकल \(x\over cos^2 x\) का मान किसके बराबर है?

  1. x tan x
  2. log cos x
  3. x tan x + log (cos x)
  4. x tan x - log cos x
  5. log sin x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x tan x + log (cos x)

Definite Integrals Question 2 Detailed Solution

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय अनुपात मौलिक सर्वसमिकाएँ

\(\sec x ={1\over \cos x}\)

खंडशः समाकलन

जब u और v, x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

मानक फलन का समाकल

\(\smallint \sec^2(ax +b) dx=\tan (ax+b)\)

\(\smallint\tan x dx= log |\sec x|=-log~cos x\)

मानक फलन का अवकलज

\(\frac{{d}}{{dx}}(x^n)=nx^{n-1}\)

\(\frac{{d}}{{dx}}(x)=1\)

गणना:

दिया हुआ:

हमारे पास \(x\over cos^2 x\) है

जहाँ u = x और \(v ={1\over cos^2 x}= sec^2 x\)

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x\smallint sec^2 x~dx - \smallint \left[ {\frac{{d}}{{dx}}x\smallint sec^2x~dx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x \tan x~dx - \smallint \tan x dx\)

∫x × sec2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx

∫x × sec2 x dx = x tan x - (-log (cos x))

∫ x × sec2 x dx = x tan x + log (cos x)

Definite Integrals Question 3:

x = 0 और x = 1 के बीच वक्र \({\rm{y}} = \frac{2}{3}{\rm{\;}}{{\rm{x}}^{3/2}}\) की लंबाई निम्न में से क्या है?

  1. 0.27
  2. 0.67
  3. 1
  4. 1.22
  5. 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 1.22

Definite Integrals Question 3 Detailed Solution

संकल्पना:

चाप लंबाई या वक्र लंबाई वक्र के खंड के साथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी है। चाप के एक अनियमित खंड की लंबाई निर्धारित करना वक्र का परिशोधन कहलाता है।

वक्र y = f(x) की x = a से x = b तक की लंबाई निम्न प्रकार से दी गई है:

\(l= \mathop \smallint \limits_{{\rm{x}} = {\rm{a}}}^{{\rm{x}} = {\rm{b}}} \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)}^2}} {\rm{dx}}\)

या,

यदि वक्र को x = f(t) और y = g(t) के रूप में प्राचल t के साथ a से b तक प्राचलीकरण किया जाता है, तो

\(l = \mathop \smallint \limits_{{\rm{t}} = {\rm{a}}}^{{\rm{t}} = {\rm{b}}} \sqrt {{{\left( {\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dt}}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dt}}}}} \right)}^2}} {\rm{dt\;}}\)

गणना:

\({\rm{y}} = \frac{2}{3}{\rm{\;}}{{\rm{x}}^{3/2}}\)

\(\therefore \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2}{\rm{\;}}{{\rm{x}}^{\frac{1}{2}}}\)

\({\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} = {\rm{x}}\)

अब, चाप की लंबाई(l) है

\(l= \mathop \smallint \limits_{{\rm{x}} = 0}^{{\rm{x}} = 1} \sqrt {1 + {\rm{x}}} {\rm{\;dx}}\)

\( = \left| {\frac{{{{\left( {1 + {\bf{x}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right|_0^1 \)

\(= \left( {\frac{2}{3} \times {2^{\frac{3}{2}}}} \right) - \left( {\frac{2}{3}} \right) = 1.21\)

Definite Integrals Question 4:

समाकल\(\mathop \smallint \limits_2^\infty \frac{{dx}}{{x\log x}}\)

  1. ∞ की ओर अपसरित होता है। 
  2. -∞ की ओर अपसरित होता है। 
  3. 2 की ओर अभिसरित होता है। 
  4. -3 की ओर अभिसरित होता है। 
  5. 0 की ओर अभिसरित होता है। 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : ∞ की ओर अपसरित होता है। 

Definite Integrals Question 4 Detailed Solution

स्पष्टीकरण:

दिया गया समाकलन पहले प्रकार का अनुचित समाकल है।

\(I = \mathop \smallint \limits_2^∞ \frac{{\left( {1/x} \right)}}{{\log x}}dx\)

\(I = \left[ {\log \left( {\log x} \right)} \right]_2^∞ \)

I = log [log (∞)] – log [log (2)]

I =

दिया गया समाकल ∞ की ओर अपसरित और अभिसरित होता है।

Additional Information

पहले प्रकार का अनुचित समाकल तब होता है जब समाकल सीमाएँ  -∞ या +∞ या दोनों होती हैं।

दूसरे प्रकार का अनुचित समाकल तब होता है जब समाकल सीमाएं परिमित होती हैं लेकिन उन सीमाओं के बीच कुछ मान पर फलन अपरिमित होता है।

Definite Integrals Question 5:

समाकल I = \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\pi /2} {x^2}\sin x\;dx\)  का मान क्या है?

  1. (x + 2)/2
  2. 2/(π – 2) 
  3. π - 2
  4. π + 2
  5. π - 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : π - 2

Definite Integrals Question 5 Detailed Solution

संकल्पना:

ILATE का प्रयोग करके खंडश:समाकलन का प्रयोग करने पर 

\(\smallint f\left( x \right)g\left( x \right)dx = f\left( x \right)\smallint g\left( x \right)\;dx - \smallint [\left( {f'\left( x \right).\smallint g\left( x \right)\;dx} \right]dx\)

गणना:

\({\rm{I}} = \mathop \smallint \nolimits_0^{{\rm{\pi }}/2} {{\rm{x}}^2}\sin {\rm{x\;dx}}\)

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {{\rm{x}}^2}{\rm{\;and\;g}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{sinx}}\)

\({\rm{I}} = \left[ { - {{\rm{x}}^2}{\rm{cosx}} - \smallint \left( { - 2{\rm{x\;cosx}}} \right)} \right]_0^{{\pi }/{2}}\;\)

\({\rm{I}} = \left[ { - {{\rm{x}}^2}{\rm{cosx}} + 2 \times \left( {{\rm{xsinx}} - \smallint {\rm{sinx\;}}} \right)} \right]_0^{{\pi }/{2}}\)

\({\rm{I}} = \left[ { - {{\rm{x}}^2}{\rm{cosx}} + 2 \times \left( {{\rm{xsinx}} + {\rm{cosx\;}}} \right)} \right]_0^{{\pi }/{2}}\)

\({\rm{I}} = \left[ {0 - 2\;\left( {\frac{\pi }{2}\;\left( 1 \right) + 0} \right)} \right] - \left[ {0 + 2\;\left( {0\; + 1} \right)} \right]\)

\({\rm{I}} = {\rm{\pi }} - 2\)

Top Definite Integrals MCQ Objective Questions

निश्चित समाकल \(\mathop \smallint \limits_1^e \sqrt x \ln \left( x \right)dx\) का मान क्या है?

  1. \(\frac{4}{9}\sqrt {{e^3}} + \frac{2}{9}\)
  2. \(\frac{2}{9}\sqrt {{e^3}} - \frac{4}{9}\)
  3. \(\frac{2}{9}\sqrt {{e^3}} + \frac{4}{9}\)
  4. \(\frac{4}{9}\sqrt {{e^3}} - \frac{2}{9}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : \(\frac{2}{9}\sqrt {{e^3}} + \frac{4}{9}\)

Definite Integrals Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

हम जानते हैं कि,

खंडशः विधि द्वारा

\(\smallint u \cdot v \cdot dx = u \cdot \smallint v \cdot dx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint v \cdot dx} \right]dx\)

जहाँ u, v को ILATE अनुक्रम का पालन करना चाहिए। [I= व्युत्क्रम, L= लघुगुणक, A= बीजगणित, T= त्रिकोणमिति, E= घातांकीय पद]

गणना:

दिया गया है:

दिए गए समीकरण से \(\mathop \smallint \limits_1^e √ x \ln \left( x \right)dx\)

u = ln(x), v = √x

अब,

\(\smallint u \cdot v \cdot dx = u \cdot \smallint v \cdot dx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint v \cdot dx} \right]dx\)

\(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}} = {\rm{lnx}} \cdot \mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} √ {\rm{x}} {\rm{dx}} - \mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} \left[ {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}} \cdot {\rm{\;}}\smallint √ {\rm{x}} {\rm{dx}}} \right]{\rm{dx}}\)  

\(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}}= \left[ {\ln \left( x \right) \times \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_1^e - \smallint \left[ {\frac{1}{x} \times \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]dx\)

 \(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}}= \left[ {\ln \left( x \right) \times {x^{\frac{3}{2}}} \times \frac{2}{3} - \frac{4}{9} \times {x^{\frac{3}{2}}}} \right]_1^e\)

∴  \(\mathop \smallint \limits_1^e √ x \ln \left( x \right)dx\)  \(= \frac{2}{9}√ {{e^3}} + \frac{4}{9}\)     

\(I = \mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{\left| x \right|}}dx\) का मान क्या है?

  1. (e - 1)
  2. 2(e - 1)
  3. 3(e - 1)
  4. 2(1 - e)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2(e - 1)

Definite Integrals Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

\(\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{\left| x \right|}}dx.\)

\(= \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {e^{ - x}}dx + \mathop \smallint \limits_0^1 {e^x}dx\)

\(= \left[ { - {e^{ - x}}} \right]_1^0 + \left[ {{e^x}} \right]_0^1\)

= [-e-0 + e1] + [e1 - e0]

= -1 + e1 + e - 1

= 2 (e - 1)

यदि शून्येतर x के लिए, \(af\left( x \right) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 25\) है, जहाँ a ≠ b है, तब \(\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( x \right)dx\) का मान ज्ञात कीजिए?
 

  1. \(\frac{1}{{{a^2} - {b^2}}}\left[ {a\left( {ln\;2 - 25} \right) + \frac{{47b}}{2}} \right]\)
  2. \(\frac{1}{{{a^2} - {b^2}}}\left[ {a\left( {2\;ln\;2 - 25} \right) - \frac{{47b}}{2}} \right]\)
  3. \(\frac{1}{{{a^2} - {b^2}}}\left[ {a\left( {2\;ln\;2 - 25} \right) + \frac{{47b}}{2}} \right]\)
  4. \(\frac{1}{{{a^2} - {b^2}}}\left[ {a\left( {ln\;2 - 25} \right) - \frac{{47b}}{2}} \right]\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{1}{{{a^2} - {b^2}}}\left[ {a\left( {ln\;2 - 25} \right) + \frac{{47b}}{2}} \right]\)

Definite Integrals Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

दिया गया है, x के शून्येतर के रूप के लिए है,

\(af\left( x \right) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 25\)       ---(1)

x को 1/x के रूप में मानने पर,

\(af\left( {\frac{1}{x}} \right) + bf\left( {\frac{1}{{\frac{1}{x}}}} \right) = x - 25\)

\(af\left( {\frac{1}{x}} \right) + bf\left( x \right) = x - 25\)       ---(2)

समीकरण 1 को a और 2 को b से गुणा करने पर और दोनों को घटा देने पर,

\({a^2}f\left( x \right) + abf\left( {\frac{1}{x}} \right) - abf\left( {\frac{1}{x}} \right) - {b^2}f\left( x \right) = \frac{a}{x} - 25a - bx + 25b\)

\({a^2}f\left( x \right) - {b^2}f\left( x \right) = \frac{a}{x} - 25a - bx + 25b\)

\(f\left( x \right) = \frac{a}{{x\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}} - \frac{{bx}}{{{a^2} - {b^2}}} - \frac{{25\left( {a - b} \right)}}{{{a^2} - {b^2}}}\)

\(\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( x \right)dx = \frac{1}{{{a^2} - {b^2}}}\left[ {a\left( {\ln 2 - 25} \right) + \frac{{47b}}{2}} \right]\)

हल करें:

\(\int_{\rm{0}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}} {\frac{{{\rm{f(x)}}}}{{{\rm{f(x) \,+\, f}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{x}}} \right)}}{\rm{dx}}} \) = ?

  1. π/2
  2. 1
  3. 0
  4. π/4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : π/4

Definite Integrals Question 9 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

\(\int_a^b f(x)dx = f(a + b - x)dx\)

गणना:

⇒ माना, I = \(\int \limits_0^\frac{π}{2} \frac{f(x)}{f(x) + f{(\frac{π}{2} - x)}}dx\)    ----- समीकरण(1)

⇒ I = \(\int \limits_0^\frac{π}{2} \frac{f(\frac{π}{2}- x )}{f(\frac{π}{2} - x) + f{(\frac{π}{2} -(\frac{π}{2} - x))}}dx\)

⇒ I = \(\int \limits_0^\frac{π}{2} \frac{f(\frac{π}{2}- x )}{f(x) + f{(\frac{π}{2} - x)}}dx\)     ---- समीकरण(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर

⇒ 2I = \(\int \limits_0^\frac{π}{2} \frac{ f(x) + f(\frac{π}{2}- x )}{f(x) + f{(\frac{π}{2} - x)}}dx\)

⇒ 2I = \(\int \limits_0^\frac{π}{2} dx\)

⇒ 2I = \(\frac{π}{2}\)

⇒ I = \(\frac{π}{4}\)

∴ \(\int_{\rm{0}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}} {\frac{{{\rm{f(x)}}}}{{{\rm{f(x) \,+\, f}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{x}}} \right)}}{\rm{dx}}} \) का मान \(\frac{π}{4}\) है। 

समाकल \(\displaystyle\int_0^{2\pi}\left(\dfrac{3}{9+\sin^2 \theta }\right)d\theta \) का मान है:

  1. \(\dfrac{2\pi}{\sqrt{10}}\)
  2. \(2\sqrt{10} \pi\)
  3. \(\sqrt{10} \pi\)
  4. π

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\dfrac{2\pi}{\sqrt{10}}\)

Definite Integrals Question 10 Detailed Solution

Download Solution PDF

\(\mathop \smallint \limits_0^{2a} f\left( x \right)dx = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\mathop \smallint \limits_0^a f\left( x \right)dx,\;\;f\left( {2a - x} \right) = f\left( x \right)}\\ {0,\;\;f\left( {2a - x} \right) = - f\left( x \right)} \end{array}} \right.\)

उपरोक्त समाकलन के गुणधर्म से, दिया गया समाकल इस प्रकार परिवर्तित किया जा सकता है:

\( = 2\mathop \smallint \limits_0^\pi \left( {\frac{3}{{9 + {{\sin }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

\( = 4\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{3}{{9 + {{\sin }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

\( = 4\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{3}{{9 + \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }}{{\sin }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

\( = 12\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{{{\sec }^2}\theta }}{{9{{\sec }^2}\theta + {{\tan }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

\( = 12\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{{{\sec }^2}\theta }}{{9\left( {1 + {{\tan }^2}\theta } \right) + {{\tan }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

\( = 12\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{{{\sec }^2}\theta }}{{9 + 10{{\tan }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

tan θ = t रखने पर

⇒ sec2θ dθ = dt

\( = 12\mathop \smallint \limits_0^\infty \left( {\frac{1}{{9 + 10{t^2}}}} \right)dt\)

\( = \frac{{12}}{{10}}\mathop \smallint \limits_0^\infty \left( {\frac{1}{{\frac{9}{{10}} + {t^2}}}} \right)dt\)

\( = \frac{{12}}{{10}} \times \frac{1}{{\frac{3}{{\sqrt {10} }}}}\left[ {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{t}{{\frac{3}{{\sqrt {10} }}}}} \right)} \right]_0^\infty \)

\( = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\left[ {\frac{\pi }{2} - 0} \right] = \frac{{2\pi }}{{\sqrt {10} }}\)

समाकल \(x\over cos^2 x\) का मान किसके बराबर है?

  1. x tan x
  2. log cos x
  3. x tan x + log (cos x)
  4. x tan x - log cos x

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : x tan x + log (cos x)

Definite Integrals Question 11 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय अनुपात मौलिक सर्वसमिकाएँ

\(\sec x ={1\over \cos x}\)

खंडशः समाकलन

जब u और v, x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

मानक फलन का समाकल

\(\smallint \sec^2(ax +b) dx=\tan (ax+b)\)

\(\smallint\tan x dx= log |\sec x|=-log~cos x\)

मानक फलन का अवकलज

\(\frac{{d}}{{dx}}(x^n)=nx^{n-1}\)

\(\frac{{d}}{{dx}}(x)=1\)

गणना:

दिया हुआ:

हमारे पास \(x\over cos^2 x\) है

जहाँ u = x और \(v ={1\over cos^2 x}= sec^2 x\)

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x\smallint sec^2 x~dx - \smallint \left[ {\frac{{d}}{{dx}}x\smallint sec^2x~dx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x \tan x~dx - \smallint \tan x dx\)

∫x × sec2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx

∫x × sec2 x dx = x tan x - (-log (cos x))

∫ x × sec2 x dx = x tan x + log (cos x)

निम्नलिखित निश्चित समाकलन का मान निकालें और सही उत्तर चुनियें:

\(\int_1^2\) x . dx

  1. \(\frac{3}{2}\)
  2. \(\frac{2}{3}\)
  3. \(\frac{3}{5}\)
  4. \(\frac{2}{5}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{3}{2}\)

Definite Integrals Question 12 Detailed Solution

Download Solution PDF

प्रयुक्त अवधारणा:

 

\(\int_a^b\) xn.dx = (xn+1/n+1)ab

गणना:

\(\int_1^2\) x . dx = x1+1/1+1 = (x2/2)12 = 4/2 - 1/2 = 2 - 1/2 = 3/2.

अतः, विकल्प 1 सही है।

समाकल\(\mathop \smallint \limits_{ - \infty }^\infty \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}\) का मान है: 

  1. \( - \frac{\pi }{2}\)
  2. π/2
  3. π

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : π

Definite Integrals Question 13 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना:

अनंत समाकल: यदि [a, b] पर किसी फलन f का अनंत मान है तो इसे अनुचित समाकल कहते हैं

प्रथम प्रकार का अनंत समाकल:

\(\displaystyle\int_a^b f\left( x \right)\;dx\) प्रथम प्रकार का अनंत समाकल कहा जाता है यदि a = - या b = ∞ या दोनों 

द्वितीय प्रकार का अनंत समाकल:

\(\displaystyle\int_a^b f\left( x \right)\;dx\) द्वितीय प्रकार का अनंत समाकल कहा जाता है यदि a या b परिमित है लेकिन f(x) कुछ x  [a, b] के लिए अनंत है।

यदि अनंत समाकल का समाकलन मौजूद होता है तो उसे अभिसरण कहते हैं, लेकिन यदि समाकलन की सीमा का अस्तित्व न हो तो अनंत समाकल को अपसारी कहते हैं।

गणना:

दिया है:

माना tan-1x = y

\(\left(\frac{1}{1\;+\;x^2}\right)dx=dy\)

जब, x = -∞, y = -π/2, x = ∞, y = π/2

\(\smallint \limits_{ - ∞ }^∞ \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}\)

\(\smallint \limits_{-\pi/2}^{\pi/2} dy\)

\(\left[ {y} \right]_{-\pi/2 }^{\pi/2} \)

\( \frac{π }{2}-\left( { - \frac{π }{2}} \right)=\pi\)

 

निश्चित समाकलन का मान निकालिये:

\(\int_a^b\) ex ⋅ dx:

  1. ea − eb
  2. e− ea
  3. eab
  4. \(\rm\frac{e^b}{e^a}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : e− ea

Definite Integrals Question 14 Detailed Solution

Download Solution PDF

गणना:

x के संबंध में ex का प्रतिअवकलन ex है।

इसलिए, पूर्व dx के a से b तक निश्चित समाकलन की गणना ऊपरी सीमा पर प्रतिअवकलन लेकर और निचली सीमा पर प्रतिअवकलन घटाकर की जा सकती है।

सूत्र के संदर्भ में, हम इसे इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं:

\(\int_a^b \)ex dx = [eb - ea]

यह सीधे कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से लागू होता है।

अतः, विकल्प 2 सही है।

\(\rm\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2x}}\) = _______

  1. \(\frac{6}{5}\)
  2. \(\frac{3}{5}\)
  3. \(\frac{1}{5}\)
  4. \(\frac{2}{5}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : \(\frac{6}{5}\)

Definite Integrals Question 15 Detailed Solution

Download Solution PDF

दिया गया है:

दिया गया निश्चित समाकलन इस प्रकार है,

\( \rm\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2x}}\)

संकल्पना:

\( \int_a^b x^ndx=|\frac{x^{n+1}}{n+1}|_a^b\)

हल:

दिए गए समाकलन को इस प्रकार सरल करने पर,

\(\rm\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2x}}\)

\( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^3 x d x}{ \sqrt{4 \sin x \cos x}}\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^3 x d x}{2 \cos x \sqrt{ \tan x}}\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^4 x d x}{2 \sqrt{ \tan x}}\)

y = tanx रखने पर,

x = 0, y = 0 पर,

x = \(\pi \over4\), y = 1 पर,

dy = sec2xdx

\(\frac{1}{2}\int_0^{1} \frac{(1+y^2) d y}{ \sqrt{ y}}\)

\(\frac{1}{2}|[2\sqrt y]_0^1+[\frac{y^{5 \over2}}{5 \over2}]_0^1|\)

\(\frac{1}{2}|[2+[{2 \over5}]|=\frac{6}{5}\)

\(\rm\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2x}}=\frac{6}{5}\)

अतः विकल्प 1 सही है।

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti casino apk teen patti master 51 bonus teen patti casino download