y² = 4ax అనే పరావలయం దాని నాభిలంబము ద్వారా పరిబద్ధమైన వైశాల్యం కనుగొనండి.

భావన:

పరావలయం:

• y² = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభి (a, 0) వద్ద ఉంటుంది.
• y² = 4ax అనే పరావలయం యొక్క నాభిలంబము పరావలయాన్ని (a, 2a) మరియు (a, -2a) వద్ద ఖండించింది.

వక్రరేఖ క్రింద వైశాల్యం:

• x = a నుండి x = b వరకు y = f(x) ఫంక్షన్ మరియు x-అక్షం క్రింద వైశాల్యం \(\rm \left|\int_a^b f(x)\ dx\right|\) ఖచ్చిత సమాకలని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇచ్చిన పరిధిలో x-అక్షం యొక్క ఒకే వైపున ఉన్న వక్రరేఖలకు.
• వక్రరేఖలు x-అక్షం యొక్క రెండు వైపులా ఉంటే, మనం రెండు వైపులా వైశాల్యాలను వేరుగా లెక్కిస్తాము మరియు వాటిని కలుపుతాము.

గణన:

పరావలయం y² = 4ax గ్రాఫ్ x-అక్షానికి సమమితిగా ఉన్నందున, కావలసిన వైశాల్యం:

2 x \(\rm \left|\int_0^{a} \sqrt{4ax}\ dx\right|\)

= 2 x 2√a \(\rm \int_0^{a} \sqrt x\ dx\)

= 2 x 2√a \(\rm \left[\frac{2}{3}x^{\tfrac32}\right]_0^{a}\)

= \(\rm {8\over3} \sqrt a\times a^{\tfrac32}\) = \(\rm 8a^2\over3\).

Additional Information:

నాభిలంబము అనేది నాభి గుండా వెళ్లి నియతరేఖ సమాంతరంగా ఉండే రేఖ.