স্পর্শকের উপপাদ্য MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Theorem on Tangents - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Jun 19, 2025
Latest Theorem on Tangents MCQ Objective Questions
স্পর্শকের উপপাদ্য Question 1:
দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস যথাক্রমে 34 সেমি এবং 50 সেমি। একটি সরলরেখা, CAPF বড় বৃত্তটিকে C এবং F বিন্দুতে ছেদ করে এবং ছোট বৃত্তটিকে A এবং P বিন্দুতে ছেদ করে। যদি AP 16 সেমি হয়, তবে CF এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 1 Detailed Solution
প্রদত্ত:
দুটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের ব্যাস: 34 সেমি এবং 50 সেমি।
CAPF একটি সরলরেখা, AP = 16 সেমি।
C, F বড় বৃত্তে; A, P ছোট বৃত্তে অবস্থিত।
অনুসৃত সূত্র:
পিথাগোরাসের উপপাদ্য:
অতিভুজ2 = লম্ব2 + ভূমি2
কেন্দ্র থেকে লম্ব জ্যা-কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
গণনা:
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 34 ÷ 2 = 17 সেমি
বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 50 ÷ 2 = 25 সেমি
AP = 16 সেমি
AP সমদ্বিখণ্ডিত হয়েছে: AO = 16 ÷ 2 = 8 সেমি
ΔOAP1-এ:
OA2 + OP12 = AP12
⇒ 172 = OP12 + 82
⇒ OP12 = 289 - 64
⇒ OP12 = 225
⇒ OP1 = 15 সেমি
ΔOP1F-এ:
OF2 = OP12 + P1F2
⇒ 252 = 152 + P1F2
⇒ P1F2 = 625 - 225
⇒ P1F2 = 400
⇒ P1F = 20 সেমি
CF = 2 x P1F = 2 x 20 = 40 সেমি
∴ CF-এর দৈর্ঘ্য হল 40 সেমি।
স্পর্শকের উপপাদ্য Question 2:
একটি বৃত্তে, O কেন্দ্র এবং AOB ব্যাস। AT বৃত্তের একটি স্পর্শক। TB রেখা বৃত্তকে Q বিন্দুতে ছেদ করে। দেওয়া আছে যে ∠AOQ = 94°, ∠ATQ নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 2 Detailed Solution
দেওয়া আছে:
AB রেখাটি সরলরেখা এবং AT একটি স্পর্শক।
∠AOQ = 94°
∠BOQ = 180° - ∠AOQ = 180° - 94° = 86°
∠BAT = 90° (ব্যাসার্ধ ও স্পর্শক পরস্পর লম্ব)
ব্যবহৃত সূত্র:
ΔBOQ তে, OB = OQ (বৃত্তের ব্যাসার্ধ) ⇒ ∠OQB = ∠OBQ
∠OBQ + ∠OQB + ∠BOQ = 180° (ত্রিভুজের সব কোণের সমষ্টি)
গণনা:
⇒ ∠OBQ + ∠OQB + ∠BOQ = 180°
⇒ 86° + 2∠OBQ = 180°
⇒ 2∠OBQ = 180°- 86°
⇒ 2∠OBQ = 94°
⇒ ∠OBQ = 47°
ΔABT তে, ∠ABT + ∠BAT + ∠ATQ = 180° (ত্রিভুজের সব কোণের সমষ্টি)
⇒ ∠ATQ = 180° - (47° + 90°)
⇒ ∠ATQ = 180° - 137°
⇒ ∠ATQ = 43°
∴ ∠ATQ = 43°.
স্পর্শকের উপপাদ্য Question 3:
20 সেমি এবং 32 সেমি ব্যাসার্ধের দুটি বৃত্তের কেন্দ্রের দূরত্ব 60 সেমি। এই বৃত্তদ্বয়ের প্রত্যক্ষ সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের এবং তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের অনুপাত কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 3 Detailed Solution
গণনা:
r1 = 32 সেমি এবং r2 = 20 সেমি এবং কেন্দ্রের মধ্যে দূরত্ব = D = 60 সেমি।
প্রত্যক্ষ সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = √(602 - (32 - 20)2) = √3456
তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = √(602 - (32 + 20)2) = √896
প্রয়োজনীয় অনুপাত = √3456 : √896
সংখ্যাগুলিকে √128 দিয়ে ভাগ করলে
⇒ 3√3 : √7
অতএব, এই বৃত্তদ্বয়ের প্রত্যক্ষ সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের এবং তির্যক সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্যের অনুপাত হল 3√3 : √7।
স্পর্শকের উপপাদ্য Question 4:
কেন্দ্র M এবং N বিশিষ্ট দুটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে 5 সেমি এবং 8 সেমি। বৃত্ত দুটি বহিঃস্পর্শ করে T বিন্দুতে। PR একটি রেখা এঁকো যাতে M, T এবং N বিন্দুগুলি PR রেখার উপর অবস্থান করে, P বিন্দু M এর কাছাকাছি। P বিন্দু থেকে M কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর Q বিন্দুতে একটি স্পর্শক PQ = 12 সেমি আঁকা হয় এবং R বিন্দু থেকে N কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের উপর S বিন্দুতে আরেকটি স্পর্শক RS = 15 সেমি আঁকা হয়। PR এর দৈর্ঘ্য (সেমি) কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 4 Detailed Solution
প্রদত্ত:
M কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 5 সেমি
N কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 8 সেমি
স্পর্শক PQ = 12 সেমি
স্পর্শক RS = 15 সেমি
বৃত্ত দুটি T বিন্দুতে বহিঃস্পর্শ করে।
ব্যবহৃত সূত্র:
PM এবং NR নির্ণয়ের জন্য পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করুন:
PM2 = PQ2 + MQ2
NR2 = RS2 + NS2
PR এর মোট দৈর্ঘ্য = PM + MN + NR
গণনা:
PM এর জন্য:
PM2 = 122 + 52
⇒ PM2 = 144 + 25
⇒ PM2 = 169
⇒ PM = √169 = 13 সেমি
NR এর জন্য:
NR2 = 152 + 82
⇒ NR2 = 225 + 64
⇒ NR2 = 289
⇒ NR = √289 = 17 সেমি
এখন, M এবং N এর মধ্যে দূরত্ব:
MN = 5 সেমি + 8 সেমি = 13 সেমি
PR এর মোট দৈর্ঘ্য:
PR = PM + MN + NR
⇒ PR = 13 সেমি + 13 সেমি + 17 সেমি = 43 সেমি
∴ PR এর দৈর্ঘ্য 43 সেমি।
স্পর্শকের উপপাদ্য Question 5:
বিন্দু A থেকে একটি রেখা টানা হয়েছে যা বিন্দু B তে বৃত্তের স্পর্শক। বিন্দু A থেকে বৃত্তে একটি ছেদকও টানা হয়েছে যা বৃত্তকে বিন্দু C এবং D তে ছেদ করে। যদি AB = 42 সেমি এবং AC = 21 সেমি হয়, তাহলে AB এবং CD এর অনুপাত কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 5 Detailed Solution
প্রদত্ত:
বিন্দু A থেকে একটি রেখা টানা হয়েছে যা বিন্দু B তে বৃত্তের স্পর্শক।
বিন্দু A থেকে বৃত্তে একটি ছেদকও টানা হয়েছে যা বৃত্তকে বিন্দু C এবং D তে ছেদ করে।
AB = 42 সেমি (স্পর্শক রেখাংশ)
AC = 21 সেমি (A থেকে C পর্যন্ত ছেদক রেখাংশ)
ব্যবহৃত সূত্র:
বিন্দুর শক্তি উপপাদ্য বলে:
একটি বিন্দু থেকে বৃত্তে টানা স্পর্শক রেখাংশের (AB) দৈর্ঘ্যের বর্গ, একই বিন্দু থেকে টানা ছেদক রেখাংশের (AC এবং AD) দৈর্ঘ্যের গুণফলের সমান।
AB2 = AC x AD
গণনা:
ধরুন AD হল A থেকে D পর্যন্ত ছেদক রেখাংশের দৈর্ঘ্য।
বিন্দুর শক্তি উপপাদ্য অনুসারে:
AB2 = AC x AD
422 = 21 x AD
1764 = 21 x AD
AD = 1764 / 21
AD = 84 সেমি
CD = AD - AC
CD = 84 সেমি - 21 সেমি
CD = 63 সেমি
AB এবং CD এর অনুপাত হল:
AB : CD = 42 : 63
অনুপাতটি সরলীকরণ করুন:
42 / 21 : 63 / 21
2 : 3
AB এবং CD এর অনুপাত 2 : 3.
Top Theorem on Tangents MCQ Objective Questions
একটি বৃত্তে একজোড়া স্পর্শক অঙ্কন করতে হবে যা 75° কোণে একে অপরের দিকে নত হয়ে রয়েছে, এটি আবশ্যক যে বৃত্তের সেই দুটি ব্যসার্ধের শেষ বিন্দুতে স্পর্শকটিকে অঙ্কন করতে হবে, যাদের মধ্যেকার কোণের পরিমাপ কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
ব্যাসার্ধ স্পর্শ বিন্দুতে স্পর্শকের সাথে লম্ব
একটি চতুর্ভুজের সমস্ত কোণের সমষ্টি = 360°
গণনা:
PA এবং PB হল একটি বাহ্যিক বিন্দু P থেকে বৃত্তে টানা স্পর্শক।
∠OAP = ∠OBP = 90° (ব্যাসার্ধ স্পর্শ বিন্দুতে স্পর্শকের সাথে লম্ব)
এখন, চতুর্ভুজ OAPB-তে,
∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360°
75° + 90 ° + ∠AOB + 90° = 360°
∠AOB = 105°
এইভাবে, OA এবং OB দুটি ব্যাসার্ধের মধ্যে কোণ হল 105°
দুটি বৃত্ত একে অপরকে X বিন্দুতে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করে । PQ হল একটি সরল সাধারণ স্পর্শক যা বৃত্তদুটিকে P এবং Q বিন্দুতে স্পর্শ করে । যদি বৃত্তদুটির ব্যাসার্ধ যথাক্রমে R এবং r হয়, তবে PQ2 এর মান কত হবে?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDF
আমরা জানি,
প্রত্যক্ষ সাধারণ স্পর্শকের দৈর্ঘ্য = √[d2 - (R - r)2]
যখন কেন্দ্রদুটির মধ্যের দূরত্ব হল d , এবং R ও r হল বৃত্তদুটির ব্যাসার্ধ ।
PQ = √[(R + r)2 - (R - r)2]
⇒ PQ = √[R2 + r2 + 2Rr - (R2 + r2 - 2Rr)]
⇒ PQ = √4Rr
⇒ PQ2 = 4Rr
প্রদত্ত চিত্রে, জ্যা AB এবং CD পরস্পরকে L বিন্দুতে ছেদ করছে। AB এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 8 Detailed Solution
Download Solution PDFপ্রদত্ত:
LC = 6, CD = 11, LB = 4 এবং AB = x
অনুসৃত সূত্র:
LC × LD = LB × AL
গণনা:
প্রশ্ন অনুযায়ী
LC × LD = LB × AL
6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x)
⇒ 4 + x = 51/2
⇒ 4 + x = 25.5
⇒ x = AB = 21.5
∴ AB এর দৈর্ঘ্য 21.5 সেমি।
প্রদত্ত চিত্রে, ∠BOQ = 60° এবং AB হল বৃত্তের ব্যাস। ∠ABO নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 9 Detailed Solution
Download Solution PDFউপপাদ্য অনুসারে, অর্ধবৃত্তের কোণ হল একটি সমকোণ,
⇒ ∠BOA = 90°
উপপাদ্য: বিকল্প খণ্ডের উপপাদ্য অনুসারে, ছেদবিন্দুর মধ্য দিয়ে একটি স্পর্শক এবং একটি জ্যার মধ্যে উৎপন্ন কোণ বিকল্প অংশের কোণের সমান।
⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°
ΔABO-তে,
ত্রিভুজের কোণের সমষ্টি 180°
⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°
নীচের বৃত্তে, জ্যা AB প্রসারিত হয়ে D বিন্দুতে DC স্পর্শকের সাথে মিলিত হয়েছে। AB = 12 সেমি এবং DC = 8 সেমি হলে, BD-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 10 Detailed Solution
Download Solution PDFজ্যা স্পর্শক উপপাদ্য অনুসারে,
⇒ CD2 = AD x BD
⇒ 8 x 8 = (12 + BD) x BD
⇒ 12BD + BD2 = 64
⇒ BD2 + 16BD - 4BD - 64 = 0
⇒ BD(BD + 16) - 4(BD + 16) = 0
∴ BD = 4 সেমি
নিচের বৃত্তে, জ্যা
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 11 Detailed Solution
Download Solution PDFব্যবহৃত ধারণা:
স্পর্শক সেক্যান্ট উপপাদ্য অনুসারে
DE 2 = DB × DA
গণনা:
DB × DA = DE 2
⇒ DB × (5 + DB) = 6 2
⇒ DB × (5 + DB) = 36
⇒ 5DB + DB 2 = 36
⇒ DB 2 + 5DB - 36 = 0
উপরের দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে,
DB = (-9) বা DB = 4
যেহেতু দৈর্ঘ্য ঋণাত্মক হতে পারে না, DB = 4 সেমি
∴ DB এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি।
Shortcut Trick
DB × (5 + DB) = 36
বিকল্পগুলি পরীক্ষা করে, আমরা কম সময়ে এই সমীকরণটি সমাধান করতে পারি
এইভাবে, বিকল্প 03 সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে
∴ DB এর দৈর্ঘ্য 4 সেমি।
প্রদত্ত চিত্রে
XYZ একটি ছেদক এবং ZT একটি স্পর্শক। x এর মান কত?
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 12 Detailed Solution
Download Solution PDFপ্রদত্ত:
একই বৃত্তের জন্য XYZ এবং ZT যথাক্রমে ছেদক এবং স্পর্শক
ZT = 6 সেমি, ZY = 4 সেমি এবং YX = x সেমি
অনুসৃত সূত্র:
YZ × XZ = ZT2 (যদি ZXY একটি ছেদক হয়, যা একটি বৃত্তকে Y এবং X এ ছেদ করে এবং ZT একই বৃত্তের স্পর্শক)
গণনা:
4 × (YZ + XY) = 62
⇒ 4 × (4 + x) = 36
⇒ 4 + x = 9
⇒ x = 5
∴ x এর দৈর্ঘ্য 5 সেমি।
কেন্দ্র O বৃত্তে একটি বহিরাগত বিন্দু T থেকে দুটি স্পর্শক TP এবং TQ টানা হয়, যেখানে P এবং Q বৃত্তের পরিধির বিন্দু। যদি ∠PTQ = 50° হয়, তাহলে ∠TOQ এর মান নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 13 Detailed Solution
Download Solution PDFপ্রদত্ত:
∠PTQ = 50°
ধারণা:
বৃত্তের কেন্দ্র থেকে স্পর্শক বিন্দু পর্যন্ত ব্যাসার্ধ স্পর্শক রেখার লম্ব।
গণনা:
∠PTQ + ∠POQ + ∠OPT + ∠OQT = 360°
⇒ 50° + ∠POQ + 90° + 90° = 360°
⇒ ∠POQ = 360° - 230°
⇒ ∠POQ = 130°
এখন, ∠TOQ = ∠POQ/2
⇒ ∠TOQ = 130°/2
⇒ ∠TOQ = 65°
∴ TOQ এর মান হল 65°
একটি বাহ্যিক বিন্দু P থেকে, কেন্দ্র O সহ একটি বৃত্তে স্পর্শক PA এবং PB আঁকা হয়। ∠PAB= 55° হলে, ∠AOB এর মান নির্ণয় করুন।
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 14 Detailed Solution
Download Solution PDFপ্রদত্ত:
PA এবং PB হল O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের স্পর্শক।
∠PAB= 55°
ধারণা:
একই বাহ্যিক বিন্দু থেকে আঁকা স্পর্শকগুলির দৈর্ঘ্য সমান হয়।
একটি স্পর্শক, স্পর্শক বিন্দুতে ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব হয়।
গণনা:
∵ ∠PAB = 55°
∴ ∠PBA = 55° (PA = PB)
PAB ত্রিভুজে,
∠APB + ∠PAB + ∠PBA = 180° (কোণ সমষ্টি বৈশিষ্ট্য)
⇒ ∠P + 55° + 55° = 180°
⇒ ∠P = 70°
এছাড়াও, ∠AOB + ∠APB = 180° (একটি চতুর্ভুজের সমস্ত কোণের সমষ্টি হল 360° & ∠P = ∠B = 90°)
⇒ ∠AOB = 180° - 70° = 110
∴ ∠AOB এর মান হল = 110°
নিচের বৃত্তে দেখা যাচ্ছে, যে D বিন্দুতে
Answer (Detailed Solution Below)
Theorem on Tangents Question 15 Detailed Solution
Download Solution PDFপ্রদত্ত:
AB = 9 সেমি
BD = 3 সেমি
অনুসৃত ধারণা:
যদি DBA বৃত্তের ছেদকারী রেখা হয় যা A এবং B এ বৃত্তকে ছেদ করে এবং DE একটি স্পর্শক হয়, তাহলে
DE 2 = AD × BD
গণনা:
প্রশ্ন অনুযায়ী,
DE 2 = AD × BD
⇒ DE 2 = (AB + BD) × BD
⇒ DE 2 = (9 + 3) × 3
⇒ DE 2 = √36 = 6
⇒ DE = 6
∴ DE এর দৈর্ঘ্য = 6 সেমি।