Definite Integrals MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Definite Integrals - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

विश्लेषण:

\(I = \mathop \smallint \limits_0^{\pi /2} \sqrt {\sin \theta } {\cos ^5}\theta {\rm{ }}d\theta \) पर विचार कीजिए

sin θ = t रखने पर

cos θ dθ = dt

यदि θ = 0 to \(\theta = \frac{\pi }{2}\) तब t = 0 से t = 1

अब, \(I = \mathop \smallint \limits_{\theta = 0}^{\pi /2} \sqrt {\sin \theta } \cos \theta \cdot {\left( {1 - {{\sin }^2}\theta } \right)^2}d\theta \)

\(I = \mathop \smallint \limits_{t = 0}^1 \sqrt t {\left( {1 - {t^2}} \right)^2}dt\)

\(I = \mathop \smallint \limits_{t = 0}^1 \sqrt t \left( {1 + {t^4} - 2{t^2}} \right)dt\)

\(I = \left( {\frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}} + \frac{{{t^{\frac{{11}}{2}}}}}{{\frac{{11}}{2}}} - \frac{{2{t^{\frac{7}{2}}}}}{{\frac{7}{2}}}} \right)_0^1\)

\(I = \frac{2}{3} + \frac{2}{{11}} - \frac{4}{7}\)

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय अनुपात मौलिक सर्वसमिकाएँ

\(\sec x ={1\over \cos x}\)

खंडशः समाकलन

जब u और v, x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

मानक फलन का समाकल

\(\smallint \sec^2(ax +b) dx=\tan (ax+b)\)

\(\smallint\tan x dx= log |\sec x|=-log~cos x\)

मानक फलन का अवकलज

\(\frac{{d}}{{dx}}(x^n)=nx^{n-1}\)

\(\frac{{d}}{{dx}}(x)=1\)

गणना:

दिया हुआ:

हमारे पास \(x\over cos^2 x\) है

जहाँ u = x और \(v ={1\over cos^2 x}= sec^2 x\)

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x\smallint sec^2 x~dx - \smallint \left[ {\frac{{d}}{{dx}}x\smallint sec^2x~dx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x \tan x~dx - \smallint \tan x dx\)

∫x × sec2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx

∫x × sec2 x dx = x tan x - (-log (cos x))

∫ x × sec2 x dx = x tan x + log (cos x)

संकल्पना:

चाप लंबाई या वक्र लंबाई वक्र के खंड के साथ दो बिंदुओं के बीच की दूरी है। चाप के एक अनियमित खंड की लंबाई निर्धारित करना वक्र का परिशोधन कहलाता है।

वक्र y = f(x) की x = a से x = b तक की लंबाई निम्न प्रकार से दी गई है:

\(l= \mathop \smallint \limits_{{\rm{x}} = {\rm{a}}}^{{\rm{x}} = {\rm{b}}} \sqrt {1 + {{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)}^2}} {\rm{dx}}\)

या,

यदि वक्र को x = f(t) और y = g(t) के रूप में प्राचल t के साथ a से b तक प्राचलीकरण किया जाता है, तो

\(l = \mathop \smallint \limits_{{\rm{t}} = {\rm{a}}}^{{\rm{t}} = {\rm{b}}} \sqrt {{{\left( {\frac{{{\rm{dx}}}}{{{\rm{dt}}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dt}}}}} \right)}^2}} {\rm{dt\;}}\)

गणना:

\({\rm{y}} = \frac{2}{3}{\rm{\;}}{{\rm{x}}^{3/2}}\)

\(\therefore \frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{2}{\rm{\;}}{{\rm{x}}^{\frac{1}{2}}}\)

\({\left( {\frac{{{\rm{dy}}}}{{{\rm{dx}}}}} \right)^2} = {\rm{x}}\)

अब, चाप की लंबाई(l) है

\(l= \mathop \smallint \limits_{{\rm{x}} = 0}^{{\rm{x}} = 1} \sqrt {1 + {\rm{x}}} {\rm{\;dx}}\)

\( = \left| {\frac{{{{\left( {1 + {\bf{x}}} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right|_0^1 \)

\(= \left( {\frac{2}{3} \times {2^{\frac{3}{2}}}} \right) - \left( {\frac{2}{3}} \right) = 1.21\)

स्पष्टीकरण:

दिया गया समाकलन पहले प्रकार का अनुचित समाकल है।

\(I = \mathop \smallint \limits_2^∞ \frac{{\left( {1/x} \right)}}{{\log x}}dx\)

\(I = \left[ {\log \left( {\log x} \right)} \right]_2^∞ \)

I = log [log (∞)] – log [log (2)]

∴ I = ∞

दिया गया समाकल ∞ की ओर अपसरित और अभिसरित होता है।

Additional Information

पहले प्रकार का अनुचित समाकल तब होता है जब समाकल सीमाएँ  -∞ या +∞ या दोनों होती हैं।

दूसरे प्रकार का अनुचित समाकल तब होता है जब समाकल सीमाएं परिमित होती हैं लेकिन उन सीमाओं के बीच कुछ मान पर फलन अपरिमित होता है।

संकल्पना:

ILATE का प्रयोग करके खंडश:समाकलन का प्रयोग करने पर 

\(\smallint f\left( x \right)g\left( x \right)dx = f\left( x \right)\smallint g\left( x \right)\;dx - \smallint [\left( {f'\left( x \right).\smallint g\left( x \right)\;dx} \right]dx\)

गणना:

\({\rm{I}} = \mathop \smallint \nolimits_0^{{\rm{\pi }}/2} {{\rm{x}}^2}\sin {\rm{x\;dx}}\)

\({\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {{\rm{x}}^2}{\rm{\;and\;g}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{sinx}}\)

\({\rm{I}} = \left[ { - {{\rm{x}}^2}{\rm{cosx}} - \smallint \left( { - 2{\rm{x\;cosx}}} \right)} \right]_0^{{\pi }/{2}}\;\)

\({\rm{I}} = \left[ { - {{\rm{x}}^2}{\rm{cosx}} + 2 \times \left( {{\rm{xsinx}} - \smallint {\rm{sinx\;}}} \right)} \right]_0^{{\pi }/{2}}\)

\({\rm{I}} = \left[ { - {{\rm{x}}^2}{\rm{cosx}} + 2 \times \left( {{\rm{xsinx}} + {\rm{cosx\;}}} \right)} \right]_0^{{\pi }/{2}}\)

\({\rm{I}} = \left[ {0 - 2\;\left( {\frac{\pi }{2}\;\left( 1 \right) + 0} \right)} \right] - \left[ {0 + 2\;\left( {0\; + 1} \right)} \right]\)

\({\rm{I}} = {\rm{\pi }} - 2\)

संकल्पना:

हम जानते हैं कि,

खंडशः विधि द्वारा

\(\smallint u \cdot v \cdot dx = u \cdot \smallint v \cdot dx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint v \cdot dx} \right]dx\)

जहाँ u, v को ILATE अनुक्रम का पालन करना चाहिए। [I= व्युत्क्रम, L= लघुगुणक, A= बीजगणित, T= त्रिकोणमिति, E= घातांकीय पद]

गणना:

दिया गया है:

दिए गए समीकरण से \(\mathop \smallint \limits_1^e √ x \ln \left( x \right)dx\)

u = ln(x), v = √x

अब,

\(\smallint u \cdot v \cdot dx = u \cdot \smallint v \cdot dx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint v \cdot dx} \right]dx\)

\(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}} = {\rm{lnx}} \cdot \mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} √ {\rm{x}} {\rm{dx}} - \mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} \left[ {\frac{{{\rm{du}}}}{{{\rm{dx}}}} \cdot {\rm{\;}}\smallint √ {\rm{x}} {\rm{dx}}} \right]{\rm{dx}}\)  

\(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}}= \left[ {\ln \left( x \right) \times \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]_1^e - \smallint \left[ {\frac{1}{x} \times \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right]dx\)

 \(\mathop \smallint \limits_1^{\rm{e}} {\rm{lnx}} \cdot √ {\rm{x}} {\rm{dx}}= \left[ {\ln \left( x \right) \times {x^{\frac{3}{2}}} \times \frac{2}{3} - \frac{4}{9} \times {x^{\frac{3}{2}}}} \right]_1^e\)

∴  \(\mathop \smallint \limits_1^e √ x \ln \left( x \right)dx\)  \(= \frac{2}{9}√ {{e^3}} + \frac{4}{9}\)     

\(\mathop \smallint \limits_{ - 1}^1 {e^{\left| x \right|}}dx.\)

\(= \mathop \smallint \limits_{ - 1}^0 {e^{ - x}}dx + \mathop \smallint \limits_0^1 {e^x}dx\)

\(= \left[ { - {e^{ - x}}} \right]_1^0 + \left[ {{e^x}} \right]_0^1\)

= [-e^-0 + e¹] + [e¹ - e⁰]

= -1 + e¹ + e - 1

दिया गया है, x के शून्येतर के रूप के लिए है,

\(af\left( x \right) + bf\left( {\frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{x} - 25\)       ---(1)

x को 1/x के रूप में मानने पर,

\(af\left( {\frac{1}{x}} \right) + bf\left( {\frac{1}{{\frac{1}{x}}}} \right) = x - 25\)

\(af\left( {\frac{1}{x}} \right) + bf\left( x \right) = x - 25\)       ---(2)

समीकरण 1 को a और 2 को b से गुणा करने पर और दोनों को घटा देने पर,

\({a^2}f\left( x \right) + abf\left( {\frac{1}{x}} \right) - abf\left( {\frac{1}{x}} \right) - {b^2}f\left( x \right) = \frac{a}{x} - 25a - bx + 25b\)

\({a^2}f\left( x \right) - {b^2}f\left( x \right) = \frac{a}{x} - 25a - bx + 25b\)

\(f\left( x \right) = \frac{a}{{x\left( {{a^2} - {b^2}} \right)}} - \frac{{bx}}{{{a^2} - {b^2}}} - \frac{{25\left( {a - b} \right)}}{{{a^2} - {b^2}}}\)

\(\mathop \smallint \limits_1^2 f\left( x \right)dx = \frac{1}{{{a^2} - {b^2}}}\left[ {a\left( {\ln 2 - 25} \right) + \frac{{47b}}{2}} \right]\)

अवधारणा:

\(\int_a^b f(x)dx = f(a + b - x)dx\)

गणना:

⇒ माना, I = \(\int \limits_0^\frac{π}{2} \frac{f(x)}{f(x) + f{(\frac{π}{2} - x)}}dx\)    ----- समीकरण(1)

⇒ I = \(\int \limits_0^\frac{π}{2} \frac{f(\frac{π}{2}- x )}{f(\frac{π}{2} - x) + f{(\frac{π}{2} -(\frac{π}{2} - x))}}dx\)

⇒ I = \(\int \limits_0^\frac{π}{2} \frac{f(\frac{π}{2}- x )}{f(x) + f{(\frac{π}{2} - x)}}dx\)     ---- समीकरण(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर

⇒ 2I = \(\int \limits_0^\frac{π}{2} \frac{ f(x) + f(\frac{π}{2}- x )}{f(x) + f{(\frac{π}{2} - x)}}dx\)

⇒ 2I = \(\int \limits_0^\frac{π}{2} dx\)

⇒ 2I = \(\frac{π}{2}\)

⇒ I = \(\frac{π}{4}\)

∴ \(\int_{\rm{0}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}} {\frac{{{\rm{f(x)}}}}{{{\rm{f(x) \,+\, f}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}\,{\rm{ - }}\,{\rm{x}}} \right)}}{\rm{dx}}} \) का मान \(\frac{π}{4}\) है। 

\(\mathop \smallint \limits_0^{2a} f\left( x \right)dx = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {2\mathop \smallint \limits_0^a f\left( x \right)dx,\;\;f\left( {2a - x} \right) = f\left( x \right)}\\ {0,\;\;f\left( {2a - x} \right) = - f\left( x \right)} \end{array}} \right.\)

उपरोक्त समाकलन के गुणधर्म से, दिया गया समाकल इस प्रकार परिवर्तित किया जा सकता है:

\( = 2\mathop \smallint \limits_0^\pi \left( {\frac{3}{{9 + {{\sin }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

\( = 4\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{3}{{9 + {{\sin }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

\( = 4\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{3}{{9 + \frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{{\cos }^2}\theta }}{{\sin }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

\( = 12\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{{{\sec }^2}\theta }}{{9{{\sec }^2}\theta + {{\tan }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

\( = 12\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{{{\sec }^2}\theta }}{{9\left( {1 + {{\tan }^2}\theta } \right) + {{\tan }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

\( = 12\mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \left( {\frac{{{{\sec }^2}\theta }}{{9 + 10{{\tan }^2}\theta }}} \right)d\theta \)

tan θ = t रखने पर

⇒ sec²θ dθ = dt

\( = 12\mathop \smallint \limits_0^\infty \left( {\frac{1}{{9 + 10{t^2}}}} \right)dt\)

\( = \frac{{12}}{{10}}\mathop \smallint \limits_0^\infty \left( {\frac{1}{{\frac{9}{{10}} + {t^2}}}} \right)dt\)

\( = \frac{{12}}{{10}} \times \frac{1}{{\frac{3}{{\sqrt {10} }}}}\left[ {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{t}{{\frac{3}{{\sqrt {10} }}}}} \right)} \right]_0^\infty \)

\( = \frac{4}{{\sqrt {10} }}\left[ {\frac{\pi }{2} - 0} \right] = \frac{{2\pi }}{{\sqrt {10} }}\)

अवधारणा:

त्रिकोणमितीय अनुपात मौलिक सर्वसमिकाएँ

\(\sec x ={1\over \cos x}\)

खंडशः समाकलन

जब u और v, x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

मानक फलन का समाकल

\(\smallint \sec^2(ax +b) dx=\tan (ax+b)\)

\(\smallint\tan x dx= log |\sec x|=-log~cos x\)

मानक फलन का अवकलज

\(\frac{{d}}{{dx}}(x^n)=nx^{n-1}\)

\(\frac{{d}}{{dx}}(x)=1\)

गणना:

दिया हुआ:

हमारे पास \(x\over cos^2 x\) है

जहाँ u = x और \(v ={1\over cos^2 x}= sec^2 x\)

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

खंडशः समाकलन

जब u और v x के फलन हैं तो

\(\smallint u× v~dx = u\smallint vdx - \smallint \left[ {\frac{{du}}{{dx}}\smallint vdx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x\smallint sec^2 x~dx - \smallint \left[ {\frac{{d}}{{dx}}x\smallint sec^2x~dx} \right]dx\)

\(\smallint x× sec^2 x~dx = x \tan x~dx - \smallint \tan x dx\)

∫x × sec2 x dx = x tan x - ∫ tan x dx

∫x × sec2 x dx = x tan x - (-log (cos x))

∫ x × sec2 x dx = x tan x + log (cos x)

प्रयुक्त अवधारणा:

\(\int_a^b\) xⁿ.dx = (xⁿ⁺¹/n+1)_a^b

गणना:

\(\int_1^2\) x . dx = x¹⁺¹/1+1 = (x²/2)₁² = 4/2 - 1/2 = 2 - 1/2 = 3/2.

अतः, विकल्प 1 सही है।

संकल्पना:

अनंत समाकल: यदि [a, b] पर किसी फलन f का अनंत मान है तो इसे अनुचित समाकल कहते हैं

प्रथम प्रकार का अनंत समाकल:

\(\displaystyle\int_a^b f\left( x \right)\;dx\) प्रथम प्रकार का अनंत समाकल कहा जाता है यदि a = -∞ या b = ∞ या दोनों 

द्वितीय प्रकार का अनंत समाकल:

\(\displaystyle\int_a^b f\left( x \right)\;dx\) द्वितीय प्रकार का अनंत समाकल कहा जाता है यदि a या b परिमित है लेकिन f(x) कुछ x ∈ [a, b] के लिए अनंत है।

यदि अनंत समाकल का समाकलन मौजूद होता है तो उसे अभिसरण कहते हैं, लेकिन यदि समाकलन की सीमा का अस्तित्व न हो तो अनंत समाकल को अपसारी कहते हैं।

गणना:

दिया है:

माना tan^-1x = y

\(\left(\frac{1}{1\;+\;x^2}\right)dx=dy\)

जब, x = -∞, y = -π/2, x = ∞, y = π/2

\(\smallint \limits_{ - ∞ }^∞ \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}\)

\(\smallint \limits_{-\pi/2}^{\pi/2} dy\)

\(\left[ {y} \right]_{-\pi/2 }^{\pi/2} \)

\( \frac{π }{2}-\left( { - \frac{π }{2}} \right)=\pi\)

गणना:

x के संबंध में ex का प्रतिअवकलन e^x है।

इसलिए, पूर्व dx के a से b तक निश्चित समाकलन की गणना ऊपरी सीमा पर प्रतिअवकलन लेकर और निचली सीमा पर प्रतिअवकलन घटाकर की जा सकती है।

सूत्र के संदर्भ में, हम इसे इस प्रकार प्रस्तुत कर सकते हैं:

\(\int_a^b \)ex dx = [eb - ea]

यह सीधे कैलकुलस के मौलिक प्रमेय से लागू होता है।

अतः, विकल्प 2 सही है।

दिया गया है:

दिया गया निश्चित समाकलन इस प्रकार है,

\( \rm\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2x}}\)

संकल्पना:

\( \int_a^b x^ndx=|\frac{x^{n+1}}{n+1}|_a^b\)

हल:

दिए गए समाकलन को इस प्रकार सरल करने पर,

\(\rm\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2x}}\)

\( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^3 x d x}{ \sqrt{4 \sin x \cos x}}\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^3 x d x}{2 \cos x \sqrt{ \tan x}}\)

\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sec^4 x d x}{2 \sqrt{ \tan x}}\)

y = tanx रखने पर,

x = 0, y = 0 पर,

x = \(\pi \over4\), y = 1 पर,

dy = sec²xdx

\(\frac{1}{2}\int_0^{1} \frac{(1+y^2) d y}{ \sqrt{ y}}\)

\(\frac{1}{2}|[2\sqrt y]_0^1+[\frac{y^{5 \over2}}{5 \over2}]_0^1|\)

\(\frac{1}{2}|[2+[{2 \over5}]|=\frac{6}{5}\)

\(\rm\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{d x}{\cos ^3 x \sqrt{2 \sin 2x}}=\frac{6}{5}\)

अतः विकल्प 1 सही है।