तल 2x - y - 2z + 1 = 0 और 3x - 4y + 5z - 3 = 0 के बीच का कोण क्या है?

संकल्पना:

माना कि a₁x + b₁y + c₁z + d₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂z + d₂ = 0 कोई भी दो तल है, तो उनके बीच का कोण निम्न दिया गया है,

​\(\rm \cos \theta = \left | \frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{\sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2+c_{1}^2}\times\sqrt{a_{2}^2+b_{2}^2+c_{2}^2}} \right |\)

गणना:

दिए गए तल 2x - y - 2z + 1 = 0 और 3x - 4y + 5z - 3 = 0 हैं। 

हम जानते हैं कि, a1x + b1y + c1z + d1 = 0 और a2x + b2y + c2z + d2 = 0 कोई भी दो तल है, तो उनके बीच का कोण निम्न दिया गया है,

\(\rm \cos \theta = \left | \frac{a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}+c_{1}c_{2}}{\sqrt{a_{1}^2+b_{1}^2+c_{1}^2}\times\sqrt{a_{2}^2+b_{2}^2+c_{2}^2}} \right |\)

यहाँ, a₁ = 2, a₂ = 3, b₁ = - 1, b₂ = - 4, c₁ = - 2, c₂ = 5.

\(\rm \cos \theta = \left | \frac{(2)(3)+(-1)(-4)+(-2)(5)}{\sqrt{2^2+(-1)^2+(-2)^2}\times\sqrt{3^2+(-4)^2+5^2}} \right |\)

\(\cos\theta = 0\)

⇒ \(\rm \theta = \frac{\pi}{2}\)

अतः तल 2x - y - 2z + 1 = 0 और 3x - 4y + 5z - 3 = 0 के बीच का कोण \(\frac{\pi}{2}\) है।