एक त्रिभुज ABC में शीर्ष A(1,2), B(2, 3) और C(3,1) हैं और \(\angle C=cos^-1\left(\dfrac{4}{5}\right),\angle B=\angle A=cos^-1\left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)\) है। तब त्रिभुज के परिकेंद्र के निर्देशांक हैं:

अवधारणा:

त्रिभुज का परिकेन्द्र वह बिंदु है जहाँ त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक प्रतिच्छेद करते हैं। परिकेन्द्र भी तीन बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र होता है और त्रिभुज के शीर्षों से बिंदु की दूरी समान होती है।

प्रयुक्त सूत्र:

दो निर्देशांकों (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी को दूरी के सूत्र द्वारा दिया जाता है:

\(d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\)

गणना:

यहाँ, A(1, 2), B(2, 3) और C(3, 1) त्रिभुज ABC के शीर्ष हैं। 

माना O(x, y) त्रिभुज के परिकेंद्र के निर्देशांक हैं तब त्रिभुज के परिकेंद्र की परिभाषा के अनुसार,

OA = OB = OC 

or OA² = OB² = OC²

अब, हम दूरी ज्ञात करते हैं। 

OA² = (x - 1)² + (y - 2)² = x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = x² + y² - 2x - 4y + 5 

OB2 = (x - 2)2 + (y - 3)2 = x2 - 4x + 4 + y2 - 6y + 9 = x2 + y2 - 4x - 6y + 13

OC2 = (x - 3)2 + (y - 1)2 = x2 - 6x + 9 + y2 - 2y + 1 = x2 + y2 - 6x - 2y + 10

चूँकि,

 OA2 = OB2

x2 + y2 - 2x - 4y + 5 = x2 + y2 - 4x - 6y + 13

⇒ -2x + 4x - 4y + 6y = 13 - 5

⇒ 2x + 2y = 8        .........(i)

अब,

 OB2 = OC2

x2 + y2 - 4x - 6y + 13 = x2 + y2 - 6x - 2y + 10

⇒ -4x + 6x - 6y + 2y = 10 - 13

⇒ 2x - 4y = -3        .........(ii)

समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर हमें प्राप्त होता है,

2y + 4y = 8 + 3

6y =11

\(y=\frac{11}{6}\)

समीकरण (i) में y का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

\(2x+2(\frac{11}{6})=8\)

\(2x+\frac{11}{3}=8\)

\(2x=\frac{13}{3}\)

\(x=\frac{13}{6}\)

अतः, त्रिभुज के निर्देशांक \(\left(\dfrac{13}{6},\dfrac{11}{6}\right)\) हैं। ​