Integration using Partial Fractions MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Integration using Partial Fractions - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]
Last updated on Mar 20, 2025
Latest Integration using Partial Fractions MCQ Objective Questions
Integration using Partial Fractions Question 1:
যদি \(\rm \int\frac{dx}{(x+1)(x-2)(x-3)}=\frac{1}{k}\log_e\left\{\frac{|x-3|^3|x+1|}{(x-2)^4}\right\}+c\) হয়, তবে k-এর মান হবে
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 1 Detailed Solution
Integration using Partial Fractions Question 2:
মূল্যায়ন করুন: \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 2 Detailed Solution
ধারণা :
আংশিক ভগ্নাংশ :
|
হর এর মধ্যে উৎপাদক |
সংশ্লিষ্ট আংশিক ভগ্নাংশ |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b) 2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c) 3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x 2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax 2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
গণনা :
এখানে আমাদের \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) এর মান খুঁজে বের করতে হবে
মনেকরি, \(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)
(1) এর উভয় পাশে x = 0 বসিয়ে আমরা পাই A = 1/2
(1) এর উভয় পাশে x = - 2 বসিয়ে আমরা পাই B = - 1/2
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
আমরা জানি যে \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) যেখানে C একটি ধ্রুবক।
\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক
Integration using Partial Fractions Question 3:
মান নির্ণয় করুন: \(\smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 3 Detailed Solution
ধারণা:
অংশায়িত ভগ্নাংশ:
|
হরের গুণনীয়ক |
সংশ্লিষ্ট অংশায়িত ভগ্নাংশ |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b)2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x – b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c)3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
গণনা:
এখানে আমাদের \(\smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}\)-এর মান নির্ণয় করতে হবে
ধরি ex = t এবং x-এর সাপেক্ষে ex = t-এর অন্তরকলন নিয়ে পাই
⇒ ex dx = dt বা dx = dt/ex = dt/t
\(⇒ \smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}} = \;\smallint \frac{{dt}}{{t\left( {t - 1} \right)}}\)
ধরি \(\frac{1}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{A}{t} + \frac{B}{{t - 1}}\)
⇒ 1 = A (t - 1) + B t ---------(1)
(1)-এর উভয়পক্ষে t = 0 বসিয়ে আমরা পাই A = - 1
(1)-এর উভয়পক্ষে t = 1 বসিয়ে আমরা পাই B = 1
\(\Rightarrow \frac{1}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{t} + \frac{1}{{t - 1}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dt}}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \; - \;\smallint \frac{{dt}}{t} + \;\smallint \frac{{dt}}{{t - 1}}\)
যেহেতু আমরা জানি \(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dt}}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \; - \log \left| t \right| + \log \left| {t - 1} \right| + C\)
\(= \log \left| {\frac{{t - 1}}{t}} \right| + C\)
উপরের সমীকরণে ex = t বসিয়ে পাই
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}} = \log \left| {\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x}}}} \right| + C\)
Integration using Partial Fractions Question 4:
মূল্যায়ন করুন: \(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 4 Detailed Solution
ধারণা :
আংশিক ভগ্নাংশ :
|
হরের উৎপাদক |
সংশ্লিষ্ট আংশিক ভগ্নাংশ |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b)2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c)3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(ax2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
গণনা :
এখানে আমাদের \(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx\) এর মান নির্ণয় করতে হবে
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ইন্টিগ্র্যান্ডের হর হল: \(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\)
আমরা জানি যে, যদি হর-এর উৎপাদকটি (x - a) (x - b) হয় তবে সংশ্লিষ্ট আংশিক ভগ্নাংশটি হয়: \(⇒ \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}} = \frac{A}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - 2} \right)}}\;\)
\(⇒ \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x \cdot \left( {A + B} \right) + \left( {B - 2A} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\(\Rightarrow \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{3\;\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{3\left( {x - 2} \right)}}\)
⇒ A + B = 1 এবং B - 2A = - 1
⇒ A = 2/3 এবং B = 1/3
\(\Rightarrow \smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx = \;\smallint \left[ {\frac{2}{{3\;\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{3\left( {x - 2} \right)}}} \right]dx\)
\(\Rightarrow \smallint \left[ {\frac{2}{{3\;\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{3\left( {x - 2} \right)}}} \right]dx = \frac{2}{3}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 1}} + \frac{1}{3}\;\smallint \frac{{dx}}{{x - 2}}\)
\(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx = \frac{2}{3}\log \left| {x + 1} \right| + \frac{1}{3}\log \left| {x - 2} \right| + C\)
আমরা জানি যে \(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক।
\(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx = \frac{2} {3}\log \left| {x + 1} \right| + \frac{1}{3}\log \left| {x - 2} \right| + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক
Top Integration using Partial Fractions MCQ Objective Questions
মূল্যায়ন করুন: \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 5 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা :
আংশিক ভগ্নাংশ :
|
হর এর মধ্যে উৎপাদক |
সংশ্লিষ্ট আংশিক ভগ্নাংশ |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b) 2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c) 3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x 2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax 2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
গণনা :
এখানে আমাদের \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) এর মান খুঁজে বের করতে হবে
মনেকরি, \(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)
(1) এর উভয় পাশে x = 0 বসিয়ে আমরা পাই A = 1/2
(1) এর উভয় পাশে x = - 2 বসিয়ে আমরা পাই B = - 1/2
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
আমরা জানি যে \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) যেখানে C একটি ধ্রুবক।
\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক
মান নির্ণয় করুন: \(\smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 6 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা:
অংশায়িত ভগ্নাংশ:
|
হরের গুণনীয়ক |
সংশ্লিষ্ট অংশায়িত ভগ্নাংশ |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b)2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x – b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c)3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
গণনা:
এখানে আমাদের \(\smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}\)-এর মান নির্ণয় করতে হবে
ধরি ex = t এবং x-এর সাপেক্ষে ex = t-এর অন্তরকলন নিয়ে পাই
⇒ ex dx = dt বা dx = dt/ex = dt/t
\(⇒ \smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}} = \;\smallint \frac{{dt}}{{t\left( {t - 1} \right)}}\)
ধরি \(\frac{1}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{A}{t} + \frac{B}{{t - 1}}\)
⇒ 1 = A (t - 1) + B t ---------(1)
(1)-এর উভয়পক্ষে t = 0 বসিয়ে আমরা পাই A = - 1
(1)-এর উভয়পক্ষে t = 1 বসিয়ে আমরা পাই B = 1
\(\Rightarrow \frac{1}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{t} + \frac{1}{{t - 1}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dt}}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \; - \;\smallint \frac{{dt}}{t} + \;\smallint \frac{{dt}}{{t - 1}}\)
যেহেতু আমরা জানি \(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dt}}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \; - \log \left| t \right| + \log \left| {t - 1} \right| + C\)
\(= \log \left| {\frac{{t - 1}}{t}} \right| + C\)
উপরের সমীকরণে ex = t বসিয়ে পাই
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}} = \log \left| {\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x}}}} \right| + C\)
মূল্যায়ন করুন: \(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 7 Detailed Solution
Download Solution PDFধারণা :
আংশিক ভগ্নাংশ :
|
হরের উৎপাদক |
সংশ্লিষ্ট আংশিক ভগ্নাংশ |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b)2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c)3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(ax2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
গণনা :
এখানে আমাদের \(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx\) এর মান নির্ণয় করতে হবে
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ইন্টিগ্র্যান্ডের হর হল: \(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\)
আমরা জানি যে, যদি হর-এর উৎপাদকটি (x - a) (x - b) হয় তবে সংশ্লিষ্ট আংশিক ভগ্নাংশটি হয়: \(⇒ \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}} = \frac{A}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - 2} \right)}}\;\)
\(⇒ \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x \cdot \left( {A + B} \right) + \left( {B - 2A} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\(\Rightarrow \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{3\;\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{3\left( {x - 2} \right)}}\)
⇒ A + B = 1 এবং B - 2A = - 1
⇒ A = 2/3 এবং B = 1/3
\(\Rightarrow \smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx = \;\smallint \left[ {\frac{2}{{3\;\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{3\left( {x - 2} \right)}}} \right]dx\)
\(\Rightarrow \smallint \left[ {\frac{2}{{3\;\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{3\left( {x - 2} \right)}}} \right]dx = \frac{2}{3}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 1}} + \frac{1}{3}\;\smallint \frac{{dx}}{{x - 2}}\)
\(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx = \frac{2}{3}\log \left| {x + 1} \right| + \frac{1}{3}\log \left| {x - 2} \right| + C\)
আমরা জানি যে \(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক।
\(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx = \frac{2} {3}\log \left| {x + 1} \right| + \frac{1}{3}\log \left| {x - 2} \right| + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক
Integration using Partial Fractions Question 8:
মূল্যায়ন করুন: \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 8 Detailed Solution
ধারণা :
আংশিক ভগ্নাংশ :
|
হর এর মধ্যে উৎপাদক |
সংশ্লিষ্ট আংশিক ভগ্নাংশ |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b) 2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c) 3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x 2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax 2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
গণনা :
এখানে আমাদের \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) এর মান খুঁজে বের করতে হবে
মনেকরি, \(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)
(1) এর উভয় পাশে x = 0 বসিয়ে আমরা পাই A = 1/2
(1) এর উভয় পাশে x = - 2 বসিয়ে আমরা পাই B = - 1/2
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
আমরা জানি যে \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) যেখানে C একটি ধ্রুবক।
\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক
Integration using Partial Fractions Question 9:
মান নির্ণয় করুন: \(\smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 9 Detailed Solution
ধারণা:
অংশায়িত ভগ্নাংশ:
|
হরের গুণনীয়ক |
সংশ্লিষ্ট অংশায়িত ভগ্নাংশ |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b)2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x – b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c)3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
গণনা:
এখানে আমাদের \(\smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}\)-এর মান নির্ণয় করতে হবে
ধরি ex = t এবং x-এর সাপেক্ষে ex = t-এর অন্তরকলন নিয়ে পাই
⇒ ex dx = dt বা dx = dt/ex = dt/t
\(⇒ \smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}} = \;\smallint \frac{{dt}}{{t\left( {t - 1} \right)}}\)
ধরি \(\frac{1}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{A}{t} + \frac{B}{{t - 1}}\)
⇒ 1 = A (t - 1) + B t ---------(1)
(1)-এর উভয়পক্ষে t = 0 বসিয়ে আমরা পাই A = - 1
(1)-এর উভয়পক্ষে t = 1 বসিয়ে আমরা পাই B = 1
\(\Rightarrow \frac{1}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \frac{{ - 1}}{t} + \frac{1}{{t - 1}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dt}}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \; - \;\smallint \frac{{dt}}{t} + \;\smallint \frac{{dt}}{{t - 1}}\)
যেহেতু আমরা জানি \(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dt}}{{t\left( {t - 1} \right)}} = \; - \log \left| t \right| + \log \left| {t - 1} \right| + C\)
\(= \log \left| {\frac{{t - 1}}{t}} \right| + C\)
উপরের সমীকরণে ex = t বসিয়ে পাই
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{{e^x} - 1}} = \log \left| {\frac{{{e^x} - 1}}{{{e^x}}}} \right| + C\)
Integration using Partial Fractions Question 10:
মূল্যায়ন করুন: \(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 10 Detailed Solution
ধারণা :
আংশিক ভগ্নাংশ :
|
হরের উৎপাদক |
সংশ্লিষ্ট আংশিক ভগ্নাংশ |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b)2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c)3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(ax2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
গণনা :
এখানে আমাদের \(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx\) এর মান নির্ণয় করতে হবে
আমরা দেখতে পাচ্ছি যে প্রদত্ত ইন্টিগ্র্যান্ডের হর হল: \(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\)
আমরা জানি যে, যদি হর-এর উৎপাদকটি (x - a) (x - b) হয় তবে সংশ্লিষ্ট আংশিক ভগ্নাংশটি হয়: \(⇒ \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}} = \frac{A}{{\left( {x + 1} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - 2} \right)}}\;\)
\(⇒ \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{x \cdot \left( {A + B} \right) + \left( {B - 2A} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)
\(\Rightarrow \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}} = \frac{2}{{3\;\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{3\left( {x - 2} \right)}}\)
⇒ A + B = 1 এবং B - 2A = - 1
⇒ A = 2/3 এবং B = 1/3
\(\Rightarrow \smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx = \;\smallint \left[ {\frac{2}{{3\;\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{3\left( {x - 2} \right)}}} \right]dx\)
\(\Rightarrow \smallint \left[ {\frac{2}{{3\;\left( {x + 1} \right)}} + \frac{1}{{3\left( {x - 2} \right)}}} \right]dx = \frac{2}{3}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 1}} + \frac{1}{3}\;\smallint \frac{{dx}}{{x - 2}}\)
\(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx = \frac{2}{3}\log \left| {x + 1} \right| + \frac{1}{3}\log \left| {x - 2} \right| + C\)
আমরা জানি যে \(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক।
\(\smallint \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\;\left( {x - 2} \right)}}\;dx = \frac{2} {3}\log \left| {x + 1} \right| + \frac{1}{3}\log \left| {x - 2} \right| + C\) যেখানে C একটি ধ্রুবক
Integration using Partial Fractions Question 11:
যদি \(\rm \int\frac{dx}{(x+1)(x-2)(x-3)}=\frac{1}{k}\log_e\left\{\frac{|x-3|^3|x+1|}{(x-2)^4}\right\}+c\) হয়, তবে k-এর মান হবে