समतलों x - y + 9z + 7 = 0 और 2x + 1y + 2z + 3 = 0 के प्रतिच्छेदन की रेखा से गुजरने वाले और समतल 3x + 2y + z = 0 के लंबवत होनेवाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

अवधारणा:

दो समतलों a1x + b1y + c1z + d1 = 0 और a2x + b2y + c2z + d2 = 0 के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का कार्टेशियन समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है: (a1x + b1y + c1z + d1) + λ(a2x + b2y + c2z + d2) = 0

यदि दिशा अनुपात (a1, b1, c1) और (a2, b2, c2) के साथ दो समतल लम्बवत्त है तो a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

गणना:

दिया गया है कि: आवश्यक समतल x - y + 9z + 7 = 0 और 2x + 1y + 2z +3 = 0 समतलों के प्रतिच्छेदन की रेखा से होकर गुजरता है और समतल 3x + 2y + z = 0 के लिए लम्बवत्त है।

माना दो समतलों x - y + 9z + 7 = 0 और 2x + 1y + 2z +3 = 0 से होकर गुजरने वाले समतल का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है: (x - y + 9z + 7) + λ (2x + 1y + 2z +3) = 0

⇒ (2λ + 1)x + (λ - 1)y + (2λ + 9)z + 7 + 3λ = 0…… (1)

तो (1) द्वारा दर्शाए गए समतल का दिशा अनुपात (2λ + 1, λ - 1, 2λ + 9) है और समतल 3x + 2y + z = 0​ का दिशा अनुपात (3, 2, 1) है 

∵ यह दिया जाता है कि समतल (1) द्वारा दर्शाया गया समतल 3x + 2y + z = 0 के लंबवत है।

हम जानते हैं कि के रूप में, दिशा अनुपात (a1, b1, c1)​ और (a2, b2, c2) के साथ दो समतल लंबवत हैं तो a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

⇒ (2λ + 1) × 3 + (λ - 1) × 2 + (2λ + 9) × 1 = 0

⇒ 6λ + 3 + 2λ – 2 + 2λ + 9 = 0

⇒ 10λ + 10 = 0 ⇒ λ = -1

समीकरण (1) में λ के मान को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है,

(-2 + 1)x + (-1 - 1)y + (-2 + 9)z + 7 - 3 = 0

⇒ -x - 2y + 7z + 4 = 0

⇒ x + 2y - 7z = 4

इसलिए, विकल्प 2 सही है।