दीर्घवृत्त x2 + 16y2 = 16 और x - अक्ष के साथ 60° का कोण बनाने वाली स्पर्श रेखा क्या है?

संकल्पना:

सीधी रेखाएं:

• एक रेखा का सामान्य समीकरण y = mx + c है, जहाँ m रेखा का ढलान है।
• यदि रेखा y = mx + c, x - अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ एक कोण θ बनाता है, तो m = tan θ है। 

दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा:

• यदि रेखा y = mx + c दीर्घवृत्त\(\rm \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) को स्पर्श करती है, तो c² = a²m² + b² है। 
• सीधी रेखा\(\rm y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}\) दीर्घवृत्त के लिए स्पर्श रेखा को दर्शाता है। 

गणना:

दी गयी स्पर्श रेखा x - अक्ष के धनात्मक दिशा के साथ 60^∘ का एक कोण बनाता है। 

∴ m = tan 60∘ = √3.

दीर्घवृत्त के दिए गए समीकरण को मानक रूप \(\rm \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) में परिवर्तित करने पर:

x2 + 16y2 = 16

⇒ \(\rm \dfrac{x^2}{4^2}+\dfrac{y^2}{1^2}=1\)

∴ a = 4 और b = 1.

दीर्घवृत्त के स्पर्श रेखा के लिए सूत्र \(\rm y = mx \pm \sqrt{a^2m^2 + b^2}\) का प्रयोग करने पर, आवश्यक समीकरण निम्न है:

\(\rm y = \sqrt3x + \sqrt{4^2({\sqrt3})^2 + 1^2}\)

⇒ y = √3x + 7

⇒ ​√3x - y + 7 = 0.