De Moivre's Theorem MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for De Moivre's Theorem - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

मुख्य संप्रत्यय ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं को सरल करना है। हम सम्मिश्र संख्या के कोणांक और डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं, जो कहता है:

(r(cosθ + i sinθ))ⁿ = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ))

गणना:

⇒ \(\left( \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i} \right)^3 \)

अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करें

⇒ \(\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} - i} \times \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{3} + i} \)

⇒ \(\frac{(\sqrt{3} + i)^2}{(\sqrt{3} - i)(\sqrt{3} + i)} \)

\(\frac{2 + 2\sqrt{3}i}{4} = \frac{1 + \sqrt{3}i}{2} \)

ध्रुवीय रूप में परिवर्तित करें। मापांक r है:

\(r = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 \)

कोणांक θ है:

\(\theta = \tan^{-1}\left( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} \right) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \)

इसलिए, सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप है

\(1 \left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right) \)

सम्मिश्र संख्या का घन करने के लिए, हम डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करते हैं

हमारे मामले में, r = 0 इसलिए,

\(\left( \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} \right)^3 = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1 \)

इस प्रकार, सम्मिश्र  संख्या के घन का परिणाम \(\boxed{-1} \) है। 

इसलिए, सही उत्तर विकल्प 1 है।

गणना

\(\frac{1-i}{1+i} = \frac{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{1 - 2i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1 - 2i - 1}{1 - (-1)} = \frac{-2i}{2} = -i\)

\((-i)^k = -i\)

\(-i = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\)

डी मोइवर के प्रमेय का उपयोग करने पर:

\((-i)^k = \cos\left(\frac{3k\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{3k\pi}{2}\right)\)

-i से तुलना करने पर, हमें यह प्राप्त होता है:

\(\cos\left(\frac{3k\pi}{2}\right) = 0\) and \(\sin\left(\frac{3k\pi}{2}\right) = -1\)

इसका तात्पर्य है:

\(\frac{3k\pi}{2} = (2n+1)\pi - \frac{\pi}{2}\)

⇒ \(\frac{3k}{2} = 2n + 1 - \frac{1}{2}\)

⇒ \(\frac{3k}{2} = \frac{4n+1}{2}\)

⇒ \(3k = 4n + 1\)

⇒ \(k = \frac{4n+1}{3}\)

k के न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान के लिए, मान लीजिए, n = 0:

\(k = \frac{1}{3}\)

मान लीजिए,  n = 1:

\(k = \frac{5}{3}\)

मान लीजिए, n = 2:

\(k = \frac{9}{3} = 3\)

अतः, m = 3.

k के सबसे बड़े ऋणात्मक पूर्णांक मान के लिए, हम ऋणात्मक n के लिए k के मानों का विश्लेषण कर सकते हैं।

n = -1 के लिए:

\(k = \frac{-3}{3} = -1\)

इसलिए, n = -1 

\(m - n = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4\)

प्रयुक्त सूत्र:

1. ऑयलर का सूत्र: \(e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\)

2. डी मोइवर का प्रमेय: \((\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta\)

3. \(\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)\) और \(\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)\)

गणना:

\(\frac{(\cos a + i \sin a)^6}{(\sin b + i \cos b)^8} = \frac{(e^{ia})^6}{(\cos(\frac{\pi}{2}-b) + i \sin(\frac{\pi}{2}-b))^8}\)

⇒ \(= \frac{e^{i6a}}{(e^{i(\frac{\pi}{2}-b)})^8}\)

⇒ \(= \frac{e^{i6a}}{e^{i(4\pi - 8b)}}\)

⇒ \(= e^{i(6a - 4\pi + 8b)}\)

⇒ \(= e^{i(6a + 8b)}\) (चूँकि \(e^{i(-4\pi)} = \cos(-4\pi) + i\sin(-4\pi) = 1\))

⇒ \(= \cos(6a + 8b) + i \sin(6a + 8b)\)

⇒ वास्तविक भाग = \(\cos(6a + 8b)\)

∴ दिए गए व्यंजक का वास्तविक भाग \(\cos(6a + 8b)\) है।

अतः विकल्प 4 सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

ध्रुवीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ: z = |z|(cos(θ) + i sin(θ))

डी मोइवर का प्रमेय: (cos(θ) + i sin(θ))^n = cos(nθ) + i sin(nθ)

गणना

दिया गया है:

|x| = |y| = 1

Arg(x) = 2α

Arg(y) = 3β

α + β = π/36

\(x = \cos(2\alpha) + i \sin(2\alpha)\)

\(y = \cos(3\beta) + i \sin(3\beta)\)

\(x^6y^4 = (\cos(2\alpha) + i \sin(2\alpha))^6 (\cos(3\beta) + i \sin(3\beta))^4\)

⇒ \(x^6y^4 = (\cos(12\alpha) + i \sin(12\alpha)) (\cos(12\beta) + i \sin(12\beta))\)

⇒ \(x^6y^4 = \cos(12\alpha + 12\beta) + i \sin(12\alpha + 12\beta)\)

⇒ \(x^6y^4 = \cos(12(\alpha + \beta)) + i \sin(12(\alpha + \beta))\)

⇒ \(x^6y^4 = \cos(12 \times \frac{\pi}{36}) + i \sin(12 \times \frac{\pi}{36})\)

⇒ \(x^6y^4 = \cos(\frac{\pi}{3}) + i \sin(\frac{\pi}{3})\)

⇒ \(x^6y^4 = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{1}{\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}\)

⇒ \(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}}{(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})}\)

⇒ \(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}\)

⇒ \(\frac{1}{x^6y^4} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(x^6y^4 + \frac{1}{x^6y^4} = (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})\)

⇒ \(x^6y^4 + \frac{1}{x^6y^4} = 1\)

अतः विकल्प 3 सही है। 

संकल्पना:

डी मोइवर सूत्र:

यदि z = re^iθ = r(cos θ + i sin θ) है, तब zⁿ = rⁿe^inθ(cos nθ + i sin nθ)

गणना:

दिया गया है, z = \((\frac{√3}{2}+\frac{i}{2})^5+(\frac{√3}{2}-\frac{i}{2})^5\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^5+\left(\cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6}\right)^5\)

⇒ z = \(\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^5+\left(e^{i\frac{-\pi}{6}}\right)^5\)

⇒ z = \(\left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)+\left(e^{i\frac{-5\pi}{6}}\right)\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{-5\pi}{6}+i\sin\frac{-5\pi}{6}\right)\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{5\pi}{6}-i\sin\frac{5\pi}{6}\right)\)

⇒ z = \(\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})+i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]+\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})-i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)

⇒ z = 2 cos \(\frac{\pi}{6}\) = √3

∴ Im (z) = 0

अवधारणा:

यूलर का सूत्र:

एक सम्मिश्र संख्या z = cos θ + i sin θ को eiθ के रूप में भी लिखा जा सकता है।

गणना:

यूलर के सूत्र से हम जानते हैं कि:

\(\rm \frac{\cos\theta+i\sin\theta}{\cos\theta-i\sin\theta}=\frac{e^{i\theta}}{e^{-i\theta}}\) = e2iθ = cos 2θ + i sin 2θ

धारणा:

1. सम्मिश्र संख्याओं पर यूलर का सूत्र:

• e^ix = cos x + i sin x
• e^-ix = cos x - i sin x

2. त्रिकोणमिति सूत्र:

• 1 – cos θ = 2 sin² (θ/2)
• sin θ = 2 sin (θ/2) cos (θ/2

गणना:

हमें \({\left[ {\frac{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} - {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}} \right]^3}\)का मूल्य खोजना होगा

\( \Rightarrow {\left[ {\frac{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} + {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}{{\sin \frac{{\rm{\pi }}}{6} - {\rm{i}}\left( {1 - \cos \frac{{\rm{\pi }}}{6}} \right)}}} \right]^3} = {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} + {\rm{i}}\left( {{\rm{\;}}2{{\sin }^2}\frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} - {\rm{i}}\left( {{\rm{\;}}2{{\sin }^2}\frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}} \right]^3}{\rm{\;}}\)

\( = {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} + {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}{{2 \times \sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} \times \left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} - {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}} \right]^3}\)

\(= {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{\left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} + {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}{{\left( {\cos \frac{{\rm{\pi }}}{{12}} - {\rm{i}}\sin \frac{{\rm{\pi }}}{{12}}} \right)}}} \right]^3}\)                          (∵e^ix = cos x + i sin x और e^-ix = cos x - i sin x)

\(= {\rm{\;}}{\left[ {\frac{{{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{{12}}}}}}{{{{\rm{e}}^{\frac{{ - {\rm{i\pi }}}}{{12}}}}}}} \right]^3} = {\left[ {{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{{12}}}}{\rm{\;}} \times {\rm{\;}}{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{{12}}}}} \right]^3} = {\left[ {{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{6}}}{\rm{\;}}} \right]^3} = {\rm{\;}}{{\rm{e}}^{\frac{{{\rm{i\pi }}}}{2}}}\)

= cos (π/2) + i sin (π/2) = 0 + i = i

संकल्पना:

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

गणना:

दिया गया है: 

x = (cos π/14 + i sin π/14), y = (cos 9π/14 + i sin 9π/14)

चूँकि हम जानते हैं कि, 

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \) 

हम x और y को निम्न रूप में लिख सकते हैं:

⇒ x = e^{i ⋅ π/14} और y = e^{i ⋅ 9π/14}

⇒ x⁵ = e^{i ⋅ 5π/14} और y¹⁵ = e^{i ⋅ 135π/14}

⇒  x5 ⋅ y¹⁵ = e^{i ⋅ 10π} 

संकल्पना:

\({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

गणना:

दिया गया है: x =  (cos π/9 + i sin π/9 )18 और y = (cos π/16 + i sin π/16 )⁸

चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

⇒ y = (cos π/16 + i sin π/16 )8 = [ei ⋅ π/16]8 = ei ⋅ π/2

⇒ ei ⋅ π/2 = cos π/2 + i sin π/2 = i

⇒ y = i 

इसलिए, y^-2 = - 1 --------(1)

उसीप्रकार,

चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

⇒ x = (cos π/9 + i sin π/9 )18 = [ei ⋅ π/9]18 = ei ⋅ 2π

⇒ ei ⋅ 2π = cos 2π + i sin 2π = 1

⇒ x = 1---------(2)

(1) और (2) से, हमें निम्न प्राप्त होता है 

⇒ x ⋅ y^-2 = - 1

संकल्पना:

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

गणना:

चूँकि हम जानते हैं कि, 

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

⇒ (cos π/9 + i sin π/9 )18 

= [e^i ⋅ π/9]¹⁸ = e^{i ⋅ 2π}

⇒ e^{i ⋅ 2π} 

= cos 2π + i sin 2π = 1

संकल्पना:

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

गणना:

चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

⇒ (cos π/16 + i sin π/16 )8 = [e^{i ⋅ π/16}]⁸ = e^{i ⋅ π/2}

⇒ e^{i ⋅ π/2} = cos π/2 + i sin π/2 = i

संकल्पना:

एक सम्मिश्र संख्या के मापांक और तर्क के बीच का संबंध:

किसी सम्मिश्र संख्या \(z\) के लिए यदि मापांक \(|z|\)  दिया गया है और तर्क \(\theta\)  है, तो निम्नलिखित संबंध सदैव सत्य होता है:

\(z = |z|e^{i\theta}\)

\(e^{i\theta} = \cos \theta+i\sin\theta\)

गणना:

माना कि दी गयी सम्मिश्र संख्या \(z\)  है, तो हमारे पास \(|z| = 4\) है और \(z = \dfrac{5\pi}{6}\) है। 

इसलिए, \(\theta = \dfrac{5\pi}{6}\).

अब उपरोक्त सूत्र का प्रयोग करने पर,

\(\begin{align*} z &= |z|e^{i\theta}\\ &= 4\left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)\\ &= 4\left(\cos\dfrac{5\pi}{6}+i\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)\\ &= 4\left(-\dfrac{\sqrt3}{2} + i\dfrac{1}{2}\right)\\ &= -2\sqrt3+2i \end{align*}\)

अतः आवश्यक सम्मिश्र संख्या \(z = -2\sqrt3+2i\) है।

संकल्पना:

माना कि z = x + iy कोई भी सम्मिश्र संख्या है तो उसका ध्रुवीय रूप \(\rm z = r(cos\;\theta + isin\;\theta) \) है, जहाँ r = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) और \(\rm \theta = tan^{-1}{(\dfrac y x)}\)

डी मॉयवर का प्रमेय

दिया गया है कि कोई भी सम्मिश्र संख्या θ + i sin θ और कोई भी पूर्णांक n,

(cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ

गणना:

\(\rm (1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\) खोजने के लिए

सबसे पहले सम्मिश्र संख्याएँ \((\rm 1+i\sqrt{3})\) और \((\rm 1-i\sqrt{3})\) को ध्रुवीय रूप में लिखें और डी मॉयवर प्रमेय लागू करें।

माना कि z = x + iy कोई भी सम्मिश्र संख्या है तो उसका ध्रुवीय रूप \(\rm z = r(cos\;\theta + isin\;\theta) \) है, जहाँ r = \(\rm \sqrt{x^2+y^2}\) और \(\rm \theta = tan^{-1}{(\dfrac y x)}\)

\((\rm 1+i\sqrt{3})\) का ध्रुवीय रूप \(\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} + isin\;\dfrac{\pi}{3}) \) है

\((\rm 1-i\sqrt{3})\) का ध्रुवीय रूप \(\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} - isin\;\dfrac{\pi}{3}) \) है\((1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\) पर विचार करें

= \(\Big[\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} + isin\;\dfrac{\pi}{3})\Big]^n\)+ \(\Big[\rm 2(cos\;\dfrac{\pi}{3} - isin\;\dfrac{\pi}{3})\Big]^n\)

डी मॉयवर के प्रमेय को लागू करें

दिया गया है कि कोई भी सम्मिश्र संख्या θ + i sin θ और कोई भी पूर्णांक n,

(cos θ + i sin θ )n = cos nθ + i sin nθ

= \(\rm 2^n(cos\;\dfrac{n\pi}{3} + isin\;\dfrac{n\pi}{3})\) + \(\rm 2^n(cos\;\dfrac{n\pi}{3} - isin\;\dfrac{n\pi}{3})\)

= \(\rm2^{n+1} \cos \dfrac{n\pi}{3}\)

इसलिए \((1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n\)= \(\rm2^{n+1} \cos \dfrac{n\pi}{3}\)

संकल्पना:

\({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

गणना:

दिए गए समीकरण:\({\left( {\frac{{√ 2 + i\;√ 2 }}{2}} \right)^{64}}\) को निम्न रूप में पुनः लिखा जा सकता है 

 =  \((\frac{\sqrt 2}{2}\ +\ \frac{\sqrt 2}{2}i)^{64}\)

 = \((\frac{1}{\sqrt 2}\ +\ \frac{1}{\sqrt 2}i)^{64}\)

चूँकि हम जानते हैं कि sin π/4 = 1/√2 = cos π/4

इसलिए, हम दिए गए समीकरण\({\left( {\frac{{√ 2 + i\;√ 2 }}{2}} \right)^{64}}\)को निम्न रूप में लिख सकते हैं

 = (cos π/4 + i sin π/4)⁶⁴

चूँकि हम जानते हैं कि, \({e^{i\; ⋅ \;\theta }} = \cos \theta + i\sin \theta \)

⇒ (cos π/4 + i sin π/4)⁶⁴ = (e^i ⋅ π/4 )⁶⁴

⇒ (cos π/4 + i sin π/4)64 = ei ⋅ 16π

संकल्पना:

डी मोइवर सूत्र:

यदि z = re^iθ = r(cos θ + i sin θ) है, तब zⁿ = rⁿe^inθ(cos nθ + i sin nθ)

गणना:

दिया गया है, z = \((\frac{√3}{2}+\frac{i}{2})^5+(\frac{√3}{2}-\frac{i}{2})^5\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)^5+\left(\cos\frac{-\pi}{6}+i\sin\frac{-\pi}{6}\right)^5\)

⇒ z = \(\left(e^{i\frac{\pi}{6}}\right)^5+\left(e^{i\frac{-\pi}{6}}\right)^5\)

⇒ z = \(\left(e^{i\frac{5\pi}{6}}\right)+\left(e^{i\frac{-5\pi}{6}}\right)\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{-5\pi}{6}+i\sin\frac{-5\pi}{6}\right)\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{5\pi}{6}+i\sin\frac{5\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{5\pi}{6}-i\sin\frac{5\pi}{6}\right)\)

⇒ z = \(\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})+i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]+\left[\cos (\pi-\frac{5\pi}{6})-i\sin(\pi-\frac{5\pi}{6})\right]\)

⇒ z = \(\left(\cos \frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right)+\left(\cos\frac{\pi}{6}-i\sin\frac{\pi}{6}\right)\)

⇒ z = 2 cos \(\frac{\pi}{6}\) = √3

∴ Im (z) = 0