एक बच्चा अपनी दो भुजाओं को फैलाकर 40 rpm की कोणीय गति से घूमते हुए मेज के केंद्र में खड़ा होता है। बच्चे की कोणीय गति क्या होगी यदि वह अपना हाथ पीछे की ओर मोड़ता है और इस तरह जड़त्व आघूर्ण को प्रारंभिक मान से 2/3 गुना कम कर देता है? साथ ही घूर्णन की नई गतिज ऊर्जा का घूर्णन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से अनुपात ज्ञात कीजिए। (कहीं भी घर्षण नहीं है)

विकल्प (1)

अवधारणा:

• घूर्णी ऊर्जा को कोणीय गतिज ऊर्जा के रूप में भी जाना जाता है जो किसी पिंड के घूमने के लिए जिम्मेदार होती है
  • घूर्णन पिंड की घूर्णन गतिज ऊर्जा को पिंड के कोणीय वेग और घूर्णन अक्ष के अनुरूप जड़त्व आघूर्ण के गुणनफल के आधे के रूप में लिखा जा सकता है।
  • किसी निकाय के कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम तब तक संरक्षित रहता है जब तक कि निकाय पर कोई कुल बाह्य बलाघूर्ण कार्यरत न हो।

I₁ ω₁ = I₂ω₂

I₁ प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण, ω₁ प्रारंभिक कोणीय वेग है, I2 अंतिम जड़त्व आघूर्ण और  ω₂ अंतिम कोणीय वेग है

गणना

दिया गया है:

ω₁ = 40 rpm; I₂ = (2/3)I1

कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत से

I1 ω1= I2ω2 

I₁ × 40 = (2/3) × I₁ ω₂ 

अत: ω₂ = 60 rpm 

घूर्णन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा (KE₁): 

KE₁ = \(\frac{1}{2}I_1ω_1^2 = \frac{1}{2}I_1(40^2)=800I_1\)

घूर्णन की नई गतिज ऊर्जा (KE₂):

KE₂ = \(\frac{1}{2}I_2ω_2^2=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}I_1×(60)^2=1200I_1\)

\(\frac{New\; K.E.}{Initial\; K.E.}= \frac{1200I_1}{800I_1}= 1.5\)
 

• इस प्रकार बच्चे की घूर्णन की नई गतिज ऊर्जा उसकी घूर्णन की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा की 1.5 गुना है। गतिज ऊर्जा में यह वृद्धि बच्चे की आंतरिक ऊर्जा के कारण होती है जिसका उपयोग वह अपने हाथों को बाहर की ओर से पीछे की ओर मोड़ने में करता है।

Additional Information

• घूर्णी गति, एक पिंड को घूर्णी गति कहा जाता है यदि उसके सभी कण समानांतर तलों में वृत्तों के साथ गति करते हैं।
• इन वृत्तों के केंद्र समांतर तलों के लंबवत एक निश्चित रेखा पर स्थित होते हैं और इस रेखा को घूर्णन-अक्ष कहा जाता है।