Probability and Random Variable MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Probability and Random Variable - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या -

a) यह गलत है। एक सामान्य और एक बर्नोली वितरित चर का योग सामान्य वितरण का पालन नहीं करता है। एक अंतर्ज्ञान के रूप में, बर्नोली चर एक असंतता (यह केवल 0 या 1 हो सकता है) का परिचय देता है, जो सामान्य वितरण की विशेषता नहीं है।

b) यह गलत है। स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का माध्य उनके माध्यों का योग होता है। इसलिए, W का माध्य E[U] + E[V] = 0 + 0.5 = 0.5 है।

c) यह गलत है।

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का प्रसरण उनके प्रसरणों का योग होता है। V एक बर्नोली चर होने के कारण, इसका प्रसरण (0.5)(1 - 0.5) = 0.25 है।

इसलिए, W का प्रसरण 1 (U का प्रसरण) + 0.25 (V का प्रसरण) = 1.25 है। मानक विचलन तब प्रसरण का वर्गमूल है, √(1.25) = 1.12 (लगभग)।

d) यह सही है। दो या अधिक स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का प्रायिकता वितरण उनके व्यक्तिगत वितरणों का कनवल्शन होता है।

व्याख्या -

a) Y वितरण का माध्य 7 है।

यह सही है। दिया गया है Y = 2Z + 1 और यदि Z का माध्य 3 है, तो Z के माध्य को Y में प्रतिस्थापित करने पर, हमें Y का माध्य = 2 x 3 + 1 = 7 प्राप्त होता है।

b) Y वितरण का मानक विचलन 2 है।

यह गलत है। जब एक यादृच्छिक चर को एक स्थिरांक से गुणा किया जाता है और एक स्थिरांक जोड़ा जाता है, तो इसका मानक विचलन भी उसी स्थिरांक (इस मामले में 2) के निरपेक्ष मान से गुणा हो जाता है। इसलिए, Y का मानक विचलन 2 x σ(Z) = 2 x 2 = 4 होना चाहिए।

c) यादृच्छिक चर Y एक सामान्य वितरण का पालन करता है।

यह सही है। सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर का कोई भी रैखिक परिवर्तन एक सामान्य वितरण बना रहता है।

d) प्रायिकता P(Y < 5) को P(Z < 2) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यह सही है। आइए Z के लिए हल करने के लिए व्यंजक Y = 2Z + 1 में Y = 5 को प्रतिस्थापित करें। हमें $Z=\frac{(5-1)}{2}=2.$ प्राप्त होता है। इसलिए, P(Y < 5) P(Z < 2) के समतुल्य है।

व्याख्या -

एक प्रसामान्य यादृच्छिक चर (इसे X कहते हैं) के रैखिक परिवर्तन के मामले में, माध्य और मानक विचलन निम्नलिखित सूत्रों के अनुसार बदलेंगे:

$\mu y=a\times \mu x+bऔर\sigma y=|a|\times \sigma x$

जहाँ a गुणक (इस मामले में 3) है और b योज्य स्थिरांक (इस मामले में 2) है। सूत्रों का उपयोग करके, हम गणना करेंगे:

$\mu y=3\times 0+2=2और\sigma y=|3|\times 1=3$

इस प्रकार, सही उत्तर (iii) µy = 2, σy = 3 है।

व्याख्या:

दिया गया है ℙ(A) > 0 और ℙ(B) > 0

(1): ℙ(A ∣ B) = 0

⇒ $\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$ = 0

⇒ $\mathbb{P}(A\cap B)$ = 0 (∵ ℙ(B) > 0) ....(i)

अब, ℙ(B ∣ A) = $\frac{\mathbb{P}(B\cap A)}{\mathbb{P}(A)}$ = 0 (समीकरण (i) से और ℙ(A) > 0)

विकल्प (1) सही है

(2): ℙ(A ∣ B) = 1

⇒ $\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$ = 1

⇒ $\mathbb{P}(A\cap B)$ = ℙ(B) ....(ii)

अब, ℙ(B ∣ A) = $\frac{\mathbb{P}(B\cap A)}{\mathbb{P}(A)}$ = $\frac{\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)}$ ≠ 1 (समीकरण (ii) का उपयोग करके)

विकल्प (2) गलत है

(3): ℙ(A ∣ B) > ℙ(A)

⇒ $\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$ > ℙ(A)

⇒ $\mathbb{P}(A\cap B)$ > ℙ(A)ℙ(B) ....(iii)

अब, ℙ(B ∣ A) = $\frac{\mathbb{P}(B\cap A)}{\mathbb{P}(A)}$ > $\frac{\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)}{\mathbb{P}(A)}$ > ℙ(B) (समीकरण (ii) का उपयोग करके)

विकल्प (3) सही है

(4): ℙ(A ∣ B) > ℙ(B)

⇒ $\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}$ > ℙ(B)

⇒ $\mathbb{P}(A\cap B)$ > [ℙ(B)]² ....(iv)

अब, ℙ(B ∣ A) = $\frac{\mathbb{P}(B\cap A)}{\mathbb{P}(A)}$ > $\frac{[\mathbb{P}(B){]}^2}{\mathbb{P}(A)}$ $\ngtr$ ℙ(A) (समीकरण (ii) का उपयोग करके)

विकल्प (4) गलत है

संकल्पना:

द्विपद वितरण:

यह ठीक 'n' परीक्षणों में घटना के 'r' के बार होने की प्रायिकता देता है।

P(r) = nCr(p)r(q)n - r

जहाँ n = परीक्षणों की संख्या, r = अनुकूल घटनाओं की संख्या, p = किसी घटना के होने की प्रायिकता और q = (1 - p) किसी घटना के न होने की प्रायिकता।

गणना:

दिया हुआ:

n = 5 (5 बार उछाला गया), r = 2 (ठीक दो चित), p = 1/2 (घटना होने की प्रायिकता) और q = 1/2 (किसी घटना के न होने की प्रायिकता)

P(r) = nCr(p)r(q)n - r

∴ चित के ठीक 2 बार होने की प्रायिकता P(2) है।

$P(2)=5_{C_2}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\Rightarrow \frac{5}{16}$

संकल्पना: -

P{X > 1} यादृच्छिक चर X > 1 के सभी मानों की प्रायिकता को दर्शाती है।

$\Rightarrow P(X>1)={\int }_1^{\infty }{e}^{-x}dx$

गणना:

दिया गया है: f (x) = e-x, 0 < x < ∞

$\Rightarrow P(X>1)={\int }_1^{\infty }{e}^{-x}dx$

$\Rightarrow P(X>1)={\frac{e^{-x}}{-1}|}_1^{\infty }$

$\Rightarrow P(X>1)={\frac{e^{-x}}{-1}|}_1^{\infty }$

⇒ P(X > 1) = - (e^-∞ - e-1)

⇒  P(X > 1) = 1/e

अतः सही उत्तर विकल्प 1 है।

संकल्पना:

शून्य-माध्य गाऊसी चर का प्रायिकता घनत्व फलन इस प्रकार दिखाया गया है:

गणितीय रूप से, एक गाऊसी यादृच्छिक चर के घनत्व फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\sigma }^2}}$

दिया गया वितरण शून्य माध्य अर्थात μ = 0 है, इसलिए उपरोक्त वितरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}{e}^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}$

गाऊसी वितरण का फूरियर रूपांतरण इस प्रकार दिखाया गया है:

$F\left(\omega \right)=\sqrt{2{\sigma }^2\pi }{e}^{\frac{2{\sigma }^2{\omega }^2}{4}}$

स्पष्ट रूप से, कला स्पेक्ट्रम स्थिर है और दिए गए दो यादृच्छिक संकेतों के लिए समान मानक विचलन के साथ, कला -π से +π तक एकसमान है।

विश्लेषण :

एक प्रथम-क्रम निम्न पास RC फ़िल्टर नीचे दिखाया गया है:

RC फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया है:

$\mathrm{H}\left(\omega \right)=\frac{1}{1+\mathrm{j}\omega \mathrm{R}\mathrm{C}}$

शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व इस प्रकार दिया गया है:

SXX(ω) = K

आउटपुट शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व निम्नलिखित संबंध द्वारा इनपुट शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व से संबंधित है:

$S_{YY}\left(\omega \right)={\left|H\left(\omega \right)\right|}^2{S}_{XX}\left(\omega \right)$

$S_{YY}\left(\omega \right)=\frac{1}{1+{\left(\omega RC\right)}^2}.K$

$S_{YY}\left(\omega \right)=K.\frac{1}{2RC}.\frac{2\left[1/RC\right]}{{\omega }^2+{\left[1/\left(RC\right)\right]}^2}$

इसके अलावा, ऑटोसहसंबंध और शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व एक फूरियर ट्रांसफॉर्म युग्म बनाते हैं, अर्थात

${\mathrm{R}}_{\mathrm{Y}\mathrm{Y}}\left(\omega \right)\stackrel{\mathrm{F}\mathrm{T}}{\leftrightarrow }{\mathrm{S}}_{\mathrm{Y}\mathrm{Y}}\left(\omega \right)$

इस प्रकार, संबंध का उपयोग करना:

${\mathrm{e}}^{-\mathrm{a}\left|\mathrm{t}\right|}\stackrel{\mathrm{F}\mathrm{T}}{\leftrightarrow }\frac{2\mathrm{a}}{{\mathrm{a}}^2+{\omega }^2}$ हमारे पास ${\mathrm{S}}_{\mathrm{Y}\mathrm{Y}}\left(\omega \right)$ का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण है:

${\mathrm{R}}_{\mathrm{Y}\mathrm{Y}}\left(\tau \right)=\mathrm{K}.\frac{1}{2\mathrm{R}\mathrm{C}}.{\mathrm{e}}^{-\frac{\left|\tau \right|}{\mathrm{R}\mathrm{C}}}$

अब, औसत शक्ति $\mathrm{E}\left[{\mathrm{Y}}^2\left(\mathrm{t}\right)\right]$ होगी:

$\mathrm{E}\left[{\mathrm{Y}}^2\left(\mathrm{t}\right)\right]={\mathrm{R}}_{\mathrm{Y}\mathrm{Y}}\left(0\right)=\mathrm{K}.\frac{1}{2\mathrm{R}\mathrm{C}}$

$\therefore \mathrm{E}\left[{\mathrm{Y}}^2\left(\mathrm{t}\right)\right]=\frac{\mathrm{K}}{2\mathrm{R}\mathrm{C}}$

श्वेत रव का वर्णक्रम घनत्व एकसमान होता है और श्वेत रव का स्वसहसंबंध फलन डेल्टा फलन है।

वर्णन:

शक्ति वर्णक्रम घनत्व मूल रूप से शक्ति सिग्नल के स्वसहसंबंध फलन का फुरिए रूपांतरण है, अर्थात्

$S_x\left(f\right)=F.T.\left\{R_x\left(\tau \right)\right\}$

साथ ही, एक स्थिर फलन का व्युत्क्रम फुरिए रूपांतरण इकाई संवेग है।

श्वेत रव के शक्ति वर्णक्रम घनत्व को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है:

सभी आवृत्ति 'f' के लिए ${\mathrm{S}}_{\mathrm{X}}\left(\mathrm{f}\right)=\frac{\eta }{2}$ अर्थात्

अब स्वसहसंबंध शक्ति वर्णक्रम घनत्व फलन का व्युत्क्रम फुरिए रूपांतरण (IFT) है।

${\mathrm{R}}_{\mathrm{x}}\left(\tau \right)\stackrel{\mathrm{I}\mathrm{F}\mathrm{T}}{\to }{\mathrm{S}}_{\mathrm{X}}\left(\mathrm{f}\right)$

श्वेत रव के शक्ति वर्णक्रम का व्युत्क्रम फुरिए रूपांतरण संवेग होगा, जैसा नीचे दर्शाया गया है:

${\mathrm{R}}_{\mathrm{x}}\left(\tau \right)=\frac{\eta }{2}\delta \left(\tau \right)$

प्रयुक्त संकल्पना:-

एक अपेक्षित मान एक यादृच्छिक चर का "औसत" मान है। किसी यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान E(x) द्वारा निरूपित किया जाता है और इसके माध्य के रूप में जाना जाता है। 

एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान इस प्रकार दिया गया है,

$E(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)dx$

स्पष्टीकरण:

दिया गया फलन निम्न है,

\(f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} x-{5\over2}, & 02 \end{array}\right.\)

उपरोक्त सूत्र के साथ इस फलन के लिए एक यादृच्छिक चर x का अपेक्षित मान या माध्य इस प्रकार दिया जा सकता है,

$$\begin{gathered} E(x)={\int }_0^{1}x(x-\frac{5}{2})dx+{\int }_1^{2}x\cdot 2xdx \\ E(x)={\int }_0^1(x^2-\frac{5x}{2})dx+{\int }_1^{2}2x^{2}dx \\ E(x)={\frac{x^3}{3}|}_0^1-{\frac{5x^2}{4}|}_0^1+{\frac{2x^3}{3}|}_1^2 \\ E(x)=\frac{1}{3}-\frac{5}{4}+\frac{2(8-1)}{3} \\ E(x)=\frac{15}{4} \\ E(x)=3.75 \end{gathered}$$

इस प्रकार, एक यादृच्छिक चर का माध्य 3.75 है।

अतः सही विकल्प 3 है।

सांख्यिकी में, एक बारंबारता बंटन एक सूची, तालिका या आरेख है जो एक नमूने में विभिन्न परिणामों की बारंबारता प्रदर्शित करता है। 

अवलोकन की बारंबारता आपको बताती है कि डेटा में कितनी बार अवलोकन होता है।

• तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि में किसी विशेष समूह या अंतराल के भीतर मानों की घटनाओं की बारंबारता या गिनती होती है।
• असतत डेटा प्रत्येक अवलोकन को गिनकर उत्पन्न किया जाता है।
• जब एक अवलोकन दोहराया जाता है, तो इसे गिना जाता है। वह संख्या जिसके लिए प्रेक्षण को दोहराया जाता है, उस अवलोकन  की बारंबारता कहलाती है।
• असतत डेटा में वर्ग सीमाएँ वास्तविक वर्ग सीमाएँ हैं, असतत डेटा में कोई वर्ग सीमाएँ नहीं हैं।

संकल्पना:

एक प्रायिकता वितरण का प्रसरण इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

σ² = E(X - X̅)² (जो कि (X - X̅)² का अपेक्षित मान है)

जहाँ, X̅ = दिए गए वितरण का माध्य है।

गणना:

दिए गए वितरण के माध्य की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\overline{X}=E\left(x\right)=\int xp\left(x\right)dx$

p(x) आयाम $\frac{1}{\mathrm{\Delta }}$ के रूप में दिया गया है

इसलिए, $\overline{x}=\underset{-\mathrm{\Delta }/2}{\stackrel{\mathrm{\Delta }/2}{\int }}x.\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.dx$

$\Rightarrow \overline{x}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.{\frac{x^2}{2}|}_{-\mathrm{\Delta }/2}^{\mathrm{\Delta }/2}$

$=\frac{1}{2\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{4}-\left(\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{4}\right)]$

= 0

इसलिए, दिए गए वितरण का माध्य 0 है।

अब, प्रसरण की गणना σ² = E(X - 0)² = E(X²) के रूप में की जाती है

${\sigma }^2=E\left(x^2\right)=\int x^{2}p\left(x\right)dx$

दिए गए वितरण के लिए;

${\sigma }^2=E\left(x^2\right)=\int x^2.\frac{1}{\mathrm{\Delta }}.dx$

$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}\int x^2.dx$

$=\frac{1}{\mathrm{\Delta }}{\frac{x^3}{3}|}_{-\mathrm{\Delta }/2}^{\mathrm{\Delta }/2}$

$=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}-(-\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8})]$

$=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}+\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{8}]=\frac{1}{3\mathrm{\Delta }}\left[\frac{{\mathrm{\Delta }}^3}{4}\right]=\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{12}$

इसलिए, दिए गए वितरण का प्रसरण $\frac{{\mathrm{\Delta }}^2}{12}$ है

निहितार्थ:

अवधारणा:

द्विपद बंटन असंतत प्रायिकता बंटन है जो एक प्रयोग में केवल दो संभावित परिणाम देता है, या तो सफलता या विफलता।

बर्नौली अभिप्रयोग: एक प्रयोग जिसमें N अभिप्रयोग, किसी दिए गए अभिप्रयोग में सफलता की प्रायिकता p और किसी दिए गए अभिप्रयोग में विफलता की प्रायिकता q = 1 - p वाली घटना से बने होते है।

द्विपद बंटन सफल परीक्षणों की संख्या n प्राप्त करने की प्रायिकता देता है जो नीचे दर्शाया गया है:

P = ${}_n^N\text{C}$(p)ⁿ(q)^N-n  = ${}_n^N\text{C}$(p)ⁿ(q)^N-n

गणना:

दिया गया है:

100 बल्बों के समूह में 10 खराब बल्ब हैं।

100 बल्बों के समूह से एक खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता

=  $\frac{10}{100}$ = 0.1

⇒ 100 बल्बों के समूह से एक सही बल्ब निकालने की प्रायिकता= $\frac{90}{100}$ = 0.9

⇒ जब यादृच्छिक रूप से 8 बल्बों का चयन किया जाता है, तो कम से कम एक खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता ज्ञात करने की आवश्यकता होती है।

यह द्विपद बंटन का एक उदाहरण है।

यहाँ, N = 8, p = 0.1, q = 0.9

इसलिए, द्विपद प्रमेय का उपयोग करके अभीष्ट प्रायिकता दी जाती है,

कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - कोई खराब बल्ब न निकलने की प्रायिकता

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - ${}_0^8\text{C}$(p)0(q)8-0

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता = 1 - (0.1)0(0.9)8

 कम से कम 1 खराब बल्ब निकालने की प्रायिकता= 1 - ($\frac{9}{10}$)⁸

अतः, सही उत्तर विकल्प 4 है। 

संकल्पना:

यादृच्छिक चर ‘x’ का विश्लेषण करने के लिए दो फलन का प्रयोग किया जाता है।

1) PDF (प्रायिकता वितरण फलन)

2) pdf (प्रायिकता घनत्व फलन)

CDF और pdf निम्न रूप में संबंधित हैं:

$CDF=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}PDFdx$  ----(1)

मान्य PDF के गुण:

1) $f_X\left(x\right)\ge 0,\mathrm{\forall }xϵR$

∴ CDF, 0 और 1 के बीच परिबद्ध रहेगा। 

2) $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_X\left(x\right)dx=P_X\left(\mathrm{\infty }\right)=1$  -----(2)

यहाँ P_X, CDF है। 

$P_X\left(\mathrm{\infty }\right)=\begin{array}{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}\\ x\to \mathrm{\infty }\end{array}{P}_X\left(x\right)$

∴ CDF सदैव एकदिष्‍टत: रूप से बढ़ता हुआ फलन होगा क्योंकि प्रायिकता सदैव 0 से बड़ी या उसके बराबर होती है।

गणना:

दिया गया है:

$PDF=f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{c}{\sqrt{x}},& 0<x<4\\ 0,& otherwise\end{array}$

समीकरण (2) का प्रयोग करने पर:

$\underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{c}{\sqrt{x}}dx=1$

$[2c\sqrt{x}{]}_0^4=1$

4c = 1

$c=\frac{1}{4}$

अब P(X > 1) के लिए 

P(X > 1) = 1 - P(X ≤ 1)

$P(X>1)=1-[2c\sqrt{x}{]}_0^1$

$P(X>1)=1-\frac{1}{2}(1-0)$

$P(X>1)=\frac{1}{2}$

अतः विकल्प (3) सही उत्तर है।