জ্যামিতি MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Geometry - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

∆LMN-এর মধ্যমা MX এবং NY

MX ⊥ NY

MX, NY-কে Z বিন্দুতে ছেদ করে

MX = 20 সেমি

NY = 30 সেমি

ব্যবহৃত সূত্র:

একটি ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র প্রতিটি মধ্যমাকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 x ভূমি x উচ্চতা

∆LMN-এর ক্ষেত্রফল = 3 x ∆MNZ-এর ক্ষেত্রফল (যেহেতু Z হল ভরকেন্দ্র)

গণনা:

যেহেতু Z হল ভরকেন্দ্র, এটি মধ্যমাগুলিকে 2:1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

MZ : ZX = 2 : 1

⇒ MZ = (2/3) x MX = (2/3) x 20 = 40/3 সেমি

⇒ ZX = (1/3) x MX = (1/3) x 20 = 20/3 সেমি

NZ : ZY = 2 : 1

⇒ NZ = (2/3) x NY = (2/3) x 30 = 20 সেমি

⇒ ZY = (1/3) x NY = (1/3) x 30 = 10 সেমি

যেহেতু MX ⊥ NY, ∆MNZ হল একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার বাহু NZ এবং MZ।

∆MNZ-এর ক্ষেত্রফল = 1/2 x ভূমি x উচ্চতা = 1/2 x NZ x MZ

⇒ ∆MNZ-এর ক্ষেত্রফল = 1/2 x 20 x (40/3)

⇒ ∆MNZ-এর ক্ষেত্রফল = 10 x (40/3) = 400/3 সেমি²

∆LMN-এর ক্ষেত্রফল = 3 x ∆MNZ-এর ক্ষেত্রফল

⇒ ∆LMN-এর ক্ষেত্রফল = 3 x (400/3)

⇒ ∆LMN-এর ক্ষেত্রফল = 400 সেমি²

∴ ∆LMN-এর ক্ষেত্রফল হল 400 সেমি²।

প্রদত্ত:

147x - 231y = 525

77x - 49y = 203

ব্যবহৃত সূত্র:

ছেদবিন্দু নির্ণয়ের জন্য, সমীকরণদ্বয় সমাধান করতে হবে।

গণনা:

দ্বিতীয় সমীকরণটিকে 3 দিয়ে গুণ করলে:

⇒ 231x - 147y = 609

এখন, সংশোধিত দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে প্রথম সমীকরণ বাদ দিলে:

⇒ (231x - 147y) - (147x - 231y) = 609 - 525

⇒ 84x + 84y = 84

⇒ x + y = 1

x + y = 1 প্রথম সমীকরণে ব্যবহার করে:

⇒ 147x - 231(1 - x) = 525

⇒ 147x - 231 + 231x = 525

⇒ 378x = 756

⇒ x = 2

x = 2, x + y = 1 এ ব্যবহার করে:

⇒ 2 + y = 1

⇒ y = -1

সুতরাং, ছেদবিন্দু হল (2, -1).

এখন দেখা যাক কোন সমীকরণ (2, -1) বিন্দুটি সিদ্ধ করে:

9x - 5y = 23 এর জন্য:

⇒ 9(2) - 5(-1) = 18 + 5 = 23

∴ সঠিক উত্তর হল  বিকল্প 1 ।

প্রদত্ত:

জ্যাটির দৈর্ঘ্য 16 সেমি এবং ব্যাসার্ধ 10 সেমি।

অনুসৃত ধারণা:

বৃত্তের ব্যাসার্ধ বৃত্তের জ্যাকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

অনুসৃত সূত্র:

সমকোণী ত্রিভুজে, পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী

(অতিভুজ)2 = (লম্ব)2 + (ভূমি)2

গণনা:

ধরা যাক দুটি জ্যা AB = 16 সেমি

যেহেতু, বৃত্তের ব্যাসার্ধ জ্যাকে লম্বভাবে সমদ্বিখণ্ডিত করে,

AL = BL = 16/2 = 8 সেমি

Δ AOL তে, ∠ALO = 90° 

⇒ (AO)2 = (OL)2 + (AL)2

⇒ 102 = (OL)2 + (8)2

⇒ (OL)2 = 100 - 64 = 36

⇒ OL = 6 সেমি

∴ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে জ্যাটির দূরত্ব 6 সেমি।

প্রদত্ত:

ব্যাসার্ধ (r) = 17 সেমি

জ্যা কেন্দ্র থেকে দূরত্ব (d) = 15 সেমি

অনুসৃত সূত্র:

জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√(r² - d²)

গণনা:

জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√(172 - 152)

⇒ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√(289 - 225)

⇒ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2√64

⇒ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 2 × 8

⇒ জ্যা-এর দৈর্ঘ্য = 16 সেমি

∴ সঠিক উত্তরটি (4) নম্বর বিকল্প।

অনুসৃত সূত্র:

যে ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু (x1, y1), (x2, y2) এবং (x3, y3) তার ক্ষেত্রফল =  ½ [x1 (y2 - y3) + x2 (y3 - y1) + x3 (y1 - y2)]

গণনা:

⇒ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (1/2) × [1(-3 – 1) + (-4) (1 – 2) + 4{2 – (-3)}] = (1/2) × {(-4) + 4 + 20} = 20/2 = 10 বর্গ একক

প্রদত্ত:

একটি চতুর্ভুজ PQRS-এর চারটি বাহুকে একটি বৃত্ত স্পর্শ করে। যেখানে PQ = 11 সেমি, QR = 12 সেমি এবং PS = 8 সেমি

গণনা:

যদি একটি বৃত্ত চতুর্ভুজ PQRS-এর চারটি বাহুকে স্পর্শ করে তাহলে,

PQ + RS = SP + RQ

সুতরাং,

⇒ 11 + RS = 8 + 12

⇒ RS = 20 - 11

⇒ RS = 9

∴ সঠিক নির্বাচন হল বিকল্প 3

ধারণা:

অষ্টভুজের আট বাহু রয়েছে।

দ্বাদশভূজের বারোটি বাহু রয়েছে।

সূত্র:

বহুভুজের অন্তঃস্থ কোণ = {(n - 2) × 180 °} / n

গণনা:

অষ্টভুজের অন্তঃস্থ কোণ = (8 – 2)/8 × 180° = 1080°/8 = 135°

দ্বাদশভূজের অন্তঃস্থ কোণ = (12 – 2)/12 × 180° = 1800°/12 = 150°

∴ অষ্টভুজ এবং দ্বাদশভুজের অন্তঃস্থ কোণের পরিমাপের অনুপাত 9 : 10

ধারণা:

ব্যাসার্ধ স্পর্শ বিন্দুতে স্পর্শকের সাথে লম্ব

একটি চতুর্ভুজের সমস্ত কোণের সমষ্টি = 360°

গণনা:

PA এবং PB হল একটি বাহ্যিক বিন্দু P থেকে বৃত্তে টানা স্পর্শক।

∠OAP = ∠OBP = 90° (ব্যাসার্ধ স্পর্শ বিন্দুতে স্পর্শকের সাথে লম্ব)

এখন, চতুর্ভুজ OAPB-তে,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360°

75° + 90 ° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

এইভাবে, OA এবং OB দুটি ব্যাসার্ধের মধ্যে কোণ হল 105°

প্রদত্ত:

ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ যার ভিতরে একটি অন্তর্বৃত্ত অঙ্কিত রয়েছে।

সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি ও 24 সেমি।

গণনা:

অতিভুজ² = 10² + 24²    (পিথাগোরাসের উপপাদ্য)

অতিভুজ = √676 = 26

ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ = (সমকোণ সংলগ্ন বাহুদুটির সমষ্টি – অতিভুজ)/2

⇒ (10 + 24 - 26)/2

⇒ 8/2

⇒ 4

∴ সঠিক উত্তর বিকল্প 4

প্রদত্ত:

সম্পূরক কোণগুলির মধ্যে একটি হল 130°

অনুসৃত ধারণা:

সম্পূরক কোণের জন্য: দুটি কোণের যোগফল হল 180°

পূরক কোণের জন্য: দুটি কোণের যোগফল 90°

গণনা:

150° এর সম্পূরক কোণ = 180° - 130° = 50°

50° এর পূরক কোণ = 90° - 50° = 40°

∴ 130° এর সম্পূরক কোণের পূরক কোণ হল 40°

প্রদত্ত:

ABCD সামন্তরিকে, AL এবং CM যথাক্রমে CD এবং AD এর লম্ব।

AL = 20 সেমি, CD = 18 সেমি এবং CM = 15 সেমি

অনুসৃত সূত্র:

সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা

সামন্তরিকের পরিসীমা = 2 × (সমান্তরাল বাহুর সমষ্টি)

গণনা:

ভূমি DC সহ ABCD এর ক্ষেত্রফল = AL × DC = 20 × 18

⇒ 360 সেমি²

আবার, ভূমি AD সহ ABCD এর ক্ষেত্রফল = CM × AD = 15 × AD

⇒ 360 সেমি2 = 15 × AD

⇒ AD = 24 সেমি

∴ AD = BC = 24 সেমি, DC = AB = 18 সেমি

ABCD এর পরিসীমা = 2 × (24 + 18)

⇒ 2 × 42

⇒ 84 সেমি

∴ নির্ণেয় ফলাফল = 84 সেমি

আমরা জানি, 

প্রত্যক্ষ সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = √[d2 - (R - r)2]

যখন কেন্দ্রদুটির মধ্যের দূরত্ব হল d , এবং R ও r হল বৃত্তদুটির ব্যাসার্ধ ।

PQ = √[(R + r)2 - (R - r)2]

⇒ PQ = √[R2 + r2 + 2Rr - (R2 + r2 - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ2 = 4Rr

প্রদত্ত:

বহুভুজের অভ্যন্তরের কোণগুলির পরিমাপের সমষ্টি হ'ল 1620°

সূত্র ব্যবহার:  
বহুভুজের অভ্যন্তরের কোণগুলির সমষ্টি =  (n – 2) × 180°

যেখানে n হ'ল বাহুর সংখ্যা। 

গণনা:

সূত্র প্রয়োগ করে: 

1620 = (n – 2) × 180°

⇒ (n – 2) = 9

⇒ n = 11

অতএব,

বাহুর সংখ্যা হ'ল = 11

প্রদত্ত:

LC = 6, CD = 11, LB = 4 এবং AB = x

অনুসৃত সূত্র:

LC × LD = LB × AL

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী

LC × LD = LB × AL

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x)

⇒ 4 + x = 51/2

⇒ 4 + x = 25.5

⇒ x = AB = 21.5

∴ AB এর দৈর্ঘ্য 21.5 সেমি।