Arithmetic Progressions MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Arithmetic Progressions - मोफत PDF डाउनलोड करा

समजा \('2n'\) ही श्रेढीतील एकूण पदांची संख्या आहे.

आता, दिलेल्या अटीवरून, आपल्याकडे

\(\displaystyle \frac{n}{2}[2a+(n-1)2d]=24\) - (विषम क्रमांकाच्या पदांसाठी).............(1)

\(\displaystyle \frac{n}{2}[2a+2d +(n-1)2d]=30\) - (सम क्रमांकाच्या पदांसाठी)...........(2)

(1) मधून (2) वजा करू,

\(nd=6\).......................(3)

\(a+(2n-1)d-a=10.5\).............(4)

\(2nd-d=10.5\)

\(d=12-10.5\).........(3 वरून)

\(d=1.5\)

\(\displaystyle n= \frac{6}{1.5}=4\)

एकूण पदांची संख्या \('2n'\) म्हणजे \(8\) आहे.

संकल्पना:

सूत्र वापरून अंकगणित क्रमाच्या पहिल्या n पदांची बेरीज शोधली जाऊ शकते:

S_n = n/2 × (2a + (n - 1)d)

जिथे:

n: पदांची संख्या = 19

a: पहिले पद = 7

d: सामाईक फरक = 7

गणना:

⇒ S19 = 19/2 × (2 × 7 + (19 - 1) × 7)

⇒ S19 = 19/2 × (14 + 18 × 7)

⇒ S19 = 19/2 × 140

⇒ S19 = 1330

∴ 7 च्या पटीत असलेल्या पहिल्या 19 नैसर्गिक संख्यांची बेरीज 1330 आहे.

वापरलेली संकल्पना:

अंकगणित क्रमाची बेरीज (S) सूत्र वापरून काढली जाऊ शकते:

S = n/2 × (a + l)

जिथे:

S ही क्रमाची बेरीज आहे,

n ही पदांची संख्या आहे,

a हे पहिले पद आहे, आणि

l हे शेवटचे पद आहे. 

अंकगणित क्रमातील पदांची संख्या (n) सूत्र वापरून शोधली जाऊ शकते:

n = (अंतिम पद  - पहिले पद)/फरक + 1 

गणना:

दोन-अंकी विषम संख्या 11 ते 99 पर्यंत असतात. त्या विषम असल्याने, प्रत्येक वेळी त्या 2 च्या फरकाने वाढतात, एक अंकगणितीय क्रम तयार करतात.

पदांची संख्या (n):

n = (99 - 11)/2 + 1 = 44 + 1 = 45

अंकगणित क्रमाची बेरीज:

S = 45/2 ×  (11 + 99) = 22.5 ×  110 = 2475

म्हणून, सर्व दोन-अंकी विषम संख्यांची बेरीज 2475 आहे.

∴ पर्याय 2 हे योग्य उत्तर आहे.

संकल्पना:

समजा a1, a2, a3 …. an ही श्रेणी एक गणितीय श्रेढी(AP) आहे

सामाईक फरक “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

गणितीय श्रेढीचे(AP) n वे पद खालील सूत्राने मिळते

Tn = a + (n – 1) d

जिथे,

a = पहिले पद, d = सामाईक फरक, n = पदांची संख्या,

Tn = n वे पद

गणना:

दिलेली श्रेणी अशी आहे

5, 8, 11, 14,....... 320

समजा, मालिकेचे n वे पद 320 आहे

म्हणून,

a = 5, d = 3, Tn = 320

∵ Tn = a + (n – 1) d

320 = 5 + (n - 1) × 3

⇒ 105 = n - 1

⇒ n = 106

Additional Information 
पहिल्या n पदांची बेरीज

S = \(\rm \frac{n}{2}\) [2a + (n − 1) × d]

S = \(\rm \frac{n}{2}\) (a + l)

संकल्पना:

जर a, b, c समांतर श्रेणी (AP) मध्ये असतील तर

a + c = 2b

गणना:

AP च्या तीन पद आहेत

a - d, a, a + d

प्रश्नानुसार,

a - d + a + a + d = 51

⇒ 3a = 51

⇒ a = 17 ----(1)

तसेच, प्रश्नानुसार

(a - d)(a + d) = 273

∵ (x - y)(x + y) = x² - y²

⇒ a² - d² = 273

⇒ 289 - d² = 273 [समीकरण (1) मधून]

⇒ d² = 16

⇒ d = 4

संकल्पना:

जर a, b, c समांतर श्रेणी (AP) मध्ये असतील तर

a + c = 2b

गणना:

AP च्या तीन पद आहेत

a - d, a, a + d

प्रश्नानुसार,

a - d + a + a + d = 51

⇒ 3a = 51

⇒ a = 17 ----(1)

तसेच, प्रश्नानुसार

(a - d)(a + d) = 273

∵ (x - y)(x + y) = x² - y²

⇒ a² - d² = 273

⇒ 289 - d² = 273 [समीकरण (1) मधून]

⇒ d² = 16

⇒ d = 4

वापरलेली संकल्पना:

अंकगणित क्रमाची बेरीज (S) सूत्र वापरून काढली जाऊ शकते:

S = n/2 × (a + l)

जिथे:

S ही क्रमाची बेरीज आहे,

n ही पदांची संख्या आहे,

a हे पहिले पद आहे, आणि

l हे शेवटचे पद आहे. 

अंकगणित क्रमातील पदांची संख्या (n) सूत्र वापरून शोधली जाऊ शकते:

n = (अंतिम पद  - पहिले पद)/फरक + 1 

गणना:

दोन-अंकी विषम संख्या 11 ते 99 पर्यंत असतात. त्या विषम असल्याने, प्रत्येक वेळी त्या 2 च्या फरकाने वाढतात, एक अंकगणितीय क्रम तयार करतात.

पदांची संख्या (n):

n = (99 - 11)/2 + 1 = 44 + 1 = 45

अंकगणित क्रमाची बेरीज:

S = 45/2 ×  (11 + 99) = 22.5 ×  110 = 2475

म्हणून, सर्व दोन-अंकी विषम संख्यांची बेरीज 2475 आहे.

∴ पर्याय 2 हे योग्य उत्तर आहे.

वापरलेले सूत्र:

जर a, b, c हे समांतर श्रेणीमध्ये असतील तर

2b = a + c

गणना:

ते पाहता,

\(\frac{1}{b+c},\ \frac{1}{c+a},\ \frac{1}{a+b}\) समांतर श्रेणीमध्ये आहेत,

⇒ \(\frac{2}{c+a}=\ \frac{1}{b+c}+\ \frac{1}{a+b}\)

⇒ \(\frac{2}{c+a}=\ \frac{b+c + a +b }{(a+b)(b+c)}\)

⇒ 2(a + b)(b + c) = (a + c)(a + 2b + c)

⇒ 2ab + 2ac + 2b² + 2bc = a² + 2ab + 2ac + 2bc + c²

⇒ 2b² = a² + c²

म्हणून, a2, b2, c2 हे समांतर श्रेणीमध्ये आहेत.

संकल्पना:

समजा a1, a2, a3 …. an ही श्रेणी एक गणितीय श्रेढी(AP) आहे

सामाईक फरक “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

गणितीय श्रेढीचे(AP) n वे पद खालील सूत्राने मिळते

Tn = a + (n – 1) d

जिथे,

a = पहिले पद, d = सामाईक फरक, n = पदांची संख्या,

Tn = n वे पद

गणना:

दिलेली श्रेणी अशी आहे

5, 8, 11, 14,....... 320

समजा, मालिकेचे n वे पद 320 आहे

म्हणून,

a = 5, d = 3, Tn = 320

∵ Tn = a + (n – 1) d

320 = 5 + (n - 1) × 3

⇒ 105 = n - 1

⇒ n = 106

Additional Information 
पहिल्या n पदांची बेरीज

S = \(\rm \frac{n}{2}\) [2a + (n − 1) × d]

S = \(\rm \frac{n}{2}\) (a + l)

दिल्याप्रमाणे:

निरीक्षणाची संख्या = 11

चुकीची निरीक्षणे = 45 आणि 34

योग्य निरीक्षणे = 54 आणि 43

वापरलेली संकल्पना:

माध्य = निरीक्षणांची बेरीज/निरीक्षणाची संख्या

मध्यक (विषम पदांसाठी) = [(n + 1)/2] वे पद

मध्यक (सम पदांसाठी) = [(n/2) वे पद + (n/2 +1) वे पद]/2

प्रचरण = \({S^2} = \frac{{\sum {{{({x_i} - \bar x)}^2}} }}{{n - 1}}\) (\({\bar x}\) = माध्य)

गणना:

असे मानुया, सुरुवातीचे माध्य = x

एकूण बेरीज = माध्य × निरीक्षणाची संख्या

⇒ एकूण बेरीज = 11x

⇒ योग्य एकूण = 11x - 45 - 34 + 54 + 43

⇒ योग्य एकूण = 11x + 18

⇒ अचूक माध्य = (11x + 18)/11

⇒ अचूक माध्य = x + 18/11

विधान (i) योग्य आहे, दुरुस्त केलेला माध्य सुरुवातीच्या माध्यपेक्षा मोठा असेल.

मध्यक 36 असल्यास

⇒ [(11 + 1)/2] वे पद 36 आहे

⇒ 6 वे पद 36 आहे

⇒ _ _ _ _ _ 36 _ _ _ _ _ (ते चढत्या क्रमाने आहे)

जर 45 आणि 34 हटवल्यास 

⇒ _ _ _ _ 36 _ _ _ _ 

54 आणि 43 जोडले

⇒ दोन्ही पद 36 च्या उजव्या बाजूला जोडल्या जातील

⇒ _ _ _ _ 36 _ _ _ _ _ _

जर निरीक्षणे वेगळी असल्यास, योग्य मध्यक 36 पेक्षा जास्त असेल किंवा 36 इतके असेल.

विधान (ii) योग्य नाही.

\({S^2} = \frac{{\sum {{{({x_i} - \bar x)}^2}} }}{{n - 1}}\) = प्रचरण

जसे की प्रचरण हे माध्यवर अवलंबून आहे

⇒ प्रचरणमध्ये देखील बदल होईल

विधान (iii) योग्य नाही.

संकल्पना:

जर a, b, c समांतर श्रेणी (AP) मध्ये असतील तर

a + c = 2b

गणना:

AP च्या तीन पद आहेत

a - d, a, a + d

प्रश्नानुसार,

a - d + a + a + d = 51

⇒ 3a = 51

⇒ a = 17 ----(1)

तसेच, प्रश्नानुसार

(a - d)(a + d) = 273

∵ (x - y)(x + y) = x² - y²

⇒ a² - d² = 273

⇒ 289 - d² = 273 [समीकरण (1) मधून]

⇒ d² = 16

⇒ d = 4

वापरलेली संकल्पना:

अंकगणित क्रमाची बेरीज (S) सूत्र वापरून काढली जाऊ शकते:

S = n/2 × (a + l)

जिथे:

S ही क्रमाची बेरीज आहे,

n ही पदांची संख्या आहे,

a हे पहिले पद आहे, आणि

l हे शेवटचे पद आहे. 

अंकगणित क्रमातील पदांची संख्या (n) सूत्र वापरून शोधली जाऊ शकते:

n = (अंतिम पद  - पहिले पद)/फरक + 1 

गणना:

दोन-अंकी विषम संख्या 11 ते 99 पर्यंत असतात. त्या विषम असल्याने, प्रत्येक वेळी त्या 2 च्या फरकाने वाढतात, एक अंकगणितीय क्रम तयार करतात.

पदांची संख्या (n):

n = (99 - 11)/2 + 1 = 44 + 1 = 45

अंकगणित क्रमाची बेरीज:

S = 45/2 ×  (11 + 99) = 22.5 ×  110 = 2475

म्हणून, सर्व दोन-अंकी विषम संख्यांची बेरीज 2475 आहे.

∴ पर्याय 2 हे योग्य उत्तर आहे.

वापरलेले सूत्र:

जर a, b, c हे समांतर श्रेणीमध्ये असतील तर

2b = a + c

गणना:

ते पाहता,

\(\frac{1}{b+c},\ \frac{1}{c+a},\ \frac{1}{a+b}\) समांतर श्रेणीमध्ये आहेत,

⇒ \(\frac{2}{c+a}=\ \frac{1}{b+c}+\ \frac{1}{a+b}\)

⇒ \(\frac{2}{c+a}=\ \frac{b+c + a +b }{(a+b)(b+c)}\)

⇒ 2(a + b)(b + c) = (a + c)(a + 2b + c)

⇒ 2ab + 2ac + 2b² + 2bc = a² + 2ab + 2ac + 2bc + c²

⇒ 2b² = a² + c²

म्हणून, a2, b2, c2 हे समांतर श्रेणीमध्ये आहेत.

संकल्पना:

समजा a1, a2, a3 …. an ही श्रेणी एक गणितीय श्रेढी(AP) आहे

सामाईक फरक “d”= a2 – a1 = a3 – a2 = …. = an – an – 1

गणितीय श्रेढीचे(AP) n वे पद खालील सूत्राने मिळते

Tn = a + (n – 1) d

जिथे,

a = पहिले पद, d = सामाईक फरक, n = पदांची संख्या,

Tn = n वे पद

गणना:

दिलेली श्रेणी अशी आहे

5, 8, 11, 14,....... 320

समजा, मालिकेचे n वे पद 320 आहे

म्हणून,

a = 5, d = 3, Tn = 320

∵ Tn = a + (n – 1) d

320 = 5 + (n - 1) × 3

⇒ 105 = n - 1

⇒ n = 106

Additional Information 
पहिल्या n पदांची बेरीज

S = \(\rm \frac{n}{2}\) [2a + (n − 1) × d]

S = \(\rm \frac{n}{2}\) (a + l)

दिल्याप्रमाणे:

निरीक्षणाची संख्या = 11

चुकीची निरीक्षणे = 45 आणि 34

योग्य निरीक्षणे = 54 आणि 43

वापरलेली संकल्पना:

माध्य = निरीक्षणांची बेरीज/निरीक्षणाची संख्या

मध्यक (विषम पदांसाठी) = [(n + 1)/2] वे पद

मध्यक (सम पदांसाठी) = [(n/2) वे पद + (n/2 +1) वे पद]/2

प्रचरण = \({S^2} = \frac{{\sum {{{({x_i} - \bar x)}^2}} }}{{n - 1}}\) (\({\bar x}\) = माध्य)

गणना:

असे मानुया, सुरुवातीचे माध्य = x

एकूण बेरीज = माध्य × निरीक्षणाची संख्या

⇒ एकूण बेरीज = 11x

⇒ योग्य एकूण = 11x - 45 - 34 + 54 + 43

⇒ योग्य एकूण = 11x + 18

⇒ अचूक माध्य = (11x + 18)/11

⇒ अचूक माध्य = x + 18/11

विधान (i) योग्य आहे, दुरुस्त केलेला माध्य सुरुवातीच्या माध्यपेक्षा मोठा असेल.

मध्यक 36 असल्यास

⇒ [(11 + 1)/2] वे पद 36 आहे

⇒ 6 वे पद 36 आहे

⇒ _ _ _ _ _ 36 _ _ _ _ _ (ते चढत्या क्रमाने आहे)

जर 45 आणि 34 हटवल्यास 

⇒ _ _ _ _ 36 _ _ _ _ 

54 आणि 43 जोडले

⇒ दोन्ही पद 36 च्या उजव्या बाजूला जोडल्या जातील

⇒ _ _ _ _ 36 _ _ _ _ _ _

जर निरीक्षणे वेगळी असल्यास, योग्य मध्यक 36 पेक्षा जास्त असेल किंवा 36 इतके असेल.

विधान (ii) योग्य नाही.

\({S^2} = \frac{{\sum {{{({x_i} - \bar x)}^2}} }}{{n - 1}}\) = प्रचरण

जसे की प्रचरण हे माध्यवर अवलंबून आहे

⇒ प्रचरणमध्ये देखील बदल होईल

विधान (iii) योग्य नाही.