वृत्तखण्ड पर प्रमेय MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Theorem on Tangents - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

AT = 6 सेमी, AB = 10 सेमी तथा TB = ?

∵ TB ┴ AT

समकोण △ATB में

पाइथागोरस प्रमेय के द्वारा

(AB)² = (AT)² + (TB)²

⇒ (10)² = 6² + (TB)²

⇒ TB = 8

वृत्त की त्रिज्या (r) TB है = 8 सेमी

हमें ज्ञात है कि व्यास वृत्त की सबसे बड़ी जीवा होती है

अवधारणा:

चूंकि हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा समान जीवा को लंबवत रूप से प्रतिछेदित करती है।

गणना:

पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 15/2 और दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 13/2

उभयनिष्ट जीवा की लंबाई = AB = 12 सेमी

माना कि c = उभयनिष्ठ जीवा की लंबाई/2 = 12/2 = 6

केंद्रों के बीच की दूरी को प्राप्त करने के लिए हम सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं

⇒ √((r1)² - c²) + √((r2)² – c²)

⇒ √{(7.5)² - 6²} + √{(6.5)² – 6²}

⇒ √20.25 + √6.25

⇒ 4.5 + 2.5 = 7 सेमी

दिया गया है:

छोटे वृत्त की त्रिज्या, r2 = 3 सेमी

बड़े वृत्त की त्रिज्या, r1 = 5 सेमी

दो वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी = 12 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

लंबाई अप्रत्यक्ष सार्वनिष्ठ स्पर्शज्या = √(D2 – (r1 – r2)2)

जहाँ, D → दो वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी 

गणना:

ΔPOX तथा ΔPNY समरूप त्रिभुज हैं

⇒ OX : YN = 3 : 5

⇒ PX : PY = 3 : 5 (समरूप त्रिभुज) 

⇒ XY = 2 इकाई

उभयनिष्ठ स्पर्शज्या सूत्र का उपयोग करके

लंबाई अप्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शज्या = √(D2 – (r1 – r2)2)

⇒ √(122 – (5 – 3)2)

⇒ √(144 – 4)

⇒ √140

⇒ √(35 × 4)

⇒ 2√35

⇒ 2 इकाई = 2√35

⇒ 5 इकाई = PY?

⇒ PY = (5 × 2√35)/2

⇒ PY = 5√35

∴ PY का मान 5√35 है

Confusion Points 

इस प्रश्न को हल करते समय स्पर्शज्या PB, बिंदु U और V के बारे में दी गई जानकारी का उपयोग नहीं है, इसलिए हमने उन्हें चित्र में दर्शाया नहीं है।

दिया गया है:

पहले वृत्त की त्रिज्या (r₁) = 8 सेमी

दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r₂) = 6 सेमी

अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (L) = 14 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

केंद्रों के बीच की दूरी (d) = \(\sqrt{(r_1 + r_2)^2 + L^2}\)

गणनाएँ:

d = \(\sqrt{(8 + 6)^2 + 14^2}\)

⇒ d = \(\sqrt{14^2 + 14^2}\)

⇒ d = \(\sqrt{2 \times 14^2}\)

⇒ d = \(\sqrt{2} \times 14\)

⇒ d = 14√2 सेमी

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

वैकल्पिक विधिदिया गया है:

अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई = AB = 14 सेमी

दोनों केंद्रों के बीच की दूरी = D

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ r₁ = 8 सेमी, और r₂ = 6 सेमी

प्रयुक्त सूत्र:

\(AB=\sqrt{D^2-(r_1 + r_2)^2}\)

गणना:

\(14=\sqrt{D^2-(8+6)^2}\)

⇒ \(14^2=D^2-14^2\)

⇒ \(196=D^2-196\)

⇒ \(D^2=392\)

⇒ \(D=\sqrt{392}\)

⇒ \(D=14\sqrt{2}\)

∴ दोनों केंद्रों के बीच की दूरी 14√2 सेमी है।

दिया गया है:

पहले वृत्त की त्रिज्या, r₁ = 5 सेमी

दूसरे वृत्त की त्रिज्या, r₂ = 10 सेमी

वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी, d = 17 सेमी.

प्रयुक्त सूत्र:

अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (L) निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जा सकती है:

\(L = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2}\)

गणना:

सूत्र में दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:

\(L = \sqrt{17^2 - (5 + 10)^2}\)

L = √(289 - 225)

L = √64

L = 8 cm

अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई 8 सेमी है। 

अवधारणा:

त्रिज्या संपर्क बिंदु पर स्पर्शरेखा के लंबवत होती है।

चतुर्भुज के सभी कोणों का योग = 360°

गणना:

PA और PB बाहरी बिंदु P से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ हैं।

∠OAP = ∠OBP = 90° (त्रिज्या संपर्क के बिंदु पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है)

अब, चतुर्भुज OAPB में,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360° 

75° + 90° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

इस प्रकार, दो त्रिज्याओं, OA और OB के बीच का कोण 105° है।

दिया गया है:

प्रत्येक वृत्त की त्रिज्या = 7 सेमी

BD = दो वृत्तों के बीच अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा = 48 सेमी

प्रयुक्त अवधारणा:

सीधी अनुप्रस्थ स्पर्शरेखाओं की लंबाई = √(वृत्तों के बीच की दूरी का वर्ग - वृत्तों की त्रिज्या के योग का वर्ग)

सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई =√(वृत्तों के बीच की दूरी का वर्ग - वृत्तों की त्रिज्या के बीच के अंतर का वर्ग)

गणना:

AC = सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की लंबाई

BD = सीधी अनुप्रस्थ स्पर्श रेखाओं की लंबाई

माना, दो वृत्तों के बीच की दूरी = x सेमी है,

इसलिए, BD = √[x2 - (7 + 7)2]

⇒ 48 = √(x2 - 142)

⇒ 48² = x2  - 196 [दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं]

⇒ 2304 = x2 - 196

⇒ x2 = 2304 + 196 = 2500

⇒ x = √2500 = 50 सेमी

साथ ही, AC = √[502 - (7 - 7)2]

⇒ AC = √(2500 - 0) = √2500 = 50 सेमी

∴ BD की लंबाई 48 सेमी है, AC की लंबाई 50 सेमी है।

हम जानते हैं,

उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लम्बाई = √[d² - (R - r)²]

जहाँ d वृत्तों के केंद्र के बीच की दूरी तथा R और r वृत्तों की त्रिज्याएँ हैं

PQ = √[(R + r)² - (R - r)²]

⇒ PQ = √[R² + r² + 2Rr - (R² + r² - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ² = 4Rr

दिया गया है:

LC = 6, CD = 11, LB = 4 और AB = x 

प्रयुक्त सूत्र:

LC × LD = LB × AL 

गणना:

प्रश्न के अनुसार

LC × LD = LB × AL 

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x) 

⇒ 4 + x = 51/2 

⇒ 4 + x = 25.5 

⇒ x = AB = 21.5 

∴ AB की लंबाई 21.5 सेमी है।

दिया है:

∠APB = 100°

O वृत्त का केंद्रबिंदु है।

PA और PB वृत्त पर, एक बिंदु P से खींची गई दो स्पर्शरेखाएँ हैं

प्रयुक्त सिद्धांत:

एक वृत्त की स्पर्शरेखा वृत्त की त्रिज्या के साथ एक समकोण बनाती है।

चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° है।

गणना:

एक वृत्त की स्पर्शरेखा वृत्त की त्रिज्या के साथ एक समकोण बनाती है

⇒ ∠OAP = ∠OBP = 90°

चतुर्भुज के सभी कोणों का योग 360° है

⇒ ∠OAP + ∠OBP + ∠APB + ∠AOB = 360°

⇒ 90° + 90° + 100° + ∠AOB = 360°

⇒ ∠AOB = 360° - 280°

⇒ ∠AOB = 80°

ΔAOB में

⇒ ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°

⇒ 80° + x + x = 180°

⇒ 2x = 100°

⇒ x = 50°

∴ ∠OAB का मान 50° है।

OP||QR (दिया है)

⇒ बिंदु P को बिंदु S तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि QR = OS

अतः आयत QRSO का निर्माण होता है

⇒ OQ = SR = 6 सेमी (∆OPR की ऊंचाई)

⇒ OP = 6 सेमी = ∆OPR का आधार

⇒ ∆OPR का क्षेत्रफल = 1/2 × 6 × 6 = 18 सेमी²

प्रमेय के अनुसार, अर्द्ध वृत्त में कोण समकोण होता है,

⇒ ∠BOA = 90°
 

प्रमेय: वैकल्पिक खंड प्रमेय के अनुसार संपर्क बिंदु के माध्यम से स्पर्शरेखा और जीवा के बीच का कोण वैकल्पिक खंड में कोण के बराबर है।

⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°

चूँकि, त्रिभुज में सभी कोणों का योग 180° होता है  

⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 60° – 90° = 30°

जीवा स्पर्शरेखा प्रमेय के अनुसार,

⇒ CD² = AD × BD

⇒ 8 × 8 = (12 + BD) × BD

⇒ 12BD + BD² = 64

⇒ BD² + 16BD – 4BD – 64 = 0

⇒ BD(BD + 16) – 4(BD + 16) = 0

जैसा कि हम जानते हैं,

⇒ ∠OCP = 90° (स्पर्शरेखा)

⇒ BC, ∠OCP को द्विविभाजित करती है

∠OCB = ∠OBC = 45° [OB = OC]

ΔBOC में,

⇒ ∠OCB + ∠OBC + ∠BOC = 180°

⇒ ∠BOC + 45° + 45° = 180°

⇒ ∠BOC = 180° – 90° = 90°

⇒ ∠BAC = 1/2 × ∠BOC = (1/2) × 90° = 45°

जैसा कि हम जानते हैं,

दो सम्पूरक कोणों का योग 180° होता है।

माना ∠BAC का पूरक कोण x है, तो

⇒ x + ∠BAC = 180°

⇒ x = 180° – 45° = 135°

प्रयुक्त अवधारणा:

स्पर्शरेखा छेदक प्रमेय के अनुसार

DE² = DB × DA

गणना:

DB × DA = DE2

⇒ DB × (5 + DB) = 62

⇒ DB × (5 + DB) = 36

⇒ 5DB + DB2 = 36

⇒ DB2 + 5DB - 36 = 0

उपरोक्त द्विघात समीकरण को हल करने पर,

DB = (-9) या DB = 4

चूँकि लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, DB = 4 सेमी

∴ DB की लंबाई 4 सेमी है।

Shortcut Trick

DB × (5 + DB) = 36

विकल्पों की जाँच करके हम इस समीकरण को कम समय में हल कर सकते हैं

इस प्रकार, विकल्प 03 समीकरण को संतुष्ट करता है

∴ DB की लंबाई 4 सेमी है।