Damped Simple Harmonic Motion MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Damped Simple Harmonic Motion - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

వివరణ:

న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారం అవరుద్ధ ఆసిలేటర్ కోసం

⇒ − kx − bv = ma

⇒ kx + bv + ma = 0

⇒ kx + b(dx/dt) + m(d²x/dt²) =0

KVL ద్వారా LCR వలయం కోసం

⇒ − IR − L (dI/dt)-q/c = 0

⇒ IR + L (dI/dt) + q/c = 0

⇒ q/c + R(dq/dt) + L(d²q/dt²) = 0

పోల్చడం ద్వారా

R ⇒ b

c ⇒ 1/k

L ⇒ m

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 4: \(L \leftrightarrow m, C \leftrightarrow \frac{1}{k}, R \leftrightarrow b\)

సిద్ధాంతం:

• అవరోధ బలం: అవరోధ బలం F = -αx² గా ఇవ్వబడింది, ఇక్కడ α అనులోమానుపాత స్థిరాంకం మరియు x మూలబిందువు నుండి దూరం.
• చలన సమీకరణం: న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారం, ma = -αx², ఇక్కడ a కణం యొక్క త్వరణం.
• త్వరణం మరియు బల సంబంధం: త్వరణం a అనేది సమయం దృష్ట్యా స్థానభ్రంశం x యొక్క రెండవ అవకలజం: a = d²x/dt².
• శక్తి పద్ధతి ఉపయోగం: మొత్తం యాంత్రిక శక్తి (గతిజ + స్థితిజ) పరిగణించబడుతుంది. ప్రారంభ గతిజ శక్తి K_i అనేది K_i = 1/2 m v₀².
• అవరోధ బలం చేసిన పని: మారుతున్న అవరోధ బలం W చేసిన పని W = ∫₀^x_f F dx = -∫₀^x_f αx² dx.

గణన:

ఎందుకంటే, a = vdv/dx

⇒ \(\rm \int_{V_i}^{V_f} V d v=\int_{X_i}^{X_f} a d x\)

ఇవ్వబడింది:- vi = v0

⇒ Vf = 0

⇒ Xi = 0

⇒ Xf = x

⇒ అవరోధ బలం నుండి, a = -αx2/m

⇒ \(\rm \int_{V_o}^O V d v=-\int_O^X \frac{a x^2}{m} d x\)

⇒ \(\rm -v_0^2/2 = (-α/m) [x^3/3]\)

⇒ \(\rm x = [3mv_0^2/2α]1/3\)

కాబట్టి, ద్రవ్యరాశి 'm' ఏ ఐచ్ఛికంలోనూ ఇవ్వబడలేదు కాబట్టి, అత్యంత సముచితమైన సమాధానం (3) కావచ్చు.

∴ సరైన ఐచ్ఛికం 3

భావన:

→ ఒక ద్రవ్యరాశి స్ప్రింగ్‌కు అనుసంధానించబడి డోలనం చెందడం ప్రారంభించినప్పుడు, ప్రతి డోలనం తర్వాత తరంగం యొక్క వ్యాప్తి ఘాతాంకంగా తగ్గుతుంది మరియు చివరికి కొంత సమయం తర్వాత అది సున్నా అవుతుంది. తగ్గుతున్న వ్యాప్తి కలిగిన ఈ రకమైన తరంగాలను డంపింగ్ వేవ్ అంటారు.

→ డంపింగ్ వేవ్ యొక్క వ్యాప్తికి సాధారణ సమాసం = A = A ₀ exp( \(- \frac{ b}{2m}\) )t [A ₀ = ప్రారంభ వ్యాప్తి, b = డంపింగ్ స్థిరాంకం]

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది:

అ0 = 12 సెం.మీ., m = 1 కి.గ్రా., A = 6 సెం.మీ. t = 2 నిమిషాలు = 120 సెకన్లు.

(మనం A మరియు A 0 లను మార్చబోవడం లేదు ఎందుకంటే మనం నిష్పత్తిని కనుగొనబోతున్నాము)

\(\frac{A}{A_{0}} = e^{-\frac{b\times 120}{2m}}\)

⇒ \(\frac{6}{12} = e^{-120b/2}\)

⇒ - 60b = ln( \(\frac{1}{2}\) ) = - ln2

⇒ b = ln2/60 = 0.693/60 = 0.0231

= 0.01155 ≈ 1.16 × 102 కిలోలు సె-1

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక (1 ).

భావన:

క్షీణించిన డోలనం:

గాలి ఘర్షణ మరియు ఘర్షణ కారణంగా సరళ లోలకం యొక్క చలనం క్షీణించినప్పుడు, డోలకం మరియు దాని చలనం క్షీణిస్తుంది.

→క్షీణించే బలం చుట్టుపక్కల యానకం యొక్క స్వభావంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. బ్లాక్ ద్రవంలో మునిగి ఉంటే, క్షీణత పరిమాణం చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు శక్తి వ్యయం చాలా వేగంగా ఉంటుంది.

→క్షీణించే బలం (F_d) సాధారణంగా బాబ్ వేగంతో అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. F_d = -bv ఇక్కడ b అనేది క్షీణత స్థిరాంకం లేదా క్షయ స్థిరాంకం, ఇది యానకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

→క్షీణించిన డోలకం యొక్క కంపన పరిమితి క్రమంగా కాలంతో తగ్గుతుంది మరియు గణితపరంగా ఇలా వ్యక్తీకరించవచ్చు: A₀e^{\(\frac{-bt}{2m}\)}

ద్రవ్యరాశి(m) = 500 g

క్షయ స్థిరాంకం (b) = 20 g/s

ప్రారంభ కంపన పరిమితి A₀ అనుకుందాం

't' సమయం తర్వాత కంపన పరిమితి (A) = \(\frac{A_0}{2}\)

క్షీణించిన డోలకం యొక్క కంపన పరిమితి ఇలా ఇవ్వబడింది A₀e\(\frac{-bt}{2m}\)

∴ A = A0e\(\frac{-bt}{2m}\)

∴\(\frac{A_0}{2}\)= A0e\(\frac{-20t}{2×500}\)

\(\frac{1}{2}\) = e\(\frac{-t}{50}\)

రెండు వైపులా సహజ సంవర్గమానం తీసుకుంటే

∴ ln(\(\frac{1}{2}\)) = ln(e^{\(\frac{-t}{50}\)})

ln(\(\frac{1}{2} \)) = \(\frac{-t}{50}\) ln(e)

ln(2) = \(\frac{t}{50}\) [ ln(a) = -ln(\(\frac{1}{a}\)) & ln(e) = 1 ]

t = 50x ln(2)

t = 50x 0.693

∴ t = 34.65 s

కాబట్టి, సరైన ఎంపిక (1)

వివరణ:

న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారం అవరుద్ధ ఆసిలేటర్ కోసం

⇒ − kx − bv = ma

⇒ kx + bv + ma = 0

⇒ kx + b(dx/dt) + m(d²x/dt²) =0

KVL ద్వారా LCR వలయం కోసం

⇒ − IR − L (dI/dt)-q/c = 0

⇒ IR + L (dI/dt) + q/c = 0

⇒ q/c + R(dq/dt) + L(d²q/dt²) = 0

పోల్చడం ద్వారా

R ⇒ b

c ⇒ 1/k

L ⇒ m

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 4: \(L \leftrightarrow m, C \leftrightarrow \frac{1}{k}, R \leftrightarrow b\)

సిద్ధాంతం:

• అవరోధ బలం: అవరోధ బలం F = -αx² గా ఇవ్వబడింది, ఇక్కడ α అనులోమానుపాత స్థిరాంకం మరియు x మూలబిందువు నుండి దూరం.
• చలన సమీకరణం: న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారం, ma = -αx², ఇక్కడ a కణం యొక్క త్వరణం.
• త్వరణం మరియు బల సంబంధం: త్వరణం a అనేది సమయం దృష్ట్యా స్థానభ్రంశం x యొక్క రెండవ అవకలజం: a = d²x/dt².
• శక్తి పద్ధతి ఉపయోగం: మొత్తం యాంత్రిక శక్తి (గతిజ + స్థితిజ) పరిగణించబడుతుంది. ప్రారంభ గతిజ శక్తి K_i అనేది K_i = 1/2 m v₀².
• అవరోధ బలం చేసిన పని: మారుతున్న అవరోధ బలం W చేసిన పని W = ∫₀^x_f F dx = -∫₀^x_f αx² dx.

గణన:

ఎందుకంటే, a = vdv/dx

⇒ \(\rm \int_{V_i}^{V_f} V d v=\int_{X_i}^{X_f} a d x\)

ఇవ్వబడింది:- vi = v0

⇒ Vf = 0

⇒ Xi = 0

⇒ Xf = x

⇒ అవరోధ బలం నుండి, a = -αx2/m

⇒ \(\rm \int_{V_o}^O V d v=-\int_O^X \frac{a x^2}{m} d x\)

⇒ \(\rm -v_0^2/2 = (-α/m) [x^3/3]\)

⇒ \(\rm x = [3mv_0^2/2α]1/3\)

కాబట్టి, ద్రవ్యరాశి 'm' ఏ ఐచ్ఛికంలోనూ ఇవ్వబడలేదు కాబట్టి, అత్యంత సముచితమైన సమాధానం (3) కావచ్చు.

∴ సరైన ఐచ్ఛికం 3

వివరణ:

న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారం అవరుద్ధ ఆసిలేటర్ కోసం

⇒ − kx − bv = ma

⇒ kx + bv + ma = 0

⇒ kx + b(dx/dt) + m(d²x/dt²) =0

KVL ద్వారా LCR వలయం కోసం

⇒ − IR − L (dI/dt)-q/c = 0

⇒ IR + L (dI/dt) + q/c = 0

⇒ q/c + R(dq/dt) + L(d²q/dt²) = 0

పోల్చడం ద్వారా

R ⇒ b

c ⇒ 1/k

L ⇒ m

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 4: \(L \leftrightarrow m, C \leftrightarrow \frac{1}{k}, R \leftrightarrow b\)

భావన:

క్షీణించిన డోలనం:

గాలి ఘర్షణ మరియు ఘర్షణ కారణంగా సరళ లోలకం యొక్క చలనం క్షీణించినప్పుడు, డోలకం మరియు దాని చలనం క్షీణిస్తుంది.

→క్షీణించే బలం చుట్టుపక్కల యానకం యొక్క స్వభావంపై ఆధారపడి ఉంటుంది. బ్లాక్ ద్రవంలో మునిగి ఉంటే, క్షీణత పరిమాణం చాలా ఎక్కువగా ఉంటుంది మరియు శక్తి వ్యయం చాలా వేగంగా ఉంటుంది.

→క్షీణించే బలం (F_d) సాధారణంగా బాబ్ వేగంతో అనులోమానుపాతంలో ఉంటుంది. F_d = -bv ఇక్కడ b అనేది క్షీణత స్థిరాంకం లేదా క్షయ స్థిరాంకం, ఇది యానకంపై ఆధారపడి ఉంటుంది.

→క్షీణించిన డోలకం యొక్క కంపన పరిమితి క్రమంగా కాలంతో తగ్గుతుంది మరియు గణితపరంగా ఇలా వ్యక్తీకరించవచ్చు: A₀e^{\(\frac{-bt}{2m}\)}

ద్రవ్యరాశి(m) = 500 g

క్షయ స్థిరాంకం (b) = 20 g/s

ప్రారంభ కంపన పరిమితి A₀ అనుకుందాం

't' సమయం తర్వాత కంపన పరిమితి (A) = \(\frac{A_0}{2}\)

క్షీణించిన డోలకం యొక్క కంపన పరిమితి ఇలా ఇవ్వబడింది A₀e\(\frac{-bt}{2m}\)

∴ A = A0e\(\frac{-bt}{2m}\)

∴\(\frac{A_0}{2}\)= A0e\(\frac{-20t}{2×500}\)

\(\frac{1}{2}\) = e\(\frac{-t}{50}\)

రెండు వైపులా సహజ సంవర్గమానం తీసుకుంటే

∴ ln(\(\frac{1}{2}\)) = ln(e^{\(\frac{-t}{50}\)})

ln(\(\frac{1}{2} \)) = \(\frac{-t}{50}\) ln(e)

ln(2) = \(\frac{t}{50}\) [ ln(a) = -ln(\(\frac{1}{a}\)) & ln(e) = 1 ]

t = 50x ln(2)

t = 50x 0.693

∴ t = 34.65 s

కాబట్టి, సరైన ఎంపిక (1)

సిద్ధాంతం:

• అవరోధ బలం: అవరోధ బలం F = -αx² గా ఇవ్వబడింది, ఇక్కడ α అనులోమానుపాత స్థిరాంకం మరియు x మూలబిందువు నుండి దూరం.
• చలన సమీకరణం: న్యూటన్ రెండవ నియమం ప్రకారం, ma = -αx², ఇక్కడ a కణం యొక్క త్వరణం.
• త్వరణం మరియు బల సంబంధం: త్వరణం a అనేది సమయం దృష్ట్యా స్థానభ్రంశం x యొక్క రెండవ అవకలజం: a = d²x/dt².
• శక్తి పద్ధతి ఉపయోగం: మొత్తం యాంత్రిక శక్తి (గతిజ + స్థితిజ) పరిగణించబడుతుంది. ప్రారంభ గతిజ శక్తి K_i అనేది K_i = 1/2 m v₀².
• అవరోధ బలం చేసిన పని: మారుతున్న అవరోధ బలం W చేసిన పని W = ∫₀^x_f F dx = -∫₀^x_f αx² dx.

గణన:

ఎందుకంటే, a = vdv/dx

⇒ \(\rm \int_{V_i}^{V_f} V d v=\int_{X_i}^{X_f} a d x\)

ఇవ్వబడింది:- vi = v0

⇒ Vf = 0

⇒ Xi = 0

⇒ Xf = x

⇒ అవరోధ బలం నుండి, a = -αx2/m

⇒ \(\rm \int_{V_o}^O V d v=-\int_O^X \frac{a x^2}{m} d x\)

⇒ \(\rm -v_0^2/2 = (-α/m) [x^3/3]\)

⇒ \(\rm x = [3mv_0^2/2α]1/3\)

కాబట్టి, ద్రవ్యరాశి 'm' ఏ ఐచ్ఛికంలోనూ ఇవ్వబడలేదు కాబట్టి, అత్యంత సముచితమైన సమాధానం (3) కావచ్చు.

∴ సరైన ఐచ్ఛికం 3

భావన:

→ ఒక ద్రవ్యరాశి స్ప్రింగ్‌కు అనుసంధానించబడి డోలనం చెందడం ప్రారంభించినప్పుడు, ప్రతి డోలనం తర్వాత తరంగం యొక్క వ్యాప్తి ఘాతాంకంగా తగ్గుతుంది మరియు చివరికి కొంత సమయం తర్వాత అది సున్నా అవుతుంది. తగ్గుతున్న వ్యాప్తి కలిగిన ఈ రకమైన తరంగాలను డంపింగ్ వేవ్ అంటారు.

→ డంపింగ్ వేవ్ యొక్క వ్యాప్తికి సాధారణ సమాసం = A = A ₀ exp( \(- \frac{ b}{2m}\) )t [A ₀ = ప్రారంభ వ్యాప్తి, b = డంపింగ్ స్థిరాంకం]

లెక్కింపు:

ఇవ్వబడింది:

అ0 = 12 సెం.మీ., m = 1 కి.గ్రా., A = 6 సెం.మీ. t = 2 నిమిషాలు = 120 సెకన్లు.

(మనం A మరియు A 0 లను మార్చబోవడం లేదు ఎందుకంటే మనం నిష్పత్తిని కనుగొనబోతున్నాము)

\(\frac{A}{A_{0}} = e^{-\frac{b\times 120}{2m}}\)

⇒ \(\frac{6}{12} = e^{-120b/2}\)

⇒ - 60b = ln( \(\frac{1}{2}\) ) = - ln2

⇒ b = ln2/60 = 0.693/60 = 0.0231

= 0.01155 ≈ 1.16 × 102 కిలోలు సె-1

కాబట్టి, సరైన సమాధానం ఎంపిక (1 ).