नाभिलम्ब द्वारा परिबद्ध परवलय का क्षेत्रफल क्या है?

Question

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निर्देश : निम्नलिखित प्रश्नों के लिए निम्नलिखित पर विचार करें:

परवलय y² = kx और रेखा x = k, जहाँ k > 0 है, द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल 4/3 वर्ग इकाई है।

This question was previously asked in

NDA-II 2024 (Maths) Official Paper (Held On: 01 Sept, 2024)

Answer 1

व्याख्या:

दिया गया है:

परवलय y² = kx और रेखा x = k, जहाँ k > 0, द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल 4/3 वर्ग इकाई है

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परिबद्ध क्षेत्रफल = 4/3 वर्ग इकाई

= \(2 \int_0^kydx\)

⇒ 4/3 = \(2 \int_0^k\sqrt k \sqrt xdx\)

⇒1 = k²

⇒ k = ±1 (चूँकि k>0)

⇒ k = 1

इसलिए परवलय का समीकरण है y² = x

⇒ 4a = 1

⇒ a = 1/4

परवलय y² = x और नाभिलम्ब x = 1/4 का क्षेत्रफल है

= \(2 \int_0^\frac{1}{4}\sqrt x dx = 2\times \frac{2}{3}\times(\frac{1}{4})^\frac{3}{2}\)

= 1/6 वर्ग इकाई

∴ विकल्प (a) सही है

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