Angle with Planes MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Angle with Planes - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్
Last updated on Mar 19, 2025
Latest Angle with Planes MCQ Objective Questions
Angle with Planes Question 1:
లైన్\(\vec r = \left( {\hat i + 2\hat j - \;\hat k} \right) + \lambda \;\left( {\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right)\) మరియు ప్లేన్\(\vec r \cdot \left( {2\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right) = 6\) మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Angle with Planes Question 1 Detailed Solution
భావన:
θ అనేది రేఖ \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\)మరియు ప్లేన్ \(\vec r \cdot \;\vec n = q\)మధ్య కోణం అయితే దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)
లెక్కింపు:
ఇవ్వబడింది: రేఖ యొక్క సమీకరణం\(\vec r = \left( {\hat i + 2\hat j - \;\hat k} \right) + \lambda \;\left( {\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right)\) మరియు ప్లేన్ యొక్క సమీకరణం\(\vec r \cdot \left( {2\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right) = 6\)
ఇక్కడ, మనం ఇచ్చిన రేఖ మరియు ప్లేన్ మధ్య కోణాన్ని కనుగొనాలి.
మనకు తెలిసినట్లుగా, θ \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\)రేఖ మరియు ప్లేన్\(\vec r \cdot \;\vec n = q\) మధ్య కోణం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)
ఇక్కడ,\(\vec b = \hat i - \;\hat j + \;\hat k\) మరియు \(\vec n = 2\hat i - \;\hat j + \;\hat k\)
⇒,\(\vec b \cdot \;\vec n = 2 + 1 + 1 = 4\)
\(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \;and\;\left| {\vec n} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2}} = \sqrt 6 \)
పైన ఇచ్చిన విలువలను లో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)మనం పొందుతాము
\(\Rightarrow \sin \theta = \frac{4}{{\sqrt 3 \times \sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
\(\Rightarrow \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\)
Top Angle with Planes MCQ Objective Questions
లైన్\(\vec r = \left( {\hat i + 2\hat j - \;\hat k} \right) + \lambda \;\left( {\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right)\) మరియు ప్లేన్\(\vec r \cdot \left( {2\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right) = 6\) మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Angle with Planes Question 2 Detailed Solution
Download Solution PDFభావన:
θ అనేది రేఖ \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\)మరియు ప్లేన్ \(\vec r \cdot \;\vec n = q\)మధ్య కోణం అయితే దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)
లెక్కింపు:
ఇవ్వబడింది: రేఖ యొక్క సమీకరణం\(\vec r = \left( {\hat i + 2\hat j - \;\hat k} \right) + \lambda \;\left( {\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right)\) మరియు ప్లేన్ యొక్క సమీకరణం\(\vec r \cdot \left( {2\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right) = 6\)
ఇక్కడ, మనం ఇచ్చిన రేఖ మరియు ప్లేన్ మధ్య కోణాన్ని కనుగొనాలి.
మనకు తెలిసినట్లుగా, θ \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\)రేఖ మరియు ప్లేన్\(\vec r \cdot \;\vec n = q\) మధ్య కోణం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)
ఇక్కడ,\(\vec b = \hat i - \;\hat j + \;\hat k\) మరియు \(\vec n = 2\hat i - \;\hat j + \;\hat k\)
⇒,\(\vec b \cdot \;\vec n = 2 + 1 + 1 = 4\)
\(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \;and\;\left| {\vec n} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2}} = \sqrt 6 \)
పైన ఇచ్చిన విలువలను లో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)మనం పొందుతాము
\(\Rightarrow \sin \theta = \frac{4}{{\sqrt 3 \times \sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
\(\Rightarrow \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\)
Angle with Planes Question 3:
లైన్\(\vec r = \left( {\hat i + 2\hat j - \;\hat k} \right) + \lambda \;\left( {\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right)\) మరియు ప్లేన్\(\vec r \cdot \left( {2\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right) = 6\) మధ్య కోణాన్ని కనుగొనండి?
Answer (Detailed Solution Below)
Angle with Planes Question 3 Detailed Solution
భావన:
θ అనేది రేఖ \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\)మరియు ప్లేన్ \(\vec r \cdot \;\vec n = q\)మధ్య కోణం అయితే దీని ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)
లెక్కింపు:
ఇవ్వబడింది: రేఖ యొక్క సమీకరణం\(\vec r = \left( {\hat i + 2\hat j - \;\hat k} \right) + \lambda \;\left( {\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right)\) మరియు ప్లేన్ యొక్క సమీకరణం\(\vec r \cdot \left( {2\hat i - \;\hat j + \;\hat k} \right) = 6\)
ఇక్కడ, మనం ఇచ్చిన రేఖ మరియు ప్లేన్ మధ్య కోణాన్ని కనుగొనాలి.
మనకు తెలిసినట్లుగా, θ \(\vec r = \;\vec a + \lambda \;\vec b\)రేఖ మరియు ప్లేన్\(\vec r \cdot \;\vec n = q\) మధ్య కోణం ఇలా ఇవ్వబడుతుంది: \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)
ఇక్కడ,\(\vec b = \hat i - \;\hat j + \;\hat k\) మరియు \(\vec n = 2\hat i - \;\hat j + \;\hat k\)
⇒,\(\vec b \cdot \;\vec n = 2 + 1 + 1 = 4\)
\(\left| {\vec b} \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \;and\;\left| {\vec n} \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \;1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2}} = \sqrt 6 \)
పైన ఇచ్చిన విలువలను లో ప్రత్యామ్నాయం చేయడం ద్వారా, \(\sin \theta = \frac{{\vec b \cdot \;\vec n}}{{\left| {\vec b} \right| \times \left| {\vec n} \right|}}\)మనం పొందుతాము
\(\Rightarrow \sin \theta = \frac{4}{{\sqrt 3 \times \sqrt 6 }} = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\)
\(\Rightarrow \theta = {\sin ^{ - 1}}\left( {\frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right)\)