सम्मिश्र समतल में एक आयत C के शीर्ष (-1 - j), (3 - j), (3 + j) और (-1 + j) हैं। मान लीजिए कि C को वामावर्त दिशा में पार किया जाता है, तो कंटूर समाकल \(\displaystyle\oint_C \dfrac{dz}{z^2 (z-4)}\) का मान है:

संप्रत्यय:

अवशेष प्रमेय:

यदि f(z) एक बंद वक्र C में परिमित संख्या में विचित्र बिंदुओं को छोड़कर विश्लेषणात्मक है, तो

∫_cf(z) dz = 2πj x [C के अंदर विचित्र बिंदुओं पर अवशेषों का योग]

अवशेष ज्ञात करने का सूत्र:

1. यदि f(z) का z = a पर एक साधारण ध्रुव है, तो

\(Res\;f\left( a \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to a} \left[ {\left( {z - a} \right)f\left( z \right)} \right]\)

2. यदि f(z) का z = a पर कोटि n का ध्रुव है, तो

\(Res\;f\left( a \right) = \frac{1}{{\left( {n - 1} \right)!}}{\left\{ {\frac{{{d^{n - 1}}}}{{d{z^{n - 1}}}}\left[ {{{\left( {z - a} \right)}^n}f\left( z \right)} \right]} \right\}_{z = a}}\)

अनुप्रयोग:

दिया गया है कि (-1 - j), (3 - j), (3 + j) और (-1 + j) सम्मिश्र समतल में एक आयत C के शीर्ष हैं

दिए गए आंकड़ों से f(z) है,

\(f(z)=\dfrac{1}{z^2 (z-4)}\)

f(z) के ध्रुव हैं

z = 0 कोटि n = 2 का, बंद वक्र के अंदर स्थित है।

z = 4 कोटि n = 1 का, बंद वक्र के बाहर स्थित है।

∴ \(\displaystyle\oint_C \dfrac{dz}{z^2 (z-4)}=2π j\;Res\;f\left( 0 \right) \)

⇒ \(Res\;f\left( 0 \right) = \frac{1}{{\left( {2 - 1} \right)!}}{\left\{ {\frac{{{d^{2 - 1}}}}{{d{z^{2 - 1}}}}\left[ {{{\left( {z } \right)}^2}\dfrac{1}{z^2 (z-4)}} \right]} \right\}_{z = 0}}\)

\(Res\;f(0)=\dfrac{d}{dz}\left[\dfrac{1}{z-4}\right]_{z=0}=-\dfrac{1}{16}\)

\(\displaystyle\oint_C \dfrac{dz}{z^2 (z-4)}=2π j\left(\dfrac{-1}{16}\right)=\dfrac{-jπ }{8}\)

अतिरिक्त जानकारी

कॉशी प्रमेय:

यदि f(z) एक विश्लेषणात्मक फलन है और f’(z) एक बंद वक्र C के अंदर और उस पर प्रत्येक बिंदु पर सतत है, तो

\(\mathop \oint \limits_C f\left( z \right)dz = 0\)

कॉशी समाकल सूत्र:

यदि f(z) एक बंद वक्र के अंदर एक विश्लेषणात्मक फलन है और यदि a C के अंदर कोई बिंदु है, तो

\(f\left( a \right) = \frac{1}{{2\pi i}}\mathop \oint \limits_C \frac{{f\left( z \right)}}{{z - a}}dz\)

\({f^n}\left( a \right) = \frac{{n!}}{{2\pi i}}\mathop \oint \limits_C \frac{{f\left( z \right)}}{{{{\left( {z - a} \right)}^{n + 1}}}}dz\)