Solution of Linear Equations MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Solution of Linear Equations - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें
Last updated on Mar 29, 2025
Latest Solution of Linear Equations MCQ Objective Questions
Solution of Linear Equations Question 1:
एक निकाय समीकरण पर विचार करें:
\(2x+y-z=0\),
\(4x - py + 4z = 4\) और
\(x-y+z=q\)
जहाँ \(p, q \in I\) और \(p, q \in [1, 10]\) है, तब सही कथन(कथनों) की पहचान करें।
सूची-I | सूची-II | |
---|---|---|
(I) | क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का अद्वितीय हल है | (P) 1 |
(II) | क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है | (Q) 9 |
(III) | क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का अनंत हल है | (R) 91 |
(IV) | क्रमित युग्मों \((p, q)\) की संख्या जिसके लिए समीकरण निकाय का कम से कम एक हल है | (S) 90 |
Answer (Detailed Solution Below)
I → S, II → Q, III → P, IV → R
Solution of Linear Equations Question 1 Detailed Solution
गणना:
दिया गया है:
रैखिक समीकरणों का निकाय है:
\(2x + y - z = 0\)
\(4x - py + 4z = 4\)
\(x - y + z = q\)
\(p, q \in I\) और \(p, q \in [1, 10]\)
गुणांक आव्यूह A है:
\(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 1 & -\frac{p}{4} & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)
संवर्धित आव्यूह [A|B] है:
\([A|B] = \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 0 \\ 1 & -\frac{p}{4} & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & q \end{bmatrix}\)
A के सारणिक, |A| की गणना करें:
\(|A| = 2(-\frac{p}{4} + 1) - 1(1 - 1) - 1(-1 + \frac{p}{4})\)
\(|A| = -\frac{p}{2} + 2 + 0 + 1 - \frac{p}{4}\)
\(|A| = 3 - \frac{3p}{4}\)
⇒ अद्वितीय हल के लिए, \(|A| \ne 0\):
\(3 - \frac{3p}{4} \ne 0\)
\(3 \ne \frac{3p}{4}\)
\(p \ne 4\)
कोई हल नहीं या अनंत हल के लिए, \(|A| = 0\), इसलिए \(p = 4\) है।
⇒ यदि \(p=4\) है, तो निकाय बन जाता है:
\(2x + y - z = 0\)
\(x - y + z = 1\)
\(x - y + z = q\)
⇒ दूसरे और तीसरे समीकरणों से, एक हल के अस्तित्व के लिए, \(1 = q\) है।
⇒ यदि \(p = 4\) और \(q = 1\) है, अनंत हल का अस्तित्व हैं।
⇒ यदि \(p = 4\) और \(q \ne 1\) है, किसी हल का अस्तित्व नहीं है।
(I) अद्वितीय हल: \(p \ne 4\). \(p\), 9 मान ले सकता है (1 से 10 तक 4 को छोड़कर)। \(q\),10 मान ले सकता है। कुल युग्म: 9 × 10 = 90
(II) कोई हल नहीं: \(p = 4\) और \(q \ne 1\). \(q\) के लिए 9 मान है। \(p\) के लिए 1 युग्म। कुल युग्म: 1 × 9 = 9
(III) अनंत हल: \(p = 4\) और \(q = 1\). केवल 1 युग्म।
(IV) कम से कम एक हल: कुल युग्म - कोई हल नहीं वाले युग्म= 100 - 9 = 91
∴ (I) - (S), (II) - (Q), (III) - (P), (IV) - (R)
Solution of Linear Equations Question 2:
यदि समीकरण निकाय
x + 2y - 3z = 2
2x + λy + 5z = 5
14x + 3y + μz = 33
के अनन्त हल हैं, तो λ + μ बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 2 Detailed Solution
गणना
\(D=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -3 \\ 2 & λ & 5 \\ 14 & 3 & \mu \end{array}\right|=0\)
⇒ \(λ \mu+42 λ-4 \mu+107=0\)
D1 = 2λμ + 99λ - 10μ + 255
D2 = 13 - μ
D3 = 5λ + 5
D2 = 0 ⇒ μ = 13 और D3 = 0 ⇒ λ = -1
इन मानों के लिए D और D1 = 0
λ + μ = 13 - 1 = 12
इसलिए विकल्प 4 सही है
Solution of Linear Equations Question 3:
यदि समीकरण निकाय
2x - y + z = 4
5x + λy + 3z = 12
100x - 47y + μz = 212,
के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं, तो μ - 2λ बराबर है:
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 3 Detailed Solution
गणना
\(\Delta=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 5 & λ & 3 \\ 100 & -47 & μ \end{array}\right|=0\)
⇒ 2(λμ + 141) + (5μ - 300) - 235 - 100λ = 0 …(1)
\(\Delta_{3}=0 \Rightarrow\left|\begin{array}{ccc} 2 & -1 & 4 \\ 5 & \lambda & 12 \\ 100 & -47 & 212 \end{array}\right|=0\)
⇒ 6λ = -12 ⇒ λ = -2
(1) में λ = -2 रखने पर,
⇒ 2(-2μ + 141) + 5μ - 300 - 235 + 200 = 0
⇒ μ = 53
μ - 2λ = 57
इसलिए, विकल्प 4 सही है।
Solution of Linear Equations Question 4:
यदि p ≠ a, q ≠ b, r ≠ c है और समीकरण निकाय
px + ay + az = 0
bx + qy + bz = 0
cx + cy + rz = 0
का एक अतुच्छ हल है, तो \(\frac{p}{p-a}+\frac{q}{q-b}+\frac{r}{r-c}\) का मान है:
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 4 Detailed Solution
गणना
चूँकि दिए गए समीकरण निकाय का एक अतुच्छ हल है।
\(\Delta=\left|\begin{array}{lll} p & a & a \\ b & q & b \\ c & c & r \end{array}\right|=0\)
C2 → C2 - C1 और C3 → C3 - C1 को लागू करने पर
\(\Delta=\left|\begin{array}{ccc} p & a-p & a-p \\ b & q-b & 0 \\ c & 0 & r-c \end{array}\right|=0\)
C3 के अनुदिश प्रसार करने पर, हमें प्राप्त होता है
\((a-p)\left|\begin{array}{cc} b & q-b \\ c & 0 \end{array}\right|+(r-c)\left|\begin{array}{cc} p & a-p \\ b & q-b \end{array}\right|=0\)
⇒ (a - p)(-c)(q - b) + (r - c){p(q - b) - b(a - p)} = 0
⇒ (p - a)(q - b)c + p(r − c)(q - b) + b(r − c)(p - a) = 0
(p - a)(q - b)(r - c) से भाग देने पर, हमें प्राप्त होता है
⇒ \(\frac{c}{r-c}+\frac{p}{p-a}+\frac{b}{q-b}=0\)
⇒ \(\frac{p}{p-a}=-\frac{c}{r-c}-\frac{b}{q-b}\)
⇒ \(\frac{p}{p-a}+\frac{q}{q-b}+\frac{r}{r-c}=\frac{q-b}{q-b}+\frac{r-c}{r-c}=2\)
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
Solution of Linear Equations Question 5:
मान लीजिए p, q, r शून्येतर वास्तविक संख्याएँ हैं जो क्रमशः एक हरात्मक श्रेढ़ी के 10वें, 100वें और 1000वें पद हैं। रैखिक समीकरणों के निकाय पर विचार करें
x + y + z = 1
10x + 100y + 1000z = 0
qr x + pr y + pq z = 0
सूची-I | सूची-II |
(I) यदि \(\frac{q}{r}=10\), तब रैखिक समीकरणों के निकाय में है | (P) \(x=0, y=\frac{10}{9}, z=-\frac{1}{9}\) एक हल के रूप में |
(II) यदि \(\frac{p}{r}\neq 100\), तब रैखिक समीकरणों के निकाय में है | (Q) \(x=\frac{10}{9}, y=-\frac{1}{9}, z=0\) एक हल के रूप में |
(III) यदि \(\frac{p}{q}\neq 10\), तब रैखिक समीकरणों के निकाय में है | (R) अपरिमित रूप से अनेक हल |
(IV) यदि \(\frac{p}{q}=10\), तब रैखिक समीकरणों के निकाय में है | (S) कोई हल नहीं |
(T) कम से कम एक हल |
सही विकल्प है:
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 5 Detailed Solution
गणना
x + y + z = 1 ---(1)
10x + 100y + 1000z = 0 ---(2)
qrx + pry + pqz = 0 ---(3)
समीकरण (3) को फिर से लिखा जा सकता है
\(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}+\frac{z}{r}=0 \quad(\because p, q, r \neq 0)\)
मान लीजिए, \(p=\frac{1}{a+9 d}, q=\frac{1}{a+99 d}, r=\frac{1}{a+999 d}\)
अब, समीकरण (3) है
(a + 9d)x + (a + 99d)y + (a + 999d)z = 0
\(\Delta=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 100 & 1000 \\ a+9 d & a+99 d & a+999 d \end{array}\right|=0\)
\(\Delta_{x}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 100 & 1000 \\ 0 & a+99 d & a+999 d \end{array}\right|=900(d-a)\)
\(\Delta_{y}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 0 & 1000 \\ a+9 d & 0 & a+999 d \end{array}\right|=990(a-d)\)
\(\Delta_{z}=\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 10 & 100 & 0 \\ a+9 d & a+99 d & 0 \end{array}\right|=90(d-a)\)
विकल्प I: यदि \(\frac{q}{r}=10 \Rightarrow a=d\) है।
\(\Delta=\Delta_{x}=\Delta_{y}=\Delta_{z}=0\)
और समीकरण (1) और समीकरण (2) समांतर समतल नहीं दर्शाते हैं और समीकरण (2) और समीकरण (3) समान समतल दर्शाते हैं
⇒ अपरिमित रूप से अनेक हल है।
I → P, Q, R, T
विकल्प II: \(\frac{p}{r} \neq 100 \Rightarrow a \neq d\)
\(\Delta=0, \Delta_{x}, \Delta_{y}, \Delta_{z} \neq 0\)
कोई हल नहीं है।
II → S
विकल्प III: \(\frac{p}{q} \neq 10 \Rightarrow a \neq d\)
कोई हल नहीं है।
III → S
विकल्प IV: यदि \(\frac{p}{q}=10 \Rightarrow a=d\)
अपरिमित रूप से अनेक हल है।
IV → P, Q, R, T
इसलिए, विकल्प 2 सही है।
Top Solution of Linear Equations MCQ Objective Questions
k के किस मान के लिए समीकरण निकाय kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k2 का कोई हल नहीं है?
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFसंकल्पना
माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
\(\; \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}&{{b_1}}&{{c_1}}\\ {{a_2}}&{{b_2}}&{{c_2}}\\ {{a_3}}&{{b_3}}&{{c_3}} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\\ z \end{array}} \right] = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_1}}\\ {{d_2}}\\ {{d_3}} \end{array}} \right]\)
⇒ AX = B
⇒ X = A-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}\;B\)
⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत है।
⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ संगत है।
⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत (कोई हल नहीं) है।
गणना:
दिया गया समीकरण: kx + y + z = 1, x + ky + z = k और x + y + kz = k2
\( \Rightarrow {\rm{A}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right],{\rm{B}} = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right]{\rm{and\;C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\rm{k}}\\ {{{\rm{k}}^2}} \end{array}} \right]\)
⇒ दिए गए समीकरण का कोई हल नहीं होने के लिए, |A|=0
\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right| = 0\)
⇒ k (k2 – 1) -1(K – 1) +1(1 – k) = 0
⇒ k3 – k – k +1 +1 – k = 0
⇒ k3 -3k +2 = 0
⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) = 0
⇒ k = 1, -2
यदि हम दिए गए उपरोक्त समीकरण में k = 1 रखते हैं, तो सभी समीकरण समान हो जायेगा।
अतः k = -2 होने पर दिए गए समीकरण में कोई हल नहीं हैं।
k के किन मानों के लिए समीकरण निकाय 2k2x + 3y - 1 = 0, 7x - 2y + 3 = 0, 6kx + y + 1 = 0 संगत है?
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFConcept:
Consider three linear eqaution in two variable:
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
a3x + b3y + c3 = 0
Condition for the consistency of three simultaneous linear equations in 2 variables:
\( \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_1&b_1&c_1\\ a_2&b_2&c_2\\ a_3&b_3&c_3 \end{array}} \right|=0\)
द्विघात समीकरण के लिए सूत्र:
ax2 + bx + c = 0
x = \(\rm \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\)
गणना:
2k2x + 3y - 1 = 0 ....(1)
7x - 2y + 3 = 0 ....(2)
6kx + y + 1 = 0 ....(3)
For consistency of given simultaneous equation,
\( \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2k^2&3&-1\\ 7&-2&3\\ 6k&1&1 \end{array}} \right|=0\)
⇒ 2k2(-2- 3) - 3(7 - 18k) - 1(7 + 12k) = 0
⇒ -10k2 - 21 + 54k - 7 - 12k = 0
⇒ -10k2 + 42k - 28 = 0
⇒ 5k2 - 21k + 14 = 0
By using the formula,
\(x=\rm \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\)
\(\Rightarrow k=\rm \frac{-(-21) \pm \sqrt{(-21)^{2} - 4(5)(14)}}{2\times 5}\)
\(\therefore k=\rm \frac{21 \pm \sqrt{161}}{10}\)
समीकरण x + y + z = 6, x + 2y + 3z = 10 और x + 2y + λz = μ के अनंत हल हैं यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
A = [aij]m × n = आव्यूह का गुणांक, X = चरों का स्तंभ आव्यूह
B = स्थिरांकों का स्तंभ आव्यूह
प्रणाली AX = B में निम्न है
1) एक अद्वितीय हल, यदि A की रैंक = रैंक [A|B] और चरों की संख्या के बराबर है।
2) असीम रूप से अनेक हल, यदि A की रैंक = [A|B] की रैंक < चरों की संख्या
3) कोई हल नहीं, यदि A की रैंक ≠ [A|B] की रैंक यानी A की रैंक < [A|B] की रैंक।
गणना:
माना
\(let\;A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 1&{ 2}&{ λ} \end{array}} \right]\)
हम देख सकते हैं कि, λ = 3 पर, R2 = R3 और इसलिए, |A| = 0 है।
λ = 3 के लिए या तो अनंत हल मौजूद हैं या कोई हल मौजूद नहीं है।
दिए गए रैखिक समीकरण का गुणांक आव्यूह है
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 1&{ 2}&{ λ} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\end{array}}\\ z \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { 6}\\ { 10} \end{array}}\\ \mu\end{array}} \right]\;\)
R3 → R3 - R2
⇒ \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 0&{ 0}&{ λ\ -\ 3} \end{array}} \right]\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y\end{array}}\\ z \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} { 6}\\ { 10} \end{array}}\\ \mu\ -\ 3\end{array}} \right]\;\)
माना संवर्धित आव्यूह हो
\(X = \;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{ 1}\\ 1&2&3\\ 0&{ 0}&{ λ \ -\ 3} \end{array}\left| {\begin{array}{*{20}{c}} { 6}\\ { 10}\\ \mu\ -\ 10 \end{array}} \right.} \right]\)
बिना किसी हल के, μ = 10
इसलिए, λ = 3, μ = 10 सही उत्तर है।Shortcut Trickx + y + z = 6
x + 2y + 3z = 10
x + 2y + λz = μ
इसलिए, यदि हम λ = 3, μ = 10 रखते हैं, तो दो-समीकरण संपाती होंगे, जिसके परिणामस्वरूप अनंत संख्या में हल प्राप्त होंगे।
रैखिक समीकरण निकाय kx + y + z = 1, x + ky + z = 1 और x + y + kz = 1 का एकमात्र हल होगा, यदि
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 9 Detailed Solution
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माना कि समीकरणों की प्रणाली निम्न है,
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_1}}&{{{\rm{b}}_1}}&{{{\rm{c}}_1}}\\ {{{\rm{a}}_2}}&{{{\rm{b}}_2}}&{{{\rm{c}}_2}}\\ {{{\rm{a}}_3}}&{{{\rm{b}}_3}}&{{{\rm{c}}_3}} \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{d}}_1}}\\ {{{\rm{d}}_2}}\\ {{{\rm{d}}_3}} \end{array}} \right]\)
⇒ AX = B
⇒ X = A-1 B = \({\rm{\;}}\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}{\rm{\;B}}\)
⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल वाली संगत प्रणाली है।
गणना:
रैखिक समीकरण की दी गयी प्रणाली kx + y + z = 1, x + ky + z = 1 और x + y + kz = 1 हैं।
माना कि A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{k}}&1&1\\ 1&{\rm{k}}&1\\ 1&1&{\rm{k}} \end{array}} \right]\)है।
det (A) = |A| = k (k2 – 1) – 1(k -1) + 1 (1 – k)
⇒ |A| = k3 – k – k + 1 + 1 – k = k3 – 3k + 2
विशिष्ट हल के लिए,
det (A) ≠ 0
⇒ k3 – 3k + 2 ≠ 0
⇒ (k – 1) (k2 + k - 2) ≠ 0
⇒ (k – 1) (k – 1) (k + 2) ≠ 0
∴ k ≠ 1 और k ≠ -2
समीकरण निकाय
x + y + z = 8,
x – y + 2z = 6 और
3x – y + 5z = k के संबंध में निम्नलिखित में से कौन-से सही है?
1. यदि k = 15 है, तो उनका कोई हल नहीं हैं।
2. यदि k = 20 है, तो उनके अनंततः अनेक हल हैं।
3. यदि k = 25 है, तो उनका अद्वितीय हल हैं।
नीचे दिए गए कूट का प्रयोग कर सही उत्तर चुनिए:
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 10 Detailed Solution
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माना की समीकरण की प्रणाली निम्न है,
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
\({\rm{\;}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{a}}_1}}&{{{\rm{b}}_1}}&{{{\rm{c}}_1}}\\ {{{\rm{a}}_2}}&{{{\rm{b}}_2}}&{{{\rm{c}}_2}}\\ {{{\rm{a}}_3}}&{{{\rm{b}}_3}}&{{{\rm{c}}_3}} \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\rm{d}}_1}}\\ {{{\rm{d}}_2}}\\ {{{\rm{d}}_3}} \end{array}} \right]\)
⇒ AX = B
⇒ X = A-1 B = \(\frac{{{\rm{adj\;}}\left( {\rm{A}} \right)}}{{\det {\rm{\;}}({\rm{A}})}}{\rm{\;B}}\)
⇒ यदि det (A) ≠ 0 है, तो प्रणाली विशिष्ट हल के साथ समान है।
⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B = 0 है, तो प्रणाली अनंत रूप से कई हलों के साथ समान है।
⇒ यदि det (A) = 0 और (adj A). B ≠ 0 है, तो प्रणाली असंगत है (कोई हल नहीं)।
गणना:
दिया गया है कि समीकरण की प्रणाली x + y + z = 8, x – y + 2z = 6 और 3x – y + 5z = k है।
\(\Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&{ - 1}&2\\ 3&{ - 1}&5 \end{array}} \right]{\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{x}}\\ {\rm{y}}\\ {\rm{z}} \end{array}} \right] = {\rm{\;}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{k}} \end{array}} \right]\)
⇒ AX = B
A की सारणिक = |A| = 1 (-5 + 2) – 1 (5 – 6) + 1 (-1 + 3) = -3 + 1 + 2 = 0
इसलिए हम कह सकते हैं कि समीकरण में या तो अनंत रूप से हल है या कोई हल नहीं है।
विशिष्ट हल संभव नहीं है।
∴ कथन 3 गलत है।
हमारे पास adj A = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right]\)है
यदि K = 15 तो
B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{15}} \end{array}} \right]\)
अब (adj A). B निम्न होगा
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{15}} \end{array}} \right] \ne 0 \)
⇒ कोई हल नहीं
यदि K = 20 तो
B = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{20}} \end{array}} \right]\)
अब (adj A). B निम्न होगा
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} -3&-6&3\\ 1&{2}&-1\\ 2&{ 4}&-2 \end{array}} \right] \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 6\\ {\rm{20}} \end{array}} \right] = 0 \)
⇒ अनंत रूप से कई हल
अतः विकल्प 1 सहीं हैं।
यदि निम्न रैखिक समीकरणों की प्रणाली के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं तो λ + μ का मान क्या है?
x + y + z = 5
x + 2y + 2z = 6
x + 3y + λz = μ
(λ, μ ∈ R)
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFरैखिक समीकरणों की दी गई प्रणाली:
x + y + z = 5;
x + 2y + 2z = 6;
और x + 3y + z = μ के अनंत हल हैं
∴ Δ = 0, Δx = Δy = Δz = 0
अब दिए गए समीकरणों से सारणिक बनाते हुए,
\({\rm{\Delta }} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&1\\ 1&2&2\\ 1&3&{\rm{\lambda }} \end{array}} \right| = 0\)
⇒ 1(2λ – 6)-1(λ – 2)+1(3 – 2) = 0
⇒ 2λ – 6 – λ + 2 + 3 – 2 = 0
⇒ λ – 8 + 5 = 0
⇒ λ – 3 = 0
∴ λ = 3
अब, y का सारणिक है:
\({\rm{\Delta y}} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&1\\ 1&6&2\\ 1&{\rm{\mu }}&3 \end{array}} \right| = 0\)
R2 → R2 – R1
R3 → R3 – R1
\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&1\\ {1 - 1}&{6 - 5}&{2 - 1}\\ {1 - 1}&{{\rm{\mu }} - 5}&{3 - 1} \end{array}} \right| = 0\)
\(\Rightarrow \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 1&5&1\\ 0&1&1\\ 0&{{\rm{\mu }} - 5}&2 \end{array}} \right| = 0\)
⇒ 1(2 – (μ – 5)) – 5(0 – 0) + 1(0 – 0) = 0
⇒ 1(2 – (μ – 5)) = 0
⇒ 2 – μ + 5 = 0
⇒ 7 – μ = 0
∴ μ = 7
अब,
∴ λ + μ = 3 + 7 = 10दी गई रैखिक समीकरणों की प्रणाली का आव्यूह विधि द्वारा हल ज्ञात कीजिए।
2x - 3y = 10
4x - 6y = 7Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFAx = B
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{ - 3}\\ 4&{ - 6} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 7 \end{array}} \right]\)
X = (adj(A).B)/(|A|)
|A| \(= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&3\\ { - 4}&2 \end{array}} \right|\) = -12 - (-12) = - 12 + 12 = 0
|A| = 0
Adj (A) = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&3\\ { - 4}&2 \end{array}} \right]\)
\(X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 6}&3\\ { - 4}&2 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}\\ 7 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 60 + 21}\\ { - 40 + 14} \end{array}} \right]\)
0 = \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 39}\\ { - 26} \end{array}} \right]\)
इसलिए, कोई हल नहीं।K पर स्थिति का पता लगाएं, ताकि समीकरणों की प्रणाली: x + 3y = 5 और 2x + ky = 8 का एक अद्वितीय हल हो।
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFधारणा:
हम रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें:
a11 × x + a12 × y = b1
a21 × x + a22 × y = b2
हम इन समीकरणों को आव्यूह रूप में लिख सकते हैं: A X = B, जहाँ \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right],\;X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\;and\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_1}}\\ {{b_2}} \end{array}} \right]\)
स्थिती -1: यदि A गैर-अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो |A| ≠ 0
फिर X = A-1 B जहाँ A-1 मौजूद होगा यदि और केवल यदि |A| ≠ 0 और यह इसके द्वारा दिया गया है: \({A^{ - 1}} = \frac{{adj\;\left( A \right)}}{{\left| A \right|}}\)
स्थिती – 2: यदि A अव्युत्क्रमणीय आव्यूह है तो |A| = 0
इस मामले में, हमें इसकी गणना करनी होगी (adj (A)) × B
यदि (adj (A)) × B ≠ O, जहां O रिक्त आव्यूह है तो समीकरणों की प्रणाली असंगत है और इसका कोई हल नहीं है।
यदि (adj (A)) × B = O, जहां O रिक्त आव्यूह है तो समीकरणों की प्रणाली असंगत है और इसके अनंत रूप से कई हल हैं।
गणना:
दिया हुआ: x + 3y = 5 और 2x + ky = 8
हम इन समीकरणों को आव्यूह रूप में लिख सकते हैं: A X = B, जहाँ \(A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&3\\ 2&k \end{array}} \right],\;X = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right]\;and\;B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 8 \end{array}} \right]\)
यह कहने के लिए कि रेखीय समीकरणों की दी गई प्रणाली सुसंगत है और इसका अद्वितीय हल है, |A| ≠ 0.
⇒ |A| = k – 6 ≠ 0 ⇒ k ≠ 6
समीकरण 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0 का _____ के लिए कोई हल नहीं है।
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFअवधारणा:
यदि दो रैखिक समीकरण
1y = c1 और x + b2y = c2 है, तब
x + b(a) यदि 2 = b1/b2 = c1/c2 है, तब निकाय संगत है और इसके अपरिमित रूप से कई हल हैं।
/a(b) यदि 2 = b1/b2 ≠ c1/c2 है, तब निकाय का कोई हल नहीं है और असंगत है।
/aगणना:
समीकरण 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0
2/6 = - k/-12 ≠ 7/15
2/6 = - k/-12 उपयोग करने पर,
⇒ k = 24/6 = 4
∴ k = 4 पर, समीकरण 2x - ky + 7 = 0 और 6x - 12y + 15 = 0 का कोई हल नहीं है।
रैखिक समीकरणों का एक समुच्चय आव्यूह समीकरण Ax = b द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रणाली के समाधान के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त है:
Answer (Detailed Solution Below)
Solution of Linear Equations Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFव्याख्या:
b को A के स्तंभ पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए।
A3x3 लेने पर, तब [A : b]3x4, अर्थात, संवर्धित आव्यूह में 4 सदिश हैं।
लेकिन रैंक के गुण से, हमारे पास \(\rho (A:b)\leq 3\) है।
जो निश्चित रूप से 4 से कम है।
तो [A : b] में L.D. सदिशों के समुच्चय से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आव्यूह b को आव्यूह A के स्तंभ पर रैखिक रूप से निर्भर होना चाहिए।
सही विकल्प (3) है।