सम्मिश्र समतल में एक आयत C के शीर्ष (-1 - j), (3 - j), (3 + j) और (-1 + j) हैं। मान लीजिए कि C को वामावर्त दिशा में पार किया जाता है, तो कंटूर समाकल का मान है:

संप्रत्यय:

अवशेष प्रमेय:

यदि f(z) एक बंद वक्र C में परिमित संख्या में विचित्र बिंदुओं को छोड़कर विश्लेषणात्मक है, तो

∫_cf(z) dz = 2πj x [C के अंदर विचित्र बिंदुओं पर अवशेषों का योग]

अवशेष ज्ञात करने का सूत्र:

1. यदि f(z) का z = a पर एक साधारण ध्रुव है, तो

2. यदि f(z) का z = a पर कोटि n का ध्रुव है, तो

अनुप्रयोग:

दिया गया है कि (-1 - j), (3 - j), (3 + j) और (-1 + j) सम्मिश्र समतल में एक आयत C के शीर्ष हैं

दिए गए आंकड़ों से f(z) है,

f(z) के ध्रुव हैं

z = 0 कोटि n = 2 का, बंद वक्र के अंदर स्थित है।

z = 4 कोटि n = 1 का, बंद वक्र के बाहर स्थित है।

∴

⇒

अतिरिक्त जानकारी

कॉशी प्रमेय:

यदि f(z) एक विश्लेषणात्मक फलन है और f’(z) एक बंद वक्र C के अंदर और उस पर प्रत्येक बिंदु पर सतत है, तो

कॉशी समाकल सूत्र:

यदि f(z) एक बंद वक्र के अंदर एक विश्लेषणात्मक फलन है और यदि a C के अंदर कोई बिंदु है, तो