Boolean Algebra MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Boolean Algebra - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

यह समझने के लिए कि पूरक नियम क्यों लागू होता है, हमें व्यंजक A + A' के लिए सत्य सारणी का विश्लेषण करने की आवश्यकता है। एक सत्य सारणी में शामिल चरों के सभी संभावित मान और चर मानों के प्रत्येक संयोजन के लिए व्यंजक का परिणामी मान सूचीबद्ध होता है। इस मामले में, हम एकल चर A से निपट रहे हैं, जो या तो 0 या 1 हो सकता है।

सही उत्तर है: विकल्प 3

Important Points

आइए हम प्रत्येक बूलियन व्यंजक का मूल्यांकन करके यह निर्धारित करें कि कौन से सत्य हैं:

(A). A + AB = A यह व्यंजक वितरण नियम और अवशोषण नियम का उपयोग करके सरलीकृत होता है: A + AB = A (1 + B) A (1 + B) = A (चूँकि 1 + B = 1) इसलिए, यह व्यंजक सत्य है।

(B).(A + B)' = A'B' यह व्यंजक डी मॉर्गन के नियम पर आधारित है: (A + B)' = A'B' इसलिए, यह व्यंजक सत्य है।

(C).(A')' = A यह व्यंजक दोहरा नकार नियम पर आधारित है: (A')' = A इसलिए, यह व्यंजक सत्य है।

(D).(AB)' = A' + B' यह व्यंजक भी डी मॉर्गन के नियम पर आधारित है: (AB)' = A' + B' इसलिए, यह व्यंजक सत्य है।

सभी व्यंजक (A), (B), (C), और (D) सत्य हैं, इसलिए सही उत्तर विकल्प 3) अर्थात (A), (B), (C) और (D) है।

सही उत्तर दोनों है।

Key Points 

• डी मॉर्गन के नियम दो परिवर्तन नियम हैं जो इन्फ्रेन्स के दोनों वैध नियम हैं।
• प्रथम नियम कहता है कि कन्जंक्शन का निगेशन, निगेशनों का डिस्जंक्शन है: \(\rm \overline{X \wedge Y}=\overline{X}\vee\overline Y\)X∧Y¯=X¯∨Y¯" id="MathJax-Element-9-Frame" role="presentation" style=" position: relative;" tabindex="0">एक्स ∧ वाई¯¯¯
• दूसरा नियम कहता है कि डिस्जंक्शन का निगेशन, निगेशनों का कन्जंक्शन है: \(\rm \overline{X \vee Y}=\overline{X}\wedge\overline Y\)
• ये दोनों नियम बूलियन एल्जेब्रा और डिजिटल लाॅजिक डिजाइन के क्षेत्र में आवश्यक हैं।

Additional Information 

कम्यूटेटिव लाॅ

•  कम्यूटेटिव लाॅ कहता है कि वैरियेबल्स के क्रम को बदलने से लॉजिक सर्किट के आउटपुट पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
• A + B = B + A

एसोसियेटिव लाॅ

• इसमें कहा गया है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि लाॅजिक ऑपरेशनों को किस क्रम में किया जाता है क्योंकि उनका प्रभाव वही रहता है।
• (A + B) + C = A + (B + C)

डिस्ट्रीब्यूटिव लाॅ

• A + BC = (A + B)(A + C)

सही उत्तर A - II, B - IV, C - I, D - III है।

Key Points

सही उत्तर A - II, B - I, C - III, D - IV है।

Key Pointsकिसी बूलियन व्यंजक का द्वैत ज्ञात करने के लिए, आप AND संक्रियाओं (·) को OR संक्रियाओं (+) से, OR संक्रियाओं (+) को AND संक्रियाओं (·) से, 0 को 1 से और 1 को 0 से बदलते हैं। आइए प्रत्येक व्यंजक के लिए ऐसा करें:

चरण-दर-चरण गणना:

• बूलियन व्यंजक: x·(y + 0)
  • द्वैत: x + y.1
• बूलियन व्यंजक: x̅·1 + (y̅ + z)
  • द्वैत: (x̅ + 0) (y̅ · z)
• बूलियन व्यंजक: x̅·(y̅ + 0)
  • द्वैत: x̅ + y̅·1
• बूलियन व्यंजक: x·1 + (y + z̅)
  • द्वैत: (x + 0)·(y + z̅)

इसलिए, सही उत्तर A - II, B - I, C - III, D - IV है।

बूलियन बीजगणित के FROM नियम से

1 + कोई भी चर = 1

अवधारणा:

सभी बूलियन बीजगणित नियमों को नीचे इस प्रकार दर्शाया गया है

गणना:

F = X̅ Z̅ + Y̅ Z̅ + Y Z̅ + XYZ

= X̅ Z̅ + Z̅ (Y̅ + Y) + XYZ

= X̅ Z̅ + Z̅ + XYZ

= Z̅ (1 + X̅) + XYZ

= Z̅ + XYZ

वितरक नियम का उपयोग करके

= (Z̅ + Z)(Z̅ + XY)

= Z̅ + XY 

• एक चर एक प्रतीक है जो 0 या 1 मान ले सकता है।
• एक शाब्दिक अभिव्यक्ति में एक चर या उसके पूरक का उपयोग होता है।
• एक पद एक स्तर पर शाब्दिक और संचालन द्वारा गठित अभिव्यक्ति है।

उदाहरण के लिए, निम्न फलन:

F1 = xy + xy'z + x'yz

3 चर  (x,y,z) हैं,

8 शाब्दिक (x,y,x,y',z,x',y,z), है और

4 पद (xy, xy'z, x'yz और OR पद जो प्रथम स्तर AND पदों को जोड़ता है)।

दिया गया है कि Y = A (A̅ + C) (A̅B + C) (A̅BC + C̅)

इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

Y = (A.A̅ + AC) (A̅B + C) (A̅BC + C̅)

चूँकि A.A̅ = 0, उपरोक्त व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

Y = (AC) (A̅B + C) (A̅BC + C̅)

Y = (AC.A̅B + AC.C) (A̅BC + C̅)

C.C = C के साथ, हम लिख सकते हैं:

Y = (AC) (A̅BC + C̅)

Y = AC.A̅BC + AC.C̅ 

Y = 0 + 0

Y = 0

डिमॉर्गन नियम

\(\overline {X + Y} = \bar X.\bar Y\)

\(\overline {XY} = \bar X + \bar Y\)

माना कि P, 1 - NAND गेट का आउटपुट है।

\({\rm{P}} = \overline {{\rm{A}}.{\rm{B}}}\)

माना कि Q, 1 - NAND गेट का आउटपुट है।

\({\rm{Q}} = \overline {\bar A + B} \)

\({\rm{Y}} = \overline {{\rm{P}} + {\rm{\;Q}}} = \bar P\bar Qa\)

\({\rm{Y}} = {\rm{\;}}\overline {\overline {{\rm{A}}.{\rm{B}}} \;} .\;\overline {\overline {\bar A + B} } \;\;\)

Y = (A.B). (A̅ + B)

Y = A.B.A̅  + A.B.B

∵ A.A̅  = 0 और B.B = B

Y = AB 

अवधारणा-

• बीजगणित की वह शाखा जो सत्य और असत्य के रूप में चर के मूल्यों से संबंधित है, बूलियन बीजगणित कहलाती है।
• सत्य और असत्य को आमतौर पर क्रमशः 1 और 0 से दर्शाया जाता है

व्याख्या-

यदि हम पूरक लेते हैं, तो हमें चर का प्रतिवाद मिलता है, लेकिन यदि हम फिर से पूरक चर का पूरक लेते हैं, तो हमें वही चर मिलता है।

\(F\left( A \right) = \overline {\bar A} = A\)

बूलियन बीजगणित के नियम:

अनुप्रयोग:

f(A, B) = ∑ m(0, 1, 2, 3)

= A̅ B̅ + A̅ B + A B̅ + AB

= A̅ ( B + B̅) + A (B̅ + B)

= A̅ + A = 1

1. (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) 

इसलिए एक्सक्लूसिव OR अस्सोसिएटिव है और इसलिए (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z) है।

2.

(x + y) ⊕ z ≠ x ⊕ (y + z) ∴ यह एक मान्य सर्वसमिका नहीं है।

3.

x + y = x ⊕ y / यदि xy = 0

4.

(xy + x'y')'

= (x’ + y’).(x+y) / डिमॉर्गन नियम

= x’y +xy’

(AB + C + DC)(AC + BC + D)

= (AB + C[1+ D])(AC + BC + D)

= (AB + C) (AC + BC + D)

= ABC + ABC + ABD + AC + BC + CD

= ABC + ABD + AC + BC + CD

= AC (1 + B) + ABD + BC + CD

= AC + BC + CD + ABD