यदि \(\rm \omega=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt3}{2}\) है, तो \(\rm \begin{vmatrix}1+\omega &1+\omega^2&\omega+\omega^2\\\ 1&\omega\ & \omega^2\\\ \frac{1}{\omega}&\frac{1}{\omega^2}&1\end{vmatrix}\) किसके बराबर है?

अवधारणा:

सारणिक और स्तंभ संक्रियाएँ:

• एक आव्यूह का सारणिक एक अदिश मान है जो क्षेत्रफल, आयतन या व्युत्क्रमणीयता को दर्शाता है।
• \( C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3 \) जैसी स्तंभ संक्रियाएँ सारणिक को सरल बना सकती हैं।
• यदि एक स्तंभ (या पंक्ति) अन्य स्तंभों या शून्य का रैखिक संयोजन बन जाता है, तो सारणिक 0 हो जाता है।
• \( \omega \)  इकाई का घनमूल है और सर्वसमिका: \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \) है। 

गणना:

मान लीजिए, \( I = \begin{bmatrix} 1+\omega & 1+\omega^2 & \omega + \omega^2 \\ 1 & \omega & \omega^2 \\ \frac{1}{\omega} & \frac{1}{\omega^2} & 1 \end{bmatrix} \)

⇒ निम्न स्तंभ संक्रिया लागू करने पर: \( C_1 \rightarrow C_1 + C_2 + C_3 \)

⇒ पहला स्तंभ बन जाता है:

\( C_1 = \begin{bmatrix} (1+\omega) + (1+\omega^2) + (\omega + \omega^2) \\ 1 + \omega + \omega^2 \\ \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega^2} + 1 \end{bmatrix} \)

⇒ सर्वसमिका: \( 1 + \omega + \omega^2 = 0 \) का उपयोग करने पर,

⇒ पहला स्तंभ बन जाता है: \( \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \)

⇒ नया आव्यूह:

\( I = \begin{bmatrix} 0 & 1+\omega^2 & \omega + \omega^2 \\ 0 & \omega & \omega^2 \\ 0 & \frac{1}{\omega^2} & 1 \end{bmatrix} \)

⇒ चूँकि पहला स्तंभ सभी शून्य है,

∴ सारणिक I = 0