Parabola, Ellipse and Hyperbola MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Parabola, Ellipse and Hyperbola - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

शंकु परिच्छेद और घूर्णी परवलय:

• शंकु परिच्छेद एक शंकु को समतल से प्रतिच्छेदित करके प्राप्त किया गया वक्र है। इसमें परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय शामिल हैं।
• एक परवलय एक शंकु परिच्छेद है जहाँ उत्केन्द्रता e = 1 है।
• जब सामान्य द्वितीय-कोटि समीकरण Ax² + B xy + Cy² + Dx + Ey + F = 0 में शून्येतर B होता है, तो यह एक घूर्णी शंकु का प्रतिनिधित्व कर सकता है।
• xy पद को हटाने के लिए, हम निम्न का उपयोग करके अक्षों का घूर्णन करते हैं:
  • x = x′cosθ − y′sinθ
  • y = x′sinθ + y′cosθ
• घूर्णन कोण θ ज्ञात करने के लिए निम्न का प्रयोग करें: tan(2θ) = B / (A − C)
• घूर्णन के बाद, समीकरण मिश्रित पद के बिना एक शंकु बन जाता है, जिससे अक्ष, शीर्ष, नाभि आदि की पहचान करना आसान हो जाता है।
• परवलय का शीर्ष वह बिंदु है जहाँ से नाभि और नियता की दूरियाँ बराबर होती हैं।
• नाभिलंब जीवा परवलय के अक्ष के लंबवत नाभि से होकर गुजरने वाली जीवा है।

गणना:

दिया गया है,

व्यापक समीकरण: 3x² + 4xy + y² − 10x + 2y + 1 = 0

मान लीजिए A = 3, B = 4, C = 1, D = -10, E = 2, F = 1

xy पद को हटाने के लिए:

tan(2θ) = B / (A − C) = 4 / (3 − 1) = 2

⇒ 2θ = tan⁻¹(2)

⇒ θ = 1/2 × tan⁻¹(2)

निर्देशांक (x, y) → (x′, y′) को बदलने के लिए θ का उपयोग करें। 

⇒ नया समीकरण घूर्णी अक्षों में एक मानक परवलय बन जाता है

⇒ मानक रूप (y′ − k)2 = 4a(x′ − h) से तुलना करें : 

⇒ शीर्ष (h, k) = (1, 1)

⇒ नाभि (x, y) = (7/2, −1/2) बैक रूपांतरण के बाद

⇒ मुख्य अक्ष समीकरण इस प्रकार परिवर्तित होता है: x + y − 3 = 0

⇒ परवलय का अक्ष: y = −x + 4

⇒ परिवर्तित अक्षों में नाभिलंब का समीकरण  x − 2y + 1 = 0 हो जाता है। 

∴ सही मिलान: A–R, B–Q, C–T, D–S है। 

संकल्पना:

दिया गया है:

परवलय का समीकरण y² + 12x = 0 है। 

बिंदु (3, 8) पर स्पर्श रेखा खींची जाती है। 

गणना:

y2 + 12x = 0 

⇒ y2 = - 12x

परवलय समीकरण के साथ तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

⇒ 4a = - 12

⇒ a = - 3

स्पर्शरेखा के समीकरण को ढाल के रूप में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:​

\(y = mx + \frac{-3}{m}\)     --- समीकरण (1)

चूंकि स्पर्शरेखा (3, 8) से होकर गुजरती है, इसलिए, (3, 8) समीकरण (1) को संतुष्ट करेगा

⇒ \(8 = 3m + \frac{-3}{m}\)

⇒ 3m² - 8m - 3 = 0

⇒ m = 3, - 1/3

उपरोक्त समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें दो स्पर्श रेखाएँ इस प्रकार प्राप्त होती हैं,

⇒ x + 3y - 27 = 0 और 3x - y -1 = 0

इसलिए, केवल एक विकल्प उपलब्ध है, इसलिए x + 3y - 27 = 0 अभीष्ट स्पर्शरेखा है।

अवधारणा:

अतिपरवलय \({x^2 \over a^2} -{y^2 \over b^2}=1 \) की उत्केंद्रता \(\sqrt{1+{b^2 \over a^2 }}\) है। 

(h, k) पर अतिपरवलय \({x^2 \over a^2} -{y^2 \over b^2}=1 \) की स्पर्शरेखा का समीकरण निम्नलिखित है:

\({hx \over a^2} -{ky \over b^2}=1 \)

गणना:

माना अतिपरवलय का समीकरण \({x^2 \over a^2} -{y^2 \over b^2}=1 \) है। 

⇒ उत्केंद्रता = 2 = \(\sqrt{1+{b^2 \over a^2 }}\)

⇒ 3a² = b²

और अतिपरवलय (4,6) से होकर गुजरता है। 

⇒ \({4^2 \over a^2} -{6^2 \over b^2}=1 \)

⇒ \({16 \over a^2} -{36 \over 3a^2}=1 \)

⇒ a² = 4 और b² = 12

⇒ (4, 6) पर अतिपरवलय \({x^2 \over 4} -{y^2 \over 12}=1 \) की स्पर्शरेखा का समीकरण निम्नलिखित है:

\({4x \over 4} -{6y \over 12}=1 \)

⇒ 2x - y - 2 = 0

∴ सही उत्तर विकल्प (4) है।

संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

• लैटस रेक्टम की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{75} = 1\)

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} - \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a2 = 100 और b2 = 75

∴ a = 10

लैटस रेक्टम की लम्बाई =  \(\rm \frac{2b^2}{a}\)= \(\rm \frac{2 \times 75}{10} = 15\)

संकल्पना:

एक अतिपरवलय  का मानक समीकरण:\(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} - \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\) 

• केंद्र-बिंदु का निर्देशांक = (± ae, 0)
• उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 + {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) ⇔ a2e2 = a2 + b2
• लैटस रेक्टम की लम्बाई = \(\rm \frac{2b^2}{a}\)

गणना:

दिया गया है: \(\rm \frac{x^2}{100} - \frac{y^2}{75} = 1\)

अतिपरवलय के मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर: \(\frac{{{\rm{\;}}{{\bf{x}}^2}}}{{{{\bf{a}}^2}}} - \frac{{{{\bf{y}}^2}}}{{{{\bf{b}}^2}}} = 1\)

इसलिए, a2 = 100 और b2 = 75

अब, उत्केंद्रता (e) = \(\sqrt {1 + {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} \) 

= \(\sqrt {1 + \frac{75}{100}}\)

= \(\sqrt {1 + \frac{3}{4}}\)

= \(\sqrt { \frac{7}{4}}\)

अवधारणा:

एक आयताकार अतिपरवलय \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) के गुण निम्न हैं:

• इसका केंद्र इसके द्वारा दिया गया है: (0, 0)
• इसके फोकस इसके द्वारा दिए गए हैं: (- ae, 0) और (ae, 0)
• इसके शीर्ष इसके द्वारा दिए गए हैं: (- a, 0) और (a, 0)
• इसकी उत्केंद्रता इस प्रकार दी गई है: \(e = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)
• अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई = 2a और इसका समीकरण y = 0 है।
• संयुग्म अक्ष की लंबाई = 2b और इसका समीकरण x = 0 है।
• इसके नाभिलंब की लंबाई इस प्रकार है: \(\frac{2b^2}{a}\)

गणना:

यहाँ, हमें उस अतिपरवलय का समीकरण ज्ञात करना है जिसकी नाभिलंब की लंबाई 4 है और उत्केंद्रता 3 है।

जैसा कि हम जानते हैं कि, क्षैतिज अतिपरवलय का नाभिलंब \(\frac{2b^2}{a}\) द्वारा दिया जाता है

⇒ \(\frac{2b^2}{a} = 4\)

⇒ b² = 2a

जैसा कि हम जानते हैं कि, एक अतिपरवलय की उत्केंद्रता इसके द्वारा दी गई है: \(e = \frac{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}{a}\)

⇒ a2e2 = a2 + b2

⇒ 9a² = a² + 2a

⇒ a = 1/4

∵ b2 = 2a

⇒ b2 = 1/2

तो, आवश्यक अतिपरवलय का समीकरण 16x² - 2y² = 1 है

इसलिए विकल्प C सही उत्तर है।

संकल्पना

अतिपरवलय का समीकरण है \(\rm \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\)

अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae

फिर से, \(\rm b^2 = a^2(e^2-1)\)

गणना:

अतिपरवलय का समीकरण है \(\rm \dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) .... (1)

एक अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी 16 है और इसकी उत्केंद्रता √2 है।

हम जानते हैं कि अतिपरवलय के फोकस के बीच की दूरी = 2ae

⇒ 2ae = 16

⇒ a = \(\dfrac {16}{2\sqrt 2}\) = \({4\sqrt 2}\)

फिर से, \(\rm b^2 = a^2(e^2-1)\)

⇒ \(\rm b^2 = 32(2-1)\)

⇒ \(\rm b^2 = 32\)

समीकरण (1) बन जाता है

⇒ \(\rm \dfrac{x^2}{32} - \dfrac{y^2}{32} = 1 \)

⇒ x 2 - y 2 = 32

संकल्पना:

दीर्घवृत्त का समीकरण: \(\rm\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)​

उत्केंद्रता​ (e) = \(\rm\sqrt{1-\frac{b^2 }{a^2}}\)

जहाँ, शीर्ष = (± a, 0) और केंद्र-बिंदु = (± ae, 0)

गणना:

यहाँ, दीर्घवृत्त का शीर्ष (± 5, 0) और केंद्र-बिंदु (±4, 0) है। 

इसलिए, a = ±5 ⇒ \(a^2=25\) और 

ae = 4 ⇒ e = 4/5

अब, 4/5 = \(\rm\sqrt{1-\frac{b^2 }{5^2}}\)

\(⇒ \rm\frac{16}{25}=\rm\frac{25-b^2}{25}\\⇒ 16=25-b^2 \\⇒ b^2=9 \)

∴ दीर्घवृत्त का समीकरण = \(\rm \frac {x^2}{25} + \frac {y^2}{9} = 1\)

 अतः विकल्प (1) सही है।  

संकल्पना:

परवलय:

गणना:

दिए गए समीकरण (y - 3)2 = 20(x - 1) की तुलना परवलय के सामान्य समीकरण (y - k)2 = 4a(x - h) के साथ करने पर, हम कह सकते हैं कि:

k = 3, a = 5, h = 1

शीर्ष (h, k) = (1, 3) है। 

संकल्पना:

उस बिंदु के निर्देशांक जहां जीवा परवलय को काटती है, परवलय के समीकरण को संतुष्ट करती है।

हिसाब:

दिया गया:

एक परवलय का समीकरण y ² = x है।

जीवा OA द्वारा x-अक्ष के साथ बनाया गया कोण θ है

माना परवलय की जीवा OA की लंबाई L है

अत: AM की लंबाई = L sinθ

और OM की लंबाई = L cosθ

अत: A का निर्देशांक = (L cos θ, L sin θ)

और यह बिंदु परवलय y2 = x के समीकरण को संतुष्ट करेगा।

⇒ (Lsin θ)2 = L cos θ

⇒L2 sin2 θ = L cos θ

⇒ L = cos θ. cosec2 θ

∴ जीवा की अभीष्ट लंबाई cos θ. cosec2 θ.

संकल्पना:

अतिपरवलय: किसी बिंदु का वह बिन्दुपथ जो इस प्रकार स्थानांतरित होता है जिससे एक निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी एक निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी से अधिक है। (उत्केंद्रता = e > 1)

गणना:

दिया गया है:

16x² – 9y² = 1

\( \Rightarrow \frac{{{\rm{\;}}{{\rm{x}}^2}}}{{\frac{1}{{16}}}} - \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{\frac{1}{9}}} = 1\)

 \(\frac{{{\rm{\;}}{{\rm{x}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}} - \frac{{{{\rm{y}}^2}}}{{{{\rm{b}}^2}}} = 1\) के साथ तुलना करने पर 

∴ a² = 1/16 और b² = 1/9

उत्केंद्रता = \(\sqrt {1 + {\rm{\;}}\frac{{{{\rm{b}}^2}}}{{{{\rm{a}}^2}}}} = \;\sqrt {1 + \;\frac{{\left( {\frac{1}{9}} \right)}}{{\left( {\frac{1}{{16}}} \right)}}} = \;\sqrt {1 + \;\frac{{16}}{9}} = \;\sqrt {\frac{{25}}{9}} = \;\frac{5}{3}\) 

संकल्पना:

परवलय: बिंदु का वह मूल पथ जो इस प्रकार गति करता है जिससे निर्दिष्ट बिंदु से इसकी दूरी निर्दिष्ट सीधी रेखा से इसकी दूरी के बराबर (उत्केंद्रता = e =1) होती है। 

गणना:

दिया गया है: x2 = 16y

⇒ x2 = 4 × 4 × y

परवलय के मानक समीकरण x2 = 4ay के साथ तुलना करने पर

इसलिए, a = 4

अतः केंद्र बिंदु = (0, a) = (0, 4)

अवधारणा:

दीर्घवृत्त का मानक समीकरण, \(\rm\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1\) है

नाभिलंब की लंबाई , L.R = \(\rm\frac{2a^{2}}{b}\) , यदि  b > a

गणना:

\(\rm\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{49}= 1\) ,

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर , a = 5 और b = 7 

हम जानते हैं कि, नाभिलंब की लंबाई = \(\rm\frac{2a^{2}}{b}\) है

⇒ L.R = \(\rm\frac{2\times5^{2}}{7}\) =  \(\rm\frac{50}{7}\) 

सही विकल्प 2 है।