अंतराल 0 ≤ x < 2π पर x के लिए समीकरण sin2 x - sin x - 2 = 0 को हल कीजिए। 

संकल्पना:

द्विघाती समीकरण ax2 + bx + c = 0  के लिए हल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है: \(\rm x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\).

• sin (-θ) = -sin θ.
• sin θ = sin (2nπ + θ).

गणना:

sin2 x - sin x - 2 = 0

एक द्विघाती समीकरण के मूलों के लिए सूत्र का प्रयोग करने पर:

⇒ \(\rm \sin x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2-4(1)(-2)}}{2(1)}\)

⇒ \(\rm \sin x = \dfrac{1 +\sqrt{9}}{2}\) या \(\rm \sin x = \dfrac{1 -\sqrt{9}}{2}\)

⇒ sin x = 2 या sin x = -1.

∵ -1 ≤ sin x ≤ 1, ∴ sin x = 2 संभव नहीं है। 

sin x = -1 = \(\rm -\sin\dfrac{\pi}{2}=\sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin\left(2n\pi-\dfrac{\pi}{2}\right)\), n ∈ Z.

n = 0 के लिए, x = \(-\dfrac{\pi}{2}\).

n = 1 के लिए, x = \(\dfrac{3\pi}{2}\).

n = 2 के लिए, x = \(\dfrac{7\pi}{2}\).

अंतराल 0 ≤ x < 2π पर x का केवल मान x = \(\dfrac{3\pi}{2}\) है। 

Additional Information

• sin θ की अवधि 2π. ⇒ sin θ = sin (2nπ + θ) है। 
• cos θ की अवधि 2π. ⇒ cos θ = cos (2nπ + θ) है। 
• tan θ की अवधि π. ⇒ tan θ = tan (nπ + θ) है।