Solution of Linear Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solution of Linear Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

Last updated on Mar 29, 2025

पाईये Solution of Linear Equations उत्तर और विस्तृत समाधान के साथ MCQ प्रश्न। इन्हें मुफ्त में डाउनलोड करें Solution of Linear Equations MCQ क्विज़ Pdf और अपनी आगामी परीक्षाओं जैसे बैंकिंग, SSC, रेलवे, UPSC, State PSC की तैयारी करें।

Latest Solution of Linear Equations MCQ Objective Questions

Solution of Linear Equations Question 1:

एक निकाय समीकरण पर विचार करें:

\(2x+y-z=0\),

\(4x - py + 4z = 4\) और

\(x-y+z=q\)

जहाँ \(p, q \in I\) और \(p, q \in [1, 10]\) है, तब सही कथन(कथनों) की पहचान करें।

  सूची-I सूची-II
(I) क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है (P) 1
(II) क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है (Q) 9
(III) क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का अनंत हल है (R) 91
(IV) क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का कम से कम एक हल है (S) 90

  1. I → Q, II → S, III → P, IV → R

  2. I → S, II → Q, III → P, IV → R

  3. I → P, II → R, III → S, IV → R

  4. I → Q, II → P, III → S, IV → P

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 :

I → S, II → Q, III → P, IV → R

Solution of Linear Equations Question 1 Detailed Solution

गणना:

दिया गया है:

रैखिक समीकरणों का निकाय है:

\(2x + y - z = 0\)

\(4x - py + 4z = 4\)

\(x - y + z = q\)

\(p, q \in I\) और \(p, q \in [1, 10]\)

गुणांक आव्यूह A है:

\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -\frac{p}{4} & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)

संवर्धित आव्यूह [A|B] है:

\([A|B] = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -\frac{p}{4} & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & q \end{bmatrix}\)

A के सारणिक, |A| की गणना करें:

\(|A| = 2(-\frac{p}{4} + 1) - 1(1 - 1) - 1(-1 + \frac{p}{4})\)

\(|A| = -\frac{p}{2} + 2 + 0 + 1 - \frac{p}{4}\)

\(|A| = 3 - \frac{3p}{4}\)

⇒ अद्वितीय हल के लिए, \(|A| \ne 0\):

\(3 - \frac{3p}{4} \ne 0\)

\(3 \ne \frac{3p}{4}\)

\(p \ne 4\)

कोई हल नहीं या अनंत हल के लिए, \(|A| = 0\), इसलिए \(p = 4\) है। 

⇒ यदि \(p=4\) है, तो निकाय बन जाता है:

\(2x + y - z = 0\)

\(x - y + z = 1\)

\(x - y + z = q\)

⇒ दूसरे और तीसरे समीकरणों से, एक हल के अस्तित्व के लिए, \(1 = q\) है। 

⇒ यदि \(p = 4\) और \(q = 1\) है, अनंत हल का अस्तित्व हैं।

⇒ यदि \(p = 4\) और \(q \ne 1\) है, किसी हल का अस्तित्व नहीं है।

(I) अद्वितीय हल: \(p \ne 4\). \(p\), 9 मान ले सकता है (1 से 10 तक 4 को छोड़कर)। \(q\),10 मान ले सकता है। कुल युग्म: 9 × 10 = 90

(II) कोई हल नहीं: \(p = 4\) और \(q \ne 1\). \(q\) के लिए 9 मान है। \(p\) के लिए 1 युग्म। कुल युग्म: 1 × 9 = 9

(III) अनंत हल: \(p = 4\) और \(q = 1\). केवल 1 युग्म।

(IV) कम से कम एक हल: कुल युग्म - कोई हल नहीं वाले युग्म= 100 - 9 = 91

∴ (I) - (S), (II) - (Q), (III) - (P), (IV) - (R)

Solution of Linear Equations Question 2:

यदि समीकरण निकाय

x + 2y - 3z = 2

2x + λy + 5z = 5

14x + 3y + μz = 33

के अनन्त हल हैं, तो λ + μ बराबर है:

  1. 13
  2. 10
  3. 11
  4. 12

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 12

Solution of Linear Equations Question 2 Detailed Solution

गणना

\(D=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 2 & λ & 5 \\ 14 & 3 & \mu \end{array}\right|=0\)

\(λ \mu+42 λ-4 \mu+107=0\)

D1 = 2λμ + 99λ - 10μ + 255

D2 = 13 - μ

D3 = 5λ + 5

D2 = 0 ⇒ μ = 13 और D3 = 0 ⇒ λ = -1

इन मानों के लिए D और D1 = 0

λ + μ = 13 - 1 = 12

इसलिए विकल्प 4 सही है

Solution of Linear Equations Question 3:

यदि समीकरण निकाय

2x - y + z = 4

5x + λy + 3z = 12

100x - 47y + μz = 212,

के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं, तो μ - 2λ बराबर है:

  1. 56
  2. 59
  3. 55
  4. 57

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 57

Solution of Linear Equations Question 3 Detailed Solution

गणना

\(\Delta=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 5 & λ & 3 \\ 100 & -47 & μ \end{array}\right|=0\)

⇒ 2(λμ + 141) + (5μ - 300) - 235 - 100λ = 0 …(1)

\(\Delta_{3}=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 4 \\ 5 & \lambda & 12 \\ 100 & -47 & 212 \end{array}\right|=0\)

⇒ 6λ = -12 ⇒ λ = -2

(1) में λ = -2 रखने पर,

⇒ 2(-2μ + 141) + 5μ - 300 - 235 + 200 = 0

⇒ μ = 53

μ - 2λ = 57

इसलिए, विकल्प 4 सही है। 

Solution of Linear Equations Question 4:

यदि p ≠ a, q ≠ b, r ≠ c है और समीकरण निकाय

px + ay + az = 0

bx + qy + bz = 0

cx + cy + rz = 0

का एक अतुच्छ हल है, तो \(\frac{p}{p-a}+\frac{q}{q-b}+\frac{r}{r-c}\) का मान है:

  1. 1
  2. 2
  3. \(\frac{1}{2}\)
  4. 0

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : 2

Solution of Linear Equations Question 4 Detailed Solution

गणना

चूँकि दिए गए समीकरण निकाय का एक अतुच्छ हल है।

\(\Delta=\left|\begin{array}{lll} p & a & a \\ b & q & b \\ c & c & r \end{array}\right|=0\)

C2 → C2 - C1 और C3 → C3 - C1 को लागू करने पर

\(\Delta=\left|\begin{array}{ccc} p & a-p & a-p \\ b & q-b & 0 \\ c & 0 & r-c \end{array}\right|=0\)

C3 के अनुदिश प्रसार करने पर, हमें प्राप्त होता है

\((a-p)\left|\begin{array}{cc} b & q-b \\ c & 0 \end{array}\right|+(r-c)\left|\begin{array}{cc} p & a-p \\ b & q-b \end{array}\right|=0\)

⇒ (a - p)(-c)(q - b) + (r - c){p(q - b) - b(a - p)} = 0

(p - a)(q - b)c + p(r − c)(q - b) + b(r − c)(p - a) = 0

(p - a)(q - b)(r - c) से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है

\(\frac{c}{r-c}+\frac{p}{p-a}+\frac{b}{q-b}=0\)

\(\frac{p}{p-a}=-\frac{c}{r-c}-\frac{b}{q-b}\)

\(\frac{p}{p-a}+\frac{q}{q-b}+\frac{r}{r-c}=\frac{q-b}{q-b}+\frac{r-c}{r-c}=2\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

Solution of Linear Equations Question 5:

मान लीजिए p, q, r शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं जो क्रमशः एक हरात्मक श्रेढ़ी के 10वें, 100वें और 1000वें पद हैं। रैखिक समीकरणों के निकाय पर विचार करें

x + y + z = 1

10x + 100y + 1000z = 0

qr x + pr y + pq z = 0

सूची-I सूची-II
(I) यदि \(\frac{q}{r}=10\), तब रैखिक समीकरणों के निकाय में है (P) \(x=0, y=\frac{10}{9}, z=-\frac{1}{9}\) एक हल के रूप में
(II) यदि \(\frac{p}{r}\neq 100\), तब रैखिक समीकरणों के निकाय में है (Q) \(x=\frac{10}{9}, y=-\frac{1}{9}, z=0\) एक हल के रूप में
(III) यदि \(\frac{p}{q}\neq 10\), तब रैखिक समीकरणों के निकाय में है (R) अपरिमित रूप से अनेक हल
(IV) यदि \(\frac{p}{q}=10\), तब रैखिक समीकरणों के निकाय में है (S) कोई हल नहीं
  (T) कम से कम एक हल

सही विकल्प है:

  1. (I) → (T); (II) → (R); (III) → (S); (IV) → (T)
  2. (I) → (Q); (II) → (S); (III) → (S); (IV) → (R)
  3. (I) → (Q); (II) → (R); (III) → (P); (IV) → (R)
  4. (I) → (T); (II) → (S); (III) → (P); (IV) → (T)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : (I) → (Q); (II) → (S); (III) → (S); (IV) → (R)

Solution of Linear Equations Question 5 Detailed Solution

गणना

x + y + z = 1 ---(1)

10x + 100y + 1000z = 0 ---(2)

qrx + pry + pqz = 0 ---(3)

समीकरण (3) को फिर से लिखा जा सकता है

\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=0 \quad(\because p, q, r \neq 0)\)

मान लीजिए, \(p=\frac{1}{a+9 d}, q=\frac{1}{a+99 d}, r=\frac{1}{a+999 d}\)

अब, समीकरण (3) है

(a + 9d)x + (a + 99d)y + (a + 999d)z = 0

\(\Delta=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 100 & 1000 \\ a+9 d & a+99 d & a+999 d \end{array}\right|=0\)

\(\Delta_{x}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 100 & 1000 \\ 0 & a+99 d & a+999 d \end{array}\right|=900(d-a)\)

\(\Delta_{y}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 0 & 1000 \\ a+9 d & 0 & a+999 d \end{array}\right|=990(a-d)\)

\(\Delta_{z}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 100 & 0 \\ a+9 d & a+99 d & 0 \end{array}\right|=90(d-a)\)

विकल्प I: यदि \(\frac{q}{r}=10 \Rightarrow a=d\) है। 

\(\Delta=\Delta_{x}=\Delta_{y}=\Delta_{z}=0\)

और समीकरण (1) और समीकरण (2) समांतर समतल नहीं दर्शाते हैं और समीकरण (2) और समीकरण (3) समान समतल दर्शाते हैं

⇒ अपरिमित रूप से अनेक हल है। 

I → P, Q, R, T

विकल्प II: \(\frac{p}{r} \neq 100 \Rightarrow a \neq d\)

\(\Delta=0, \Delta_{x}, \Delta_{y}, \Delta_{z} \neq 0\)

कोई हल नहीं है। 

II → S

विकल्प III: \(\frac{p}{q} \neq 10 \Rightarrow a \neq d\)

कोई हल नहीं है। 

III → S

विकल्प IV: यदि \(\frac{p}{q}=10 \Rightarrow a=d\)

अपरिमित रूप से अनेक हल है। 

IV → P, Q, R, T

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

Top Solution of Linear Equations MCQ Objective Questions

k के किस मान के लिए समीकरण निकाय kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k2 का कोई हल नहीं है?

  1. 0
  2. 2
  3. -1
  4. -2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : -2

Solution of Linear Equations Question 6 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

\(\; \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}\\ {{d_2}}\\ {{d_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ संगत है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत (कोई हल नहीं) है। 

गणना:

दिया गया समीकरण: kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k2

\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)

⇒ दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं होने के लिए, |A|=0

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ k (k2 – 1) -1(K – 1) +1(1 – k) = 0

⇒ k3 – k – k +1 +1 – k = 0

⇒ k3 -3k +2 = 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0

⇒ k = 1, -2

यदि हम दिए गए उपरोक्त समीकरण में k = 1 रखते हैं, तो सभी समीकरण समान हो जायेगा। 

अतः k = -2 होने पर दिए गए समीकरण में कोई हल नहीं हैं। 

k के किन मानों के लिए समीकरण निकाय 2k2x + 3y - 1 = 0, 7x - 2y + 3 = 0, 6kx + y + 1 = 0 संगत है?

  1. \(\rm \frac{3±\sqrt{11}}{10}\)
  2. \(\rm \frac{21±\sqrt{161}}{10}\)
  3. \(\rm \frac{3±\sqrt{7}}{10}\)
  4. \(\rm \frac{4±\sqrt{11}}{10}\)

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : \(\rm \frac{21±\sqrt{161}}{10}\)

Solution of Linear Equations Question 7 Detailed Solution

Download Solution PDF

Concept:

Consider three linear eqaution in two variable:

a1x + b1y + c1 = 0

a2x + b2y + c2 = 0

a3x + b3y + c3 = 0

Condition for the consistency of three simultaneous linear equations in 2 variables:

​​​​\( \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}} \right|=0\)

द्विघात समीकरण के लिए सूत्र:

ax2 + bx + c = 0

x = \(\rm \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\)

गणना:

2k2x + 3y - 1 = 0      ....(1)

7x - 2y + 3 = 0      ....(2)

6kx + y + 1 = 0      ....(3)

For consistency of given simultaneous equation,

\( \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2k^2&3&-1\\ 7&-2&3\\ 6k&1&1 \end{array}} \right|=0\)

⇒ 2k2(-2- 3) - 3(7 - 18k) - 1(7 + 12k) = 0

⇒ -10k2 - 21 + 54k - 7 - 12k = 0

⇒ -10k2 + 42k - 28 =  0

⇒ 5k2 - 21k + 14 =  0

By using the formula,

\(x=\rm \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\)

\(\Rightarrow k=\rm \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^{2} - 4(5)(14)}}{2\times 5}\)

\(\therefore k=\rm \frac{21 \pm \sqrt{161}}{10}\)

समीकरण x + y + z = 6, x + 2y + 3z = 10 और x + 2y + λz = μ के अनंत हल हैं यदि

  1. λ = μ ≠ 3, 10
  2. λ ≠ μ = 3, कोई वास्तविक संख्या है
  3. λ = 3, μ = 10
  4. इनमें से कोई भी नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : λ = 3, μ = 10

Solution of Linear Equations Question 8 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

A = [aij]m × n = आव्यूह का गुणांक, X = चरों का स्तंभ आव्यूह

B = स्थिरांकों का स्तंभ आव्यूह

प्रणाली AX = B में निम्न है

1) एक अद्वितीय हल, यदि A की रैंक = रैंक [A|B] और चरों की संख्या के बराबर है।

2) असीम रूप से अनेक हल, यदि A की रैंक = [A|B] की रैंक < चरों की संख्या

3) कोई हल नहीं, यदि A की रैंक ≠ [A|B] की रैंक यानी A की रैंक < [A|B] की रैंक।

गणना:

माना

\(let\;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 1&{ 2}&{ λ} \end{array}} \right]\)

हम देख सकते हैं कि, λ = 3 पर, R2 = R3 और इसलिए, |A| = 0 है। 

λ = 3 के लिए या तो अनंत हल मौजूद हैं या कोई हल मौजूद नहीं है।

दिए गए रैखिक समीकरण का गुणांक आव्यूह है

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 1&{ 2}&{ λ} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\end{array}}\\ z \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { 6}\\ { 10} \end{array}}\\ \mu\end{array}} \right]\;\)

R3 → R3 - R2

⇒ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 0&{ 0}&{ λ\ -\ 3} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\end{array}}\\ z \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { 6}\\ { 10} \end{array}}\\ \mu\ -\ 3\end{array}} \right]\;\)

माना संवर्धित आव्यूह हो

\(X = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 0&{ 0}&{ λ \ -\ 3} \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { 6}\\ { 10}\\ \mu\ -\ 10 \end{array}} \right.} \right]\)

बिना किसी हल के,  μ = 10 

इसलिए, λ = 3, μ = 10 सही उत्तर है।Shortcut Trickx + y + z = 6

x + 2y + 3z = 10

x + 2y + λz = μ 

इसलिए, यदि हम λ = 3, μ = 10 रखते हैं, तो दो-समीकरण संपाती होंगे, जिसके परिणामस्वरूप अनंत संख्या में हल प्राप्त होंगे।

रैखिक समीकरण निकाय kx + y + z = 1, x + ky + z = 1 और x + y + kz = 1 का एकमात्र हल होगा, यदि

  1. k ≠ 1 और k ≠ -2
  2. k ≠ 1 और k ≠ 2
  3. k ≠ -1 और k ≠ -2
  4. k ≠ -1 और k ≠ 2

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : k ≠ 1 और k ≠ -2

Solution of Linear Equations Question 9 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना

माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_1}}&{{{\rm{b}}_1}}&{{{\rm{c}}_1}}\\ {{{\rm{a}}_2}}&{{{\rm{b}}_2}}&{{{\rm{c}}_2}}\\ {{{\rm{a}}_3}}&{{{\rm{b}}_3}}&{{{\rm{c}}_3}} \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{d}}_1}}\\ {{{\rm{d}}_2}}\\ {{{\rm{d}}_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A-1 B = \({\rm{\;}}\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}{\rm{\;B}}\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत प्रणाली है। 

गणना:

रैखिक समीकरण की दी गयी प्रणाली kx + y + z = 1, x + ky + z = 1 और x + y + kz = 1 हैं। 

माना कि A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right]\)है। 

det (A) = |A| = k (k2 – 1) – 1(k -1) + 1 (1 – k)

⇒ |A| = k3 – k – k + 1 + 1 – k = k3 – 3k + 2

विशिष्ट हल के लिए,

det (A) ≠ 0

⇒ k3 – 3k + 2 ≠ 0

⇒ (k – 1) (k2 + k - 2) ≠ 0

⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) ≠ 0

∴ k ≠ 1 और k ≠ -2

समीकरण निकाय

x + y + z = 8,

x – y + 2z = 6 और

3x – y + 5z = k के संबंध में निम्नलिखित में से कौन-से  सही है?

1. यदि k = 15 है, तो उनका कोई हल नहीं हैं। 

2. यदि k = 20 है, तो उनके अनंततः अनेक हल हैं। 

3. यदि k = 25 है, तो उनका अद्वितीय हल हैं। 

नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर सही उत्तर चुनिए:

  1. केवल 1 और 2  
  2. केवल 2 और 3 
  3. केवल 1 और 3 
  4. 1, 2 और 3 

Answer (Detailed Solution Below)

Option 1 : केवल 1 और 2  

Solution of Linear Equations Question 10 Detailed Solution

Download Solution PDF

संकल्पना

माना की समीकरण की प्रणाली निम्न है,

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

\({\rm{\;}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_1}}&{{{\rm{b}}_1}}&{{{\rm{c}}_1}}\\ {{{\rm{a}}_2}}&{{{\rm{b}}_2}}&{{{\rm{c}}_2}}\\ {{{\rm{a}}_3}}&{{{\rm{b}}_3}}&{{{\rm{c}}_3}} \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{d}}_1}}\\ {{{\rm{d}}_2}}\\ {{{\rm{d}}_3}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

⇒ X = A-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}{\rm{\;B}}\)

⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल के साथ समान है। 

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ समान है।

⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत है (कोई हल नहीं)। 

गणना:

दिया गया है कि समीकरण की प्रणाली x + y + z = 8, x – y + 2z = 6 और 3x – y + 5z = k है।

\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&{ - 1}&2\\ 3&{ - 1}&5 \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{k}} \end{array}} \right]\)

⇒ AX = B

A की सारणिक = |A| = 1 (-5 + 2) – 1 (5 – 6) + 1 (-1 + 3) = -3 + 1 + 2 = 0

इसलिए हम कह सकते हैं कि समीकरण में या तो अनंत रूप से हल है या कोई हल नहीं है। 

विशिष्ट हल संभव नहीं है। 

 ∴ कथन 3 गलत है। 

हमारे पास adj A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right]\)है

यदि K = 15 तो

B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{15}} \end{array}} \right]\)

अब (adj A). B निम्न होगा 

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{15}} \end{array}} \right] \ne 0 \)

⇒ कोई हल नहीं

यदि K = 20 तो

B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{20}} \end{array}} \right]\)

अब (adj A). B निम्न होगा 

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{20}} \end{array}} \right] = 0 \)

⇒ अनंत रूप से कई हल

अतः विकल्प 1 सहीं हैं। 

यदि निम्न रैखिक समीकरणों की प्रणाली के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं तो λ + μ का मान क्या है?

x + y + z = 5

x + 2y + 2z = 6

x + 3y + λz = μ

(λ, μ ∈ R)

  1. 12
  2. 9
  3. 7
  4. 10

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : 10

Solution of Linear Equations Question 11 Detailed Solution

Download Solution PDF

रैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली:

x + y + z = 5;

x + 2y + 2z = 6;

और x + 3y + z = μ के अनंत हल हैं

∴ Δ = 0, Δx = Δy = Δz = 0

अब दिए गए समीकरणों से सारणिक बनाते हुए,

\({\rm{\Delta }} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&2\\ 1&3&{\rm{\lambda }} \end{array}} \right| = 0\)

⇒ 1(2λ – 6)-1(λ – 2)+1(3 – 2) = 0

⇒ 2λ – 6 – λ + 2 + 3 – 2 = 0

⇒ λ – 8 + 5 = 0

⇒ λ – 3 = 0

∴ λ = 3

अब, y का सारणिक है:

\({\rm{\Delta y}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&1\\ 1&6&2\\ 1&{\rm{\mu }}&3 \end{array}} \right| = 0\)

R2 → R2 – R1

R3 → R3 – R1

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&1\\ {1 - 1}&{6 - 5}&{2 - 1}\\ {1 - 1}&{{\rm{\mu }} - 5}&{3 - 1} \end{array}} \right| = 0\)

\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&1\\ 0&1&1\\ 0&{{\rm{\mu }} - 5}&2 \end{array}} \right| = 0\)

⇒ 1(2 – (μ – 5)) – 5(0 – 0) + 1(0 – 0) = 0

⇒ 1(2 – (μ – 5)) = 0

⇒ 2 – μ + 5 = 0

⇒ 7 – μ = 0

∴ μ = 7

अब,

∴ λ + μ = 3 + 7 = 10

दी गई रैखिक समीकरणों की प्रणाली का आव्यूह विधि द्वारा हल ज्ञात कीजिए।

2x - 3y = 10

4x - 6y = 7

  1. x = 2, y = 0
  2. x = 0, y = 1
  3. x = 1, y = 2
  4. कोई हल नहीं

Answer (Detailed Solution Below)

Option 4 : कोई हल नहीं

Solution of Linear Equations Question 12 Detailed Solution

Download Solution PDF

Ax = B

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}\\ 4&{ - 6} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 7 \end{array}} \right]\)

X = (adj(A).B)/(|A|)

|A| \(= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&3\\ { - 4}&2 \end{array}} \right|\) = -12 - (-12) = - 12 + 12 = 0

|A| = 0

Adj (A) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&3\\ { - 4}&2 \end{array}} \right]\)

\(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&3\\ { - 4}&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 7 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 60 + 21}\\ { - 40 + 14} \end{array}} \right]\)

0 = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 39}\\ { - 26} \end{array}} \right]\)

इसलिए, कोई हल नहीं।

K पर स्थिति का पता लगाएं, ताकि समीकरणों की प्रणाली: x + 3y = 5 और 2x + ky = 8 का एक अद्वितीय हल हो।

  1. k = 6
  2. k ≠ 6
  3. k ≠ 4
  4. k = 4

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : k ≠ 6

Solution of Linear Equations Question 13 Detailed Solution

Download Solution PDF

धारणा:

हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें:

a11 × x + a12 × y = b1

a21 × x + a22 × y = b2

हम इन समीकरणों को आव्यूह रूप में लिख सकते हैं: A X = B, जहाँ \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right],\;X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\;and\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}} \end{array}} \right]\)

स्थिती -1: यदि A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो |A| ≠ 0

फिर X = A-1 B जहाँ A-1 मौजूद होगा यदि और केवल यदि |A| ≠ 0 और यह इसके द्वारा दिया गया है: \({A^{ - 1}} = \frac{{adj\;\left( A \right)}}{{\left| A \right|}}\)

स्थिती – 2: यदि A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो |A| = 0

इस मामले में, हमें इसकी गणना करनी होगी (adj (A)) × B

यदि (adj (A)) × B ≠ O, जहां O रिक्त आव्यूह है तो समीकरणों की प्रणाली असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।

यदि (adj (A)) × B = O, जहां O रिक्त आव्यूह है तो समीकरणों की प्रणाली असंगत है और इसके अनंत रूप से कई हल हैं।

गणना:

दिया हुआ: x + 3y = 5 और 2x + ky = 8

हम इन समीकरणों को आव्यूह रूप में लिख सकते हैं: A X = B, जहाँ \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 2&k \end{array}} \right],\;X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\;and\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 8 \end{array}} \right]\)

यह कहने के लिए कि रेखीय समीकरणों की दी गई प्रणाली सुसंगत है और इसका अद्वितीय हल है, |A| ≠ 0.

⇒ |A| = k – 6 ≠ 0 ⇒ k ≠ 6

समीकरण 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0 का _____ के लिए कोई हल नहीं है।

  1. k = -4
  2. k = 4
  3. k = 1
  4. k = -1

Answer (Detailed Solution Below)

Option 2 : k = 4

Solution of Linear Equations Question 14 Detailed Solution

Download Solution PDF

अवधारणा:

यदि दो रैखिक समीकरण

​x + b1y ​= c1​ और ​x + b2y ​= c2 है, तब

(a) यदि ​​/a= b1​​/b​​= c1​​/c2 है, तब निकाय संगत है और इसके अपरिमित रूप से कई हल हैं।

(b) यदि ​​/a= b1​​/b≠ c1​​/c2 है, तब निकाय का कोई हल नहीं है और असंगत है।

गणना:

समीकरण 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0

2/6 = - k/-12 ≠ 7/15

2/6 = - k/-12 उपयोग करने पर,

⇒ k = 24/6 =  4

∴ k = 4 पर, समीकरण 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0 का कोई हल नहीं है।

रैखिक समीकरणों का एक समुच्चय आव्यूह समीकरण Ax = b द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रणाली के समाधान के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त है:

  1. A व्युत्क्रम होना चाहिए
  2. Det(A) = 0
  3. b को A के स्तंभ पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए
  4. b को A के स्तंभ से रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए

Answer (Detailed Solution Below)

Option 3 : b को A के स्तंभ पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए

Solution of Linear Equations Question 15 Detailed Solution

Download Solution PDF

व्याख्या:

b को A के स्तंभ पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए

A3x3 लेने पर, तब [A : b]3x4अर्थात, संवर्धित आव्यूह में 4 सदिश हैं।

लेकिन रैंक के गुण से, हमारे पास \(\rho (A:b)\leq 3\) है।

जो निश्चित रूप से 4 से कम है

तो [A : b] में L.D. सदिशों के समुच्चय से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आव्यूह b को आव्यूह A के स्तंभ पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए।

सही विकल्प (3) है।

Get Free Access Now
Hot Links: teen patti - 3patti cards game downloadable content teen patti live teen patti master downloadable content lotus teen patti teen patti app