Indefinite Integrals MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Indefinite Integrals - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेले आहे:

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

संकल्पना:

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

\(\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}\)

आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू

\(\rm \int\frac{1}{x}\ dx=log|x|+c\)

गणना:

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

\(\rm =\int\frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx\)

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

\(\rm \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)

आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू

\(\rm 2x+3=A(x^2+x-2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)\)

दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू

\(\rm A+B+C=0\) .........(1)

\(\rm A+2B-C=2\) ...........(2) आणि

\(\rm -2A=3\)

\(\rm \implies A=\frac{-3}{2}\)

समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू

\(\rm 2A+3B=2\)

A चे मूल्य ठेवू

\(\rm 2\times\frac{-3}{2}+3B=2\)

\(\rm \implies B=\frac{5}{3}\)

आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे

\(\rm C=\frac{-1}{6}\)

आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

\(\rm =\int\frac{-3}{2}.\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{5}{3}.\frac{1}{x-1}\ dx+\int\frac{-1}{6}.\frac{1}{x+2}\ dx\)

\(\rm =-\frac{3}{2}log|x|+\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)

\(\rm =\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{3}{2}log|x|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)

म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.

स्पष्टीकरण:

\(I = \displaystyle \int\dfrac{dx}{\cos^3x \sqrt{2\sin 2x}}\)

\(\Rightarrow I = \displaystyle\int\dfrac{\sec^3x}{2\sqrt{\sin x\cos x}}dx\)

\(I\) च्या अंश आणि छेदाला \(\sec x\) ने गुणल्यास, आपल्याकडे

\(I = \displaystyle\int\dfrac{\sec^4x}{2\sqrt{\tan x}}dx\)

आता, \(\tan x = t^2 \Rightarrow \sec^2 x dx = 2tdt\) असे गृहीत धरल्यास, आपल्याकडे

\(I = \displaystyle\int\dfrac{1+t^4}{2t}(2t)\ dt\)

\(\Rightarrow I = \displaystyle \int (1+t^4)\ dt\)

\(\Rightarrow I = t + \dfrac{t^5}{5} + K\)

\( t = \sqrt{\tan x}\) पुन्हा प्रतिस्थापित केल्यास, आपल्याकडे

\(I = \sqrt{\tan x} + \dfrac{1}{5}\cdot\sqrt{\tan x}^5 + K\)

दिलेल्या समीकरणाशी तुलना केल्यास

\(I = \sqrt{\tan x} + \dfrac{1}{5}\cdot\sqrt{\tan x}^5 + K = ({\tan x})^A + C({\tan x})^B + K\)

\(\Rightarrow A = \dfrac{1}{2}, B = \dfrac{5}{2}, C = \dfrac{1}{5}\)

\(A+B+C = \dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{5} = \dfrac{16}{5}\)

दिलेले आहे:

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

संकल्पना:

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

\(\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}\)

आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू

\(\rm \int\frac{1}{x}\ dx=log|x|+c\)

गणना:

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

\(\rm =\int\frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx\)

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

\(\rm \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)

आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू

\(\rm 2x+3=A(x^2+x-2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)\)

दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू

\(\rm A+B+C=0\) .........(1)

\(\rm A+2B-C=2\) ...........(2) आणि

\(\rm -2A=3\)

\(\rm \implies A=\frac{-3}{2}\)

समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू

\(\rm 2A+3B=2\)

A चे मूल्य ठेवू

\(\rm 2\times\frac{-3}{2}+3B=2\)

\(\rm \implies B=\frac{5}{3}\)

आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे

\(\rm C=\frac{-1}{6}\)

आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

\(\rm =\int\frac{-3}{2}.\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{5}{3}.\frac{1}{x-1}\ dx+\int\frac{-1}{6}.\frac{1}{x+2}\ dx\)

\(\rm =-\frac{3}{2}log|x|+\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)

\(\rm =\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{3}{2}log|x|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)

म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.

संकल्पना:

अविभाज्य गुणधर्म:

• ∫ x n dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\) + C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ e x dx = e x + C
• ∫ a x dx = (a x /ln a) + C ; a > 0, a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

भागांद्वारे एकत्रीकरण: भागांद्वारे एकत्रीकरण ही गुणाकारांचे अविभाज्य अवयव शोधण्याची पद्धत आहे. भागांद्वारे समाकलित करण्याचे सूत्र द्वारे दिले जाते:

⇒ \(\rm ∫ u vdx=u ∫ vdx- ∫ \left({du\over dx}\times ∫ vdx\right)dx \) + C

w येथे u हे फंक्शन u(x) आहे आणि v हे फंक्शन v(x) आहे

ILATE नियम हा सहसा, या नियमाचा प्राधान्यक्रम काही फंक्शन्सवर आधारित असतो जसे की व्यस्त, लॉगरिदम, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय आणि घातांक.

गणना:

I = \(\rm \int xlog xdx \)

I = \(\rm \ln x∫ xdx- ∫ \left({d\over dx}(\log x)\times ∫ xdx\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({1\over x}\times{x^2\over2}\right)dx +c\)

I =\(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

संकल्पना:

भागानुसार समाकलन:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

निश्चित समाकलन:

जर ∫ f(x) dx = g(x) + C असेल, तर \(\rm \int_a^b f(x)\ dx = [ g(x)]_a^b\) = g(b) - g(a).

गणना:

समजा I = ∫ (1)(log x) dx.

log x ला पहिला फलन आणि 1 ला दुसरा फलन मानून, आपल्याला मिळते:

= (log x) ∫ 1 dx - ∫ [\(\rm\frac1x\) ∫ 1 dx] dx

= (log x) x - x + C

= x (log x - 1) + C

संकल्पना :

आंशिक अपूर्णांक :

गणना :

येथे आपल्याला \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) चे मूल्य शोधायचे आहे.

चला \(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = 0 लावल्यास A = 1/2 मिळेल

(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = - 2 लावल्याने आपल्याला B = - 1/2 मिळेल

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{ x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

आपल्याला माहित आहे की \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) जेथे C हा स्थिरांक आहे

\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) जेथे C हा स्थिरांक आहे

दिलेले आहे:

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

संकल्पना:

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

\(\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}\)

आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू

\(\rm \int\frac{1}{x}\ dx=log|x|+c\)

गणना:

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

\(\rm =\int\frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx\)

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

\(\rm \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)

आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू

\(\rm 2x+3=A(x^2+x-2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)\)

दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू

\(\rm A+B+C=0\) .........(1)

\(\rm A+2B-C=2\) ...........(2) आणि

\(\rm -2A=3\)

\(\rm \implies A=\frac{-3}{2}\)

समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू

\(\rm 2A+3B=2\)

A चे मूल्य ठेवू

\(\rm 2\times\frac{-3}{2}+3B=2\)

\(\rm \implies B=\frac{5}{3}\)

आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे

\(\rm C=\frac{-1}{6}\)

आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

\(\rm =\int\frac{-3}{2}.\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{5}{3}.\frac{1}{x-1}\ dx+\int\frac{-1}{6}.\frac{1}{x+2}\ dx\)

\(\rm =-\frac{3}{2}log|x|+\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)

\(\rm =\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{3}{2}log|x|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)

म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.

संकल्पना:

भागानुसार समाकलन:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

निश्चित समाकलन:

जर ∫ f(x) dx = g(x) + C असेल, तर \(\rm \int_a^b f(x)\ dx = [ g(x)]_a^b\) = g(b) - g(a).

गणना:

समजा I = ∫ (1)(log x) dx.

log x ला पहिला फलन आणि 1 ला दुसरा फलन मानून, आपल्याला मिळते:

= (log x) ∫ 1 dx - ∫ [\(\rm\frac1x\) ∫ 1 dx] dx

= (log x) x - x + C

= x (log x - 1) + C

संकल्पना:

अविभाज्य गुणधर्म:

• ∫ x n dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\) + C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ e x dx = e x + C
• ∫ a x dx = (a x /ln a) + C ; a > 0, a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

भागांद्वारे एकत्रीकरण: भागांद्वारे एकत्रीकरण ही गुणाकारांचे अविभाज्य अवयव शोधण्याची पद्धत आहे. भागांद्वारे समाकलित करण्याचे सूत्र द्वारे दिले जाते:

⇒ \(\rm ∫ u vdx=u ∫ vdx- ∫ \left({du\over dx}\times ∫ vdx\right)dx \) + C

w येथे u हे फंक्शन u(x) आहे आणि v हे फंक्शन v(x) आहे

ILATE नियम हा सहसा, या नियमाचा प्राधान्यक्रम काही फंक्शन्सवर आधारित असतो जसे की व्यस्त, लॉगरिदम, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय आणि घातांक.

गणना:

I = \(\rm \int xlog xdx \)

I = \(\rm \ln x∫ xdx- ∫ \left({d\over dx}(\log x)\times ∫ xdx\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({1\over x}\times{x^2\over2}\right)dx +c\)

I =\(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

संकल्पना :

आंशिक अपूर्णांक :

गणना :

येथे आपल्याला \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) चे मूल्य शोधायचे आहे.

चला \(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)

⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)

(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = 0 लावल्यास A = 1/2 मिळेल

(1) च्या दोन्ही बाजूंना x = - 2 लावल्याने आपल्याला B = - 1/2 मिळेल

\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)

\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{ x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)

आपल्याला माहित आहे की \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) जेथे C हा स्थिरांक आहे

\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) जेथे C हा स्थिरांक आहे

दिलेले आहे:

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

संकल्पना:

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

\(\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}\)

आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू

\(\rm \int\frac{1}{x}\ dx=log|x|+c\)

गणना:

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

\(\rm =\int\frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx\)

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

\(\rm \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)

आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू

\(\rm 2x+3=A(x^2+x-2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)\)

दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू

\(\rm A+B+C=0\) .........(1)

\(\rm A+2B-C=2\) ...........(2) आणि

\(\rm -2A=3\)

\(\rm \implies A=\frac{-3}{2}\)

समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू

\(\rm 2A+3B=2\)

A चे मूल्य ठेवू

\(\rm 2\times\frac{-3}{2}+3B=2\)

\(\rm \implies B=\frac{5}{3}\)

आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे

\(\rm C=\frac{-1}{6}\)

आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

\(\rm =\int\frac{-3}{2}.\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{5}{3}.\frac{1}{x-1}\ dx+\int\frac{-1}{6}.\frac{1}{x+2}\ dx\)

\(\rm =-\frac{3}{2}log|x|+\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)

\(\rm =\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{3}{2}log|x|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)

म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.

संकल्पना:

भागानुसार समाकलन:

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫ g(x) dx - ∫ [f'(x) ∫ g(x) dx] dx.

निश्चित समाकलन:

जर ∫ f(x) dx = g(x) + C असेल, तर \(\rm \int_a^b f(x)\ dx = [ g(x)]_a^b\) = g(b) - g(a).

गणना:

समजा I = ∫ (1)(log x) dx.

log x ला पहिला फलन आणि 1 ला दुसरा फलन मानून, आपल्याला मिळते:

= (log x) ∫ 1 dx - ∫ [\(\rm\frac1x\) ∫ 1 dx] dx

= (log x) x - x + C

= x (log x - 1) + C

संकल्पना:

अविभाज्य गुणधर्म:

• ∫ x n dx = \(\rm x^{n+1}\over n+1\) + C ; n ≠ -1
• \(\rm∫ {1\over x} dx = \ln x\) + C
• ∫ e x dx = e x + C
• ∫ a x dx = (a x /ln a) + C ; a > 0, a ≠ 1
• ∫ sin x dx = - cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C

भागांद्वारे एकत्रीकरण: भागांद्वारे एकत्रीकरण ही गुणाकारांचे अविभाज्य अवयव शोधण्याची पद्धत आहे. भागांद्वारे समाकलित करण्याचे सूत्र द्वारे दिले जाते:

⇒ \(\rm ∫ u vdx=u ∫ vdx- ∫ \left({du\over dx}\times ∫ vdx\right)dx \) + C

w येथे u हे फंक्शन u(x) आहे आणि v हे फंक्शन v(x) आहे

ILATE नियम हा सहसा, या नियमाचा प्राधान्यक्रम काही फंक्शन्सवर आधारित असतो जसे की व्यस्त, लॉगरिदम, बीजगणितीय, त्रिकोणमितीय आणि घातांक.

गणना:

I = \(\rm \int xlog xdx \)

I = \(\rm \ln x∫ xdx- ∫ \left({d\over dx}(\log x)\times ∫ xdx\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({1\over x}\times{x^2\over2}\right)dx +c\)

I =\(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

I = \(\rm {x^2\over2}\log x- ∫ \left({x\over2}\right)dx +c\)

स्पष्टीकरण:

\(I = \displaystyle \int\dfrac{dx}{\cos^3x \sqrt{2\sin 2x}}\)

\(\Rightarrow I = \displaystyle\int\dfrac{\sec^3x}{2\sqrt{\sin x\cos x}}dx\)

\(I\) च्या अंश आणि छेदाला \(\sec x\) ने गुणल्यास, आपल्याकडे

\(I = \displaystyle\int\dfrac{\sec^4x}{2\sqrt{\tan x}}dx\)

आता, \(\tan x = t^2 \Rightarrow \sec^2 x dx = 2tdt\) असे गृहीत धरल्यास, आपल्याकडे

\(I = \displaystyle\int\dfrac{1+t^4}{2t}(2t)\ dt\)

\(\Rightarrow I = \displaystyle \int (1+t^4)\ dt\)

\(\Rightarrow I = t + \dfrac{t^5}{5} + K\)

\( t = \sqrt{\tan x}\) पुन्हा प्रतिस्थापित केल्यास, आपल्याकडे

\(I = \sqrt{\tan x} + \dfrac{1}{5}\cdot\sqrt{\tan x}^5 + K\)

दिलेल्या समीकरणाशी तुलना केल्यास

\(I = \sqrt{\tan x} + \dfrac{1}{5}\cdot\sqrt{\tan x}^5 + K = ({\tan x})^A + C({\tan x})^B + K\)

\(\Rightarrow A = \dfrac{1}{2}, B = \dfrac{5}{2}, C = \dfrac{1}{5}\)

\(A+B+C = \dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{5} = \dfrac{16}{5}\)

दिलेले आहे:

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

संकल्पना:

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

\(\frac{f(x)}{g(x)\cdot h(x)}=\frac{A}{g(x)}+\frac{B}{h(x)}\)

आणि एकत्रीकरणाचे सूत्र वापरू

\(\rm \int\frac{1}{x}\ dx=log|x|+c\)

गणना:

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

\(\rm =\int\frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}dx\)

आंशिक अपूर्णांक संकल्पना वापरू

\(\rm \frac{2x+3}{x(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x+2}\)

आता, छेदांनी तिरका गुणाकार करू

\(\rm 2x+3=A(x^2+x-2)+B(x^2+2x)+C(x^2-x)\)

दोन्ही बाजूंवरील सहगुणांची तुलना करू

\(\rm A+B+C=0\) .........(1)

\(\rm A+2B-C=2\) ...........(2) आणि

\(\rm -2A=3\)

\(\rm \implies A=\frac{-3}{2}\)

समीकरण (1) आणि (2) बेरीज करू

\(\rm 2A+3B=2\)

A चे मूल्य ठेवू

\(\rm 2\times\frac{-3}{2}+3B=2\)

\(\rm \implies B=\frac{5}{3}\)

आता समीकरण (1) मध्ये A आणि B ची मूल्ये ठेवल्यास, आपल्याकडे

\(\rm C=\frac{-1}{6}\)

आता ही सर्व मूल्ये एकत्रीकरणात ठेवू

\(\rm \int\frac{2x+3}{x^3+x^2-2x}dx\)

\(\rm =\int\frac{-3}{2}.\frac{1}{x}\ dx+\int\frac{5}{3}.\frac{1}{x-1}\ dx+\int\frac{-1}{6}.\frac{1}{x+2}\ dx\)

\(\rm =-\frac{3}{2}log|x|+\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)

\(\rm =\frac{5}{3}log|x-1|-\frac{3}{2}log|x|-\frac{1}{6}log|x+2|+c\)

म्हणून, पर्याय (2) योग्य आहे.