फलन f(x) = (x - 2) (x - 3) के सांतत्य की जाँच कीजिए।

संकल्पना:

• माना कि f(x), x = c पर संतत है यदि 

बायां पक्ष = दायां पक्ष = f(c) का मान 

अर्थात्, \(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{c}}^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {{\rm{c}}^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = {\rm{f}}\left( {\rm{c}} \right)\)

गणना:

\(\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\; = \;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} \left( {{\rm{x}} - 2} \right)\left( {{\rm{x}} - 3} \right)\)            (a ϵ वास्तविक संख्याएँ)

\(= \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{\;}}{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 2{\rm{x}} + 6\)

\(= \mathop {{\rm{lim}}}\limits_{{\rm{x}} \to {\rm{a}}} {\rm{\;}}{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} + 6\)

\(= {{\rm{a}}^2} - 5{\rm{a}} + 6\)

∴ f(x) = f(a), इसलिए सभी स्थान पर संतत है

महत्वपूर्ण सुझाव:

द्विघात और बहुपद फलन उनके डोमेन में प्रत्येक बिंदु पर संतत है।