Integration using Partial Fractions MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Integration using Partial Fractions - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్
Last updated on Apr 28, 2025
Latest Integration using Partial Fractions MCQ Objective Questions
Integration using Partial Fractions Question 1:
∫x3 sin 3x dx = f(x) cos 3x + g(x) sin 3x + c అయితే, 27(f(x) + xg(x)) =
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 1 Detailed Solution
Integration using Partial Fractions Question 2:
\(\rm\frac{x^2+1}{x^3+3x^2+3x+2}\) అనే భాగహార విభజన \(\rm \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x^2+x+1}+ \frac{C}{(x+2)(x^2+x+1)}\) అయితే, A - B + C = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 2 Detailed Solution
సిద్ధాంతం:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
గణన:
ఇచ్చిన \(\rm\frac{x^2+1}{x^3+3x^2+3x+2}\)
= \(\rm\frac{x^2+1}{(x+1)^3 + 1}\)
= \(\rm\frac{x^2+1}{\left((x+1) + 1\right)\left((x+1)^2-(x+1)+1\right)}\)
= \(\rm\frac{x^2+1}{\left(x+2\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
⇒ \(\rm\frac{x^2+1}{\left(x+2\right)\left(x^2+x+1\right)}\) = \(\rm \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x^2+x+1}+ \frac{C}{(x+2)(x^2+x+1)}\)
⇒ x2 + 1 = A(x2 + x + 1) + B(x + 2) + C
x = - 2 అని ప్రతిక్షేపించండి
⇒ 5 = 3A + C ...(1)
x2 గుణకాలను పోల్చడం ద్వారా,
A = 1 ...(2)
సమీకరణం (1) నుండి, C = 2
x గుణకాలను పోల్చడం ద్వారా,
0 = A + B
∴ B = - 1
ఇప్పుడు, A - B + C = 1 - (-1 ) +2
∴ A - B + C = 4
సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.
Integration using Partial Fractions Question 3:
మూల్యాంకనం చేయండి: \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 3 Detailed Solution
భావన :
పాక్షిక భిన్నం :
|
హారంలోని కారణా౦కాలు |
సంబంధిత పాక్షిక భిన్నం |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b) 2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c) 3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x 2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
గణన :
ఇక్కడ మనం \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) విలువను కనుగొనాలి
\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)
(1)కి రెండు వైపులా x = 0 పెట్టడం ద్వారా మనకు A = 1/2 వస్తుంది
(1)కి రెండు వైపులా x = - 2 పెట్టడం ద్వారా మనకు B = - 1/2 వస్తుంది
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)
మనకు తెలిసినట్లుగా \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) ఇక్కడ C స్థిరాంకం
\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) ఇక్కడ C అనేది స్థిరాంకం
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)
Top Integration using Partial Fractions MCQ Objective Questions
మూల్యాంకనం చేయండి: \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 4 Detailed Solution
Download Solution PDFభావన :
పాక్షిక భిన్నం :
|
హారంలోని కారణా౦కాలు |
సంబంధిత పాక్షిక భిన్నం |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b) 2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c) 3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x 2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
గణన :
ఇక్కడ మనం \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) విలువను కనుగొనాలి
\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)
(1)కి రెండు వైపులా x = 0 పెట్టడం ద్వారా మనకు A = 1/2 వస్తుంది
(1)కి రెండు వైపులా x = - 2 పెట్టడం ద్వారా మనకు B = - 1/2 వస్తుంది
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)
మనకు తెలిసినట్లుగా \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) ఇక్కడ C స్థిరాంకం
\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) ఇక్కడ C అనేది స్థిరాంకం
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)
Integration using Partial Fractions Question 5:
మూల్యాంకనం చేయండి: \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\)
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 5 Detailed Solution
భావన :
పాక్షిక భిన్నం :
|
హారంలోని కారణా౦కాలు |
సంబంధిత పాక్షిక భిన్నం |
|
(x - a) |
\(\frac{A}{{x - a}}\) |
|
(x – b) 2 |
\(\frac{A}{{x - b}} + \frac{B}{{{{\left( {x - b} \right)}^2}}}\) |
|
(x - a) (x - b) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{B}{{\left( {x - b} \right)}}\) |
|
(x – c) 3 |
\(\frac{A}{{x - c}} + \frac{B}{{{{\left( {x - c} \right)}^2}}} + \frac{C}{{{{\left( {x - c} \right)}^3}}}\) |
|
(x – a) (x 2 – a) |
\(\frac{A}{{\left( {x - a} \right)}} + \frac{{Bx + C}}{{\left( {{x^2} - a} \right)}}\) |
|
(ax2 + bx + c) |
\(\frac{{Ax + B}}{{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)}}\) |
గణన :
ఇక్కడ మనం \(\smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}}\) విలువను కనుగొనాలి
\(\frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{A}{x} + \frac{B}{{x + 2}}\)
⇒ 1 = A (x + 2) + B x --------(1)
(1)కి రెండు వైపులా x = 0 పెట్టడం ద్వారా మనకు A = 1/2 వస్తుంది
(1)కి రెండు వైపులా x = - 2 పెట్టడం ద్వారా మనకు B = - 1/2 వస్తుంది
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)
మనకు తెలిసినట్లుగా \(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\) ఇక్కడ C స్థిరాంకం
\(\smallint \frac{{dx}}{x} = \log \left| x \right|\; + C\) ఇక్కడ C అనేది స్థిరాంకం
\(\Rightarrow \frac{1}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2x} - \frac{1}{{2x + 4}}\)
\(\Rightarrow \smallint \frac{{dx}}{{x\;\left( {x + 2} \right)}} = \frac{1}{2}\smallint \frac{{dx}}{x} - \frac{1}{2}\;\smallint \frac{{dx}}{{x + 2}}\;\)
Integration using Partial Fractions Question 6:
∫x3 sin 3x dx = f(x) cos 3x + g(x) sin 3x + c అయితే, 27(f(x) + xg(x)) =
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 6 Detailed Solution
Integration using Partial Fractions Question 7:
\(\rm\frac{x^2+1}{x^3+3x^2+3x+2}\) అనే భాగహార విభజన \(\rm \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x^2+x+1}+ \frac{C}{(x+2)(x^2+x+1)}\) అయితే, A - B + C = ?
Answer (Detailed Solution Below)
Integration using Partial Fractions Question 7 Detailed Solution
సిద్ధాంతం:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3a2b + 3ab2
a3 + b3 = (a + b) (a2 - ab + b2)
గణన:
ఇచ్చిన \(\rm\frac{x^2+1}{x^3+3x^2+3x+2}\)
= \(\rm\frac{x^2+1}{(x+1)^3 + 1}\)
= \(\rm\frac{x^2+1}{\left((x+1) + 1\right)\left((x+1)^2-(x+1)+1\right)}\)
= \(\rm\frac{x^2+1}{\left(x+2\right)\left(x^2+x+1\right)}\)
⇒ \(\rm\frac{x^2+1}{\left(x+2\right)\left(x^2+x+1\right)}\) = \(\rm \frac{A}{x+2}+\frac{B}{x^2+x+1}+ \frac{C}{(x+2)(x^2+x+1)}\)
⇒ x2 + 1 = A(x2 + x + 1) + B(x + 2) + C
x = - 2 అని ప్రతిక్షేపించండి
⇒ 5 = 3A + C ...(1)
x2 గుణకాలను పోల్చడం ద్వారా,
A = 1 ...(2)
సమీకరణం (1) నుండి, C = 2
x గుణకాలను పోల్చడం ద్వారా,
0 = A + B
∴ B = - 1
ఇప్పుడు, A - B + C = 1 - (-1 ) +2
∴ A - B + C = 4
సరైన సమాధానం 4వ ఎంపిక.