Pure Torsion MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Pure Torsion - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

हम किसी शाफ़्ट में बल-आघूर्ण के अंतर्गत मरोड़ कठोरता और घुमाव के कोण के बीच के संबंध का विश्लेषण करने के लिए मरोड़ समीकरण का उपयोग करते हैं।

दिया गया है:

• मरोड़ समीकरण: \(\frac{T}{J} = \frac{G \cdot \theta}{L}\)
• मरोड़ कठोरता: \(G J\)
• घुमाव का कोण: \(\theta\)

चरण 1: मरोड़ समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करें

घुमाव के कोण को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने के लिए:

\(\theta = \frac{T L}{G J}\)

चरण 2: संबंध का विश्लेषण करें

समीकरण दर्शाता है:

\(\theta \propto \frac{1}{G \cdot J}\)

इसका अर्थ है:

• जब मरोड़ कठोरता (\(G J\)) बढ़ती है, तो घुमाव का कोण (\(\theta\)) घटता है।
• जब मरोड़ कठोरता घटती है, तो घुमाव का कोण बढ़ता है।

चरण 3: भौतिक व्याख्या

मरोड़ कठोरता एक शाफ़्ट के घुमाव के प्रतिरोध को दर्शाती है:

• उच्च \(G J\) (कठोर शाफ़्ट) → समान बल-आघूर्ण के अंतर्गत कम घुमाव
• निम्न \(G J\) (अधिक लचीला शाफ़्ट) → समान बल-आघूर्ण के अंतर्गत अधिक घुमाव

मरोड़ कठोरता में वृद्धि से मरोड़ के अधीन शाफ़्ट में घुमाव का कोण कम हो जाता है।

व्याख्या:

शाफ्ट की मरोड़ी कठोरता

• मरोड़ी कठोरता बल-आघूर्ण के अनुप्रयोग के तहत शाफ्ट के घुमाव के प्रतिरोध का एक माप है।
• यह यांत्रिक प्रणालियों के डिजाइन में एक आवश्यक पैरामीटर है जहाँ घूर्णी गति और बल-आघूर्ण संचरण शामिल हैं, जैसे ड्राइव शाफ्ट, एक्सल और विभिन्न घूर्णन मशीनरी घटक।

मरोड़ी कठोरता को प्रभावित करने वाले प्रमुख कारक:

• कई कारक शाफ्ट की मरोड़ी कठोरता को प्रभावित करते हैं, जिसमें पदार्थ के गुण, शाफ्ट की ज्यामिति और सीमा की स्थिति शामिल हैं।
• हालांकि, किसी दिए गए पदार्थ और शाफ्ट ज्यामिति के लिए, मरोड़ी कठोरता को प्रभावित करने वाला प्राथमिक कारक दृढ़ता मापांक (जिसे अपरूपण मापांक भी कहा जाता है) है।

शाफ्ट की मरोड़ी कठोरता (k) को गणितीय रूप से निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:

k = (G × J) / L

जहाँ:

• G पदार्थ का दृढ़ता मापांक (अपरूपण मापांक) है।
• J शाफ्ट अनुप्रस्थ काट का ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण है।
• L शाफ्ट की लंबाई है।

दृढ़ता मापांक (G) का महत्व:

• दृढ़ता मापांक (G) एक पदार्थ गुण है जो पदार्थ की अपरूपण विकृति का विरोध करने की क्षमता को मापता है। यह शाफ्ट की मरोड़ी कठोरता को परिभाषित करने में एक मौलिक पैरामीटर है।
• किसी दिए गए शाफ्ट ज्यामिति के लिए, मरोड़ी कठोरता दृढ़ता मापांक के समानुपाती होती है। उच्च दृढ़ता मापांक से अधिक मरोड़ी कठोरता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि शाफ्ट लागू बल-आघूर्ण के तहत कम कोणीय विकृति का अनुभव करेगा।

यह समझने के लिए कि दृढ़ता मापांक प्राथमिक कारक क्यों है, आइए शाफ्ट पर लागू बल-आघूर्ण (T) और परिणामी घुमाव के कोण (θ) के बीच संबंध में तल्लीन करें। संबंध इस प्रकार दिया गया है:

θ = (T × L) / (G × J)

यह समीकरण दर्शाता है कि दिए गए बल-आघूर्ण (T) और शाफ्ट लंबाई (L) के लिए, घुमाव का कोण (θ) दृढ़ता मापांक (G) और ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J) के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इसलिए, दृढ़ता मापांक को बढ़ाने से घुमाव का कोण कम हो जाता है, जो उच्च मरोड़ी कठोरता को दर्शाता है।

अवधारणा:

एक शाफ्ट की मरोड़ कठोरता उसके ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (\( J \)) पर निर्भर करती है, जो शाफ्ट के व्यास का एक फलन है।

मरोड़ कठोरता (\( K \)) निम्न द्वारा दी जाती है:

\( K = \frac{G J}{L} \)

चूँकि शाफ्ट एक ही पदार्थ (\( G \) स्थिरांक है) के हैं और समान लंबाई (\( L \) स्थिरांक है) के हैं, कठोरता ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण के समानुपाती है:

\( K \propto J \)

गणना:

एक ठोस वृत्ताकार शाफ्ट के लिए ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण है:

\( J = \frac{\pi d^4}{32} \)

मान लीजिये छोटे शाफ्ट का व्यास \( d \) है और बड़े शाफ्ट का व्यास \( 2d \) है।

छोटे शाफ्ट के लिए:

\( J_{\text{small}} = \frac{\pi d^4}{32} \)

बड़े शाफ्ट के लिए:

\( J_{\text{large}} = \frac{\pi (2d)^4}{32} = \frac{\pi \times 16d^4}{32} = 16 J_{\text{small}} \)

चूँकि \( K \propto J \), बड़े शाफ्ट की मरोड़ कठोरता है:

\( K_{\text{large}} = 16 K_{\text{small}} \)

बड़े शाफ्ट की मरोड़ कठोरता छोटे शाफ्ट की मरोड़ कठोरता की 16 गुना है।

स्पष्टीकरण:

मरोड़ सिद्धांत की मान्यताएँ:

1. रैखिक प्रत्यास्थता: सदस्य की सामग्री हुक के नियम का पालन करती है और मरोड़ के तहत रैखिक प्रत्यास्थत व्यवहार प्रदर्शित करती है।
2. सजातीय और समानुवर्ती सामग्री: सामग्री को सजातीय (संरचना में एक समान) और समानुवर्ती (इसके गुण सभी दिशाओं में समान हैं) माना जाता है।
3. वृत्ताकार अनुप्रस्थ काट: सदस्य का नुप्रस्थ काट आकार आमतौर पर गोलाकार माना जाता है। यह विश्लेषण को सरल बनाता है क्योंकि इसके परिणामस्वरूप सदस्य की लंबाई के साथ निरंतर मरोड़ वाला आघूर्ण होता है।
4. शुद्ध मरोड़: मरोड़ सिद्धांत मानता है कि लागू भार में सदस्य के सिरों पर कार्य करने वाले दो समान और विपरीत बलाघूर्ण (आघूर्ण) होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध मरोड़ होता है। अन्य प्रकार की लोडिंग, जैसे अक्षीय भार या बंकन आघूर्ण, की उपेक्षा की जाती है।
5. रैखिक अपरूपण प्रतिबल वितरण: यह माना जाता है कि सदस्य के अनुप्रस्थ काट में अपरूपण प्रतिबल का वितरण रैखिक है, अधिकतम अपरूपण प्रतिबल गोलाकार अनुप्रस्थ काट के सबसे बाहरी फाइबर पर होता है और केंद्र में रैखिक रूप से शून्य तक घट जाता है। (सदस्य का अनुदैर्ध्य अक्ष)
6. छोटी विकृतियाँ: विकृतियों को छोटा माना जाता है, और सदस्य रैखिक प्रत्यास्थता सीमा में रहता है। यह धारणा सरल गणितीय संबंधों के उपयोग की अनुमति देती है।
7. कोई विकृति नहीं: सिद्धांत अक्सर मानता है कि मरोड़ के दौरान अनुप्रस्थ काट में कोई विकृति नहीं होती है। दूसरे शब्दों में, अनुप्रस्थ काट आकार स्थिर रहता है।
8. स्थिर सामग्री गुण: सामग्री गुण जैसे अपरूपण मापांक (G) और जड़ता के ध्रुवीय आघूर्ण (J) को सदस्य की लंबाई के साथ स्थिर माना जाता है।
9. कोई अक्षीय विस्थापन नहीं: मरोड़ विश्लेषण आमतौर पर मानता है कि सदस्य की लंबाई के साथ कोई अक्षीय विस्थापन नहीं है।

Additional Information
बलाघूर्ण समीकरण निम्न द्वारा दी गई है

\(\frac{T}{J}= \frac{\tau_{max}}{R} = \frac {G \theta}{L}\)

जहां, T = बलाघूर्ण; J = जड़त्व का ध्रुवीय आघूर्ण;

\(\tau_{max}\) = अधिकतम अपरूपण प्रतिबल; J  = वक्रता की त्रिज्या

G = अपरूपण मापांक; \(\theta \) = मोड़ का कोण; L = बीम की लंबाई

स्पष्टीकरण :

शाफ्ट पर शुद्ध मरोड़ की क्रिया के कारण दो प्रकार के अपरूपण प्रतिबल उत्पन्न होते हैं।

(i) परिधीय प्रतिबल:

• मरोड़ के अनुप्रयोग के कारण, शाफ्ट अनुप्रस्थ काट की एक परत दूसरे के सापेक्ष चलती है। इसलिए परिधीय अपरूपण प्रतिबल उत्पन्न होता है।
• इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\(\frac{T}{J} =\;\frac{τ }{r} = \frac{{G\theta }}{L}\)  

जहाँ, T = मरोड़, J = ध्रुवीय खंड मापांक, τ = परिधीय अपरूपण प्रतिबल, r = शाफ्ट की त्रिज्या, G = शाफ्ट की दृढ़ता का मापांक, θ = घूर्णन का कोण, L = शाफ्ट की लंबाई

(ii) यह महसूस करना भी महत्वपूर्ण है कि अनुप्रस्थ काट समतलों पर कार्य करने वाला अपरूपण प्रतिबल पूरक अपरूपण प्रतिबल के सिद्धांत के बाद अनुदैर्ध्य समतलों में समान परिमाण के अपरूपण प्रतिबल के साथ होते हैं ।

स्पष्टीकरण:

माना ठोस और खोखले शाफ्ट की सामर्थ्य T_S और T_H है

\({{\bf{T}}_{\bf{S}}} = \frac{\pi }{{16}}{{\bf{d}}^3}{τ _{per}}\)

\({{\bf{T}}_{\bf{H}}} = \frac{\pi }{{16}}{{\bf{D}}^3}\left( {1 - {{\bf{k}}^4}} \right){τ _{per}}\)

जहाँ τ_per = स्वीकार्य अपरूपण सामर्थ्य, k = आंतरिक व्यास (din) से बाहरी व्यास (D_o) का अनुपात अर्थात \(\left( \frac{d_{in}}{D_o} \right)\)

जब दोनों शाफ्टों का बाहरी व्यास समान हो, बशर्ते कि RPM, सामग्री और लंबाई समान हो, तो खोखले शाफ्ट की सामर्थ्य का ठोस शाफ्ट की सामर्थ्य से अनुपात इस प्रकार दिया जाता है

\(\frac{{{{\bf{T}}_{\bf{H}}}}}{{{{\bf{T}}_{\bf{S}}}}} = 1 - {{\bf{k}}^4}\)

यहाँ दोनों शाफ्ट का बाहरी व्यास समान है

Do = D, din = \(\frac{{\rm{D}}}{2}\)

∴ k = \(\frac{{\rm{1}}}{2}\)

\(\frac{{{{\bf{T}}_{\bf{H}}}}}{{{{\bf{T}}_{\bf{S}}}}} = 1 - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{{15}}{{16}}\)

\(\frac{{{{\bf{T}}_{\bf{S}}}}}{{{{\bf{T}}_{\bf{H}}}}}\; = \;\frac{{16}}{{15}}\)

Alternate Method 

इस समस्या को \({M \over I} = {σ \over y}\)का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है

जहां सामर्थ्य को M (खंड द्वारा प्रतिरोधित आघूर्ण) के साथ सहसंबंधित किया जा सकता है \(I_{Solid} = {\pi × D^4 \over 64} \ and\ I_{Hollow} = {\pi [D^4 - ({D/2})]^2\over 64}\)

\(Y_{Solid} = D/2\ and\ Y_{Hollow} = D/2\)

उपरोक्त मान को M/I = σ/y में रखने पर

हमें M = (I/Y) × σ मिलता है (यह मानते हुए कि दोनों पर समान प्रतिबल है), हम कह सकते हैं कि सामर्थ्य केवल I/Y पर निर्भर करती है

उपरोक्त समीकरण से I और Y का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

\({{Strength \ of \ Solid} \over {Strength \ of \ hollow\ shaft} } = {I\over Y}\)

\({{{\pi \times D^4\over 64 } \times {D \over 2} } \over {{\pi [D^4 - {(D/2})^2]\over 64 } \times {D \over 2} }} = {1 \over (15/16)} = {16 \over 15}\)

संकल्पना:

मरोड़ सूत्र, \(\frac{T}{J} = \frac{\tau }{r} = \frac{{Gθ }}{L}\)

मोड़ का कोण, \(θ = \frac{{TL}}{{GJ}}\)

मोड़ की दर निम्न द्वारा दी जाती है, \(\frac{θ }{L} = \frac{T}{{GJ}}\)

जहाँ, J = ध्रुवीय  जड़त्व आघूर्ण

G = दृढ़ता का मापांक

θ = रेडियन में मोड़ का कोण

L = शाफ्ट की लंबाई

R = शाफ्ट की त्रिज्या

शाफ्ट का श्रृंखला संयोजन:

एक शाफ्ट से दूसरे शाफ्ट तक बलाघूर्ण  संचारित करने के लिए शाफ्ट का श्रृंखला संयोजन किया जाता है। श्रृंखला के लिए, संयोजन युग्मन का उपयोग किया जाता है। श्रृंखला में सभी शाफ्ट संयोजन में बलाघूर्ण  बराबर होगा।

T1 = T2 = T

A से C तक मोड़ का कुल कोण

θAC = θAB + θBC

\({θ _{AC}} = \frac{{T{L_1}}}{{{G_1}{J_1}}} + \frac{{T{L_2}}}{{{G_2}{J_2}}}\)

हिसाब:

यह श्रृंखला संयोजन का मामला है जिसका अर्थ है कि अगर हमें B पर बलाघूर्ण  Mt लागू करना है तो बिंदु A पर विकसित बलाघूर्ण  भी Mt है।

ΣMt = 0, 

MtA = MtB

तो दिए गए शाफ्ट में, मोड़ (Mt), दृढ़ता का मापांक और ध्रुवीय  जड़त्व आघूर्ण स्थिर है।

तो बिंदु A से B पर मोड़ की दर (θ/L) का अनुपात 1 है।

संकल्पना:

विकृति ऊर्जा: यह उत्पन्न विरुपण के कारण किसी निकाय में संग्रहीत ऊर्जा है।

विभिन्न बलों के कारण विकृति ऊर्जा –  

(1) अक्षीय बल: \(\frac{{{P^2}L}}{{2AE}}\)

(2) बंकन आघूर्ण:\(\frac{{{M^2}L}}{{2EI}}\)

(3) ऐंठन आघूर्ण: \(\frac{{{T^2}L}}{{2GJ}}\)

अब \(U = \frac{{{T^2}L}}{{2GJ}} \ and \ V = \pi r^2l\)

हमारे पास \(\tau = \frac {Tr}{J} \ and \ J = \frac{\pi}{32}d^4\)

U/V लेकर और उपरोक्त समीकरण से T को निकालने पर हमें मिलता है 

बेलनाकार शाफ्ट में प्रति इकाई आयतन मरोड़ विकृति ऊर्जा  = \(\frac{{{\tau ^2}}}{{4G}}\)

टिप्पणी: आयताकार शाफ्ट में प्रति इकाई आयतन मरोड़ विकृति ऊर्जा = \(\frac{{{\tau ^2}}}{{2G}}\)

जहाँ , τ = उत्पन्न अधिकतम अपरुपण प्रतिबल 

G = दृढ़ता मापांक

सही उत्तर है "शाफ्ट की लंबाई और त्रिज्या स्थिर रहती है"

हल:

एक गोलाकार शाफ्ट में मरोड़ी बल के लिए निम्नलिखित धारणाएँ बनाई गई हैं:

1.शाफ्ट का पदार्थ शाफ्ट की पूरी लंबाई में समरूप होता है।

2.शाफ्ट सीधी होती है और इसकी लंबाई पर एक समान गोलाकार अनुप्रस्थ काट होता है।

3.मरोड़ के दौरान त्रिज्यीय रेखाएं त्रिज्यीय रहती हैं।

4.शाफ्ट की लंबाई के अनुदिश मरोड़ स्थिर रहता है।

5. शाफ्ट का अनुप्रस्थ काट समतल रहता है।

स्पष्टीकरण:

ऐंठन के अधीन वृत्ताकार शाफ्ट में अपरुपण प्रतिबलों का वितरण निम्न द्वारा दिया जाता है,,

\(\frac{\tau }{r} = \frac{T}{J} = \frac{{G\theta }}{L}\)

\(\tau = \frac{{Tr}}{J}\)

जहाँ, T = ऐंठन आघूर्ण, r = शाफ्ट की त्रिज्या और J = ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण

यह कहता है कि अपरुपण प्रतिबल शाफ्ट के अक्ष से सीधे दूरी r ’के रूप में परिवर्तित होता है।

अधिकतम अपरुपण प्रतिबल शाफ्ट की बाह्य सतह पर प्राप्त होता है जहाँ r = R

केंद्र पर ठोस शाफ्ट के लिए, प्रतिबल शून्य होता है।

खोखले शाफ्ट में प्रतिबल कभी शून्य नहीं होता है, हालांकि यह शाफ्ट की आंतरिक सतह पर न्यूनतम होता है।

Concept:

From the torsional equation of the shaft

\(\mathop \tau \nolimits_{\max } = \frac{{16T}}{{\pi \mathop D\nolimits^3 }}\)

\(T = \frac{{\mathop \tau \nolimits_{\max } \pi \mathop D\nolimits^3 }}{{16}}\)

Calculation:

Given:

D = 4 cm

\(\mathop \tau \nolimits_{\max } = 20 ~\frac{kN}{cm^2}\)

\(T = \frac{{\mathop \tau \nolimits_{\max } \pi \mathop D\nolimits^3 }}{{16}}\)

\(T =\frac{20 \;\times\; \pi\; \times \;4^3}{16}=80\pi\) kN-cm

संकल्पना:

मरोड़ समीकरण निम्न दिया गया है:

\(\frac{T}{J} = \frac{\tau }{R} = \frac{{G\theta }}{L}\)

जहाँ,

T लागू बलाघूर्ण है, ध्रुवीय जड़त्वाघूर्ण है, τ = पदार्थ की अपरूपण दृढ़ता, G = रुक्षता का मापांक, θ = शाफ़्ट का कोणीय विक्षेपण (रेडियन में)

\(\frac{T}{J} = \frac{\tau }{r}\)

\(T = \frac{\tau J}{r} =\frac{\tau}{r} \times \frac{\pi d^4}{32}=\frac{\pi \tau d^3}{16}\)

गणना:

τ = 48 N/cm2, d = 3 cm

\(T =\frac{\pi \tau d^3}{16}=\frac{\pi \times 48 \times3^3}{16}=81\pi~Ncm\)

Explanation:

शाफ्ट के लिए मरोड़ समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है,

\( \frac{T}{J} = \frac{\tau }{r} = \frac{{G\theta }}{L}\)

प्रति रेडियन मोड़ बलाघूर्ण को मरोड़ कठोरता (k) के रूप में जाना जाता है।

\(k=\frac{T}{\theta}=\frac{GJ}{L}\)

मापदंड GJ शाफ़्ट की मरोड़ दृढ़ता कहलाता है।

मरोड़ दृढ़ता को प्रति इकाई लम्बाई प्रति इकाई कोणीय मोड़ बलाघूर्ण के रूप में भी परिभाषित किया जाता है।

\(GJ=\frac{T}{\theta/L}\)

व्याख्या:

चूँकि अनुप्रस्थ-काट का क्षेत्र समान है,

\(\frac{\pi }{4}\left( {d_1^2 - d_2^2} \right) = \frac{\pi }{4}d_s^2\)

\(\therefore d_1^2 - d_2^2 = d_s^2\)

\(\frac{τ }{r} = \frac{T}{J} = \frac{{G\theta }}{L}\)

\(T=\frac{τJ }{r}\)

अब बलाघूर्ण ∝ ध्रुवीय आघूर्ण

\(\therefore \frac{{{T_h}}}{{{T_s}}} = \frac{{\frac{\pi }{{32}}\left( {d_1^4 - d_2^4} \right)}}{{\frac{\pi }{{32}}\left( {d_s^4} \right)}} = \frac{{d_1^4 - d_2^4}}{{d_s^4}}= \frac{{(d_1^2 - d_2^2)}{(d_1^2 + d_2^2)}}{{d_s^4}}\)

\(\frac{{{T_h}}}{{{T_s}}} = \frac{{d_1^2 + d_2^2}}{{d_s^2}}\)