Kinematics and Kinetics MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Kinematics and Kinetics - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संप्रत्यय:

हम चर त्वरण वाले कण की गति का विश्लेषण करते हैं ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि त्वरण शून्य होने पर उसका वेग क्या होगा।

दिया गया है:

• त्वरण फलन: \( a = 10 - x \)
• प्रारंभिक स्थिति: \( t = 0 , ~ x = 0 ,~ और~ वेग ~v = 0 \) पर

चरण 1: त्वरण शून्य होने पर स्थिति ज्ञात कीजिए

\( a = 0\) रखें

\( 10 - x = 0 \)

\( x = 10 \, \text{m} \)

चरण 2: त्वरण को वेग और स्थिति से संबंधित करें

श्रृंखला नियम का उपयोग करके, त्वरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\( a = \frac{dv}{dt} = v \frac{dv}{dx} = 10 - x \)

चरों को अलग करें और समाकलन करें:

\( v \, dv = (10 - x) \, dx \)

चरण 3: दोनों पक्षों का समाकलन करें

\( \int_{0}^{v} v \, dv = \int_{0}^{10} (10 - x) \, dx \)

\( \frac{v^2}{2} \bigg|_{0}^{v} = 10x - \frac{x^2}{2} \bigg|_{0}^{10} \)

\( \frac{v^2}{2} = 100 - 50 = 50 \)

\( v^2 = 100 \)

\( v = 10 \, \text{m/s} \)

संप्रत्यय:

जब कोई पिंड नियत स्पर्शीय त्वरण के साथ वक्र पथ पर गति करता है, तो कुल त्वरण के दो घटक होते हैं:

1. स्पर्शीय त्वरण गति में परिवर्तन के कारण।

2. अभिलम्ब (अभिकेंद्र) त्वरण दिशा में परिवर्तन के कारण, दिया गया है:

\( a_n = \frac{v^2}{r} \)

परिकलन:

दिया गया है:

60 सेकंड के बाद अंतिम गति: v = 18 किमी/घंटा = 5 मी/से

वक्र की त्रिज्या: r = 200 मी

समय = 60 सेकंड, प्रारंभिक गति = 0 (विराम से शुरू होता है)

चरण 1: स्पर्शीय त्वरण की गणना करें

\( a_t = \frac{v - u}{t} = \frac{5 - 0}{60} = \frac{1}{12}~m/s^2 \)

चरण 2: 30 सेकंड पर गति:

\( v = a_t \times t = \frac{1}{12} \times 30 = 2.5~m/s \)

चरण 3: अभिलम्ब त्वरण

\( a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{(2.5)^2}{200} = \frac{6.25}{200} = 0.03125~m/s^2 \)

सिद्धांत:

दो गोलियों के मिलने के समय को ज्ञात करने के लिए, हम क्षैतिज दिशा में प्रक्षेप्य की सापेक्ष गति पर विचार करते हैं।

दिया गया है:

बंदूकों के बीच की दूरी, d = 40 मीटर

बंदूक A से गोली का वेग, v_A = 350 मीटर/सेकंड

बंदूक B से गोली का वेग, v_B = 300 मीटर/सेकंड

प्रक्षेपण का कोण, \(\theta = 30^\circ\)

गणना:

वेगों को क्षैतिज घटकों में विभाजित करना:

\( v_{Ax} = v_A \cos 30^\circ = 350 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 175\sqrt{3} \) मीटर/सेकंड

\( v_{Bx} = v_B \cos 30^\circ = 300 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3} \) मीटर/सेकंड

क्षैतिज दिशा में सापेक्ष वेग है:

\( v_{\text{relative}, x} = v_{Ax} + v_{Bx} = 175\sqrt{3} + 150\sqrt{3} = 325\sqrt{3} \) मीटर/सेकंड

सूत्र का उपयोग करते हुए,

\( \text{समय} = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष वेग}} \)

\( t = \frac{40}{325\sqrt{3}} \)

\(\sqrt{3} \approx 1.732\) का अनुमान लगाते हुए,

\( t = \frac{40}{325 \times 1.732} = \frac{40}{562.9} \approx \frac{4}{65}\) सेकंड

संप्रत्यय:

जब दो पिंड टकराते हैं और टक्कर के बाद एक साथ गति करते हैं, तो संवेग संरक्षण का सिद्धांत लागू होता है।

संवेग संरक्षण के लिए समीकरण दिया गया है:

\( m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2) v_f \)

जहाँ:

• \( m_1 = 3 \) kg (पहले गोले का द्रव्यमान)
• \( v_1 = 5 \) m/s (टकराने से पहले पहले गोले का वेग)
• \( m_2 = 2 \) kg (दूसरे गोले का द्रव्यमान)
• \( v_2 = 0 \) m/s (टकराने से पहले दूसरे गोले का वेग, क्योंकि यह विराम अवस्था में है)
• \( v_f \) टक्कर के बाद उभयनिष्ठ वेग है

गणना:

संवेग संरक्षण समीकरण को लागू करने पर:

\( (3 \times 5) + (2 \times 0) = (3 + 2) v_f \)

\( 15 = 5 v_f \)

\( v_f = \frac{15}{5} = 3 \) m/s

व्याख्या:

चरण 1: गोली का प्रारंभिक संवेग परिकलित करें

गोली का प्रारंभिक संवेग इस सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

संवेग (p) = द्रव्यमान (m) x वेग (v)

गोली का द्रव्यमान (m_गोली) है:

m_गोली = W_गोली / g = 0.5 N / 10 m/s² = 0.05 kg

गोली का वेग (v_गोली) = 810 m/s दिया गया है, गोली का प्रारंभिक संवेग है:

p_गोली = m_गोली x v_गोली = 0.05 kg x 810 m/s = 40.5 kg·m/s

चरण 2: गुटके और गोली प्रणाली का संयुक्त द्रव्यमान परिकलित करें

• गुटके का भार (W_{गुटका}) = 40 N

गुटके का द्रव्यमान (m_{गुटका}) है:

m_{गुटका} = W_{गुटका} / g = 40 N / 10 m/s² = 4 kg

गुटके और गोली प्रणाली का संयुक्त द्रव्यमान (m_कुल) है:

m_कुल = m_{गुटका} + m_गोली = 4 kg + 0.05 kg = 4.05 kg

चरण 3: टक्कर के बाद गुटके और गोली प्रणाली का वेग परिकलित करें

संवेग संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए, टक्कर से पहले कुल संवेग टक्कर के बाद कुल संवेग के बराबर होता है।

कुल प्रारंभिक संवेग = कुल अंतिम संवेग

p_गोली = m_कुल x v_{अंतिम}

v_{अंतिम} (गुटके और गोली प्रणाली का अंतिम वेग) के लिए हल करना:

v_{अंतिम} = p_गोली / m_कुल = 40.5 kg·m/s / 4.05 kg = 10 m/s

जब गुटका खुरदुरे क्षैतिज तल पर गतिमान होता है, तो यह घर्षण बल के अधीन होता है। घर्षण बल (f_{घर्षण}) को इस सूत्र का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है:

f_{घर्षण} = μ x N

जहाँ μ घर्षण गुणांक है और N अभिलम्ब बल है, घर्षण गुणांक (μ) = 0.3,

अभिलम्ब बल (N) = W_{गुटका} + W_गोली = 40 N + 0.5 N = 40.5 N

घर्षण बल है:

f_{घर्षण} = 0.3 x 40.5 N = 12.15 N

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करके, हम घर्षण के कारण मंदन (a) की गणना कर सकते हैं:

a = f_{घर्षण} / m_कुल = 12.15 N / 4.05 kg = 3 m/s²

यह घर्षण बल के कारण गुटका रुक जाएगा। हम गुटके द्वारा तय की गई दूरी (d) ज्ञात करने के लिए गतिज समीकरण का उपयोग कर सकते हैं:

v_{अंतिम}² = v_{प्रारंभिक}² - 2ad

यहाँ, v_{अंतिम} = 0 (चूँकि गुटका रुक जाता है), v_{प्रारंभिक} = 10 m/s, और a = 3 m/s².

0 = (10 m/s)² - 2 x 3 m/s² x d

d के लिए हल करना:

100 = 6d

d = 100 / 6 = 16.67 m

इस प्रकार, गुटके द्वारा अपनी प्रारंभिक स्थिति से तय की गई दूरी 16.67 मीटर है।

अवधारणा:

• औसत वेग = कुल विस्थापन / कुल समय अवधि
• गति का समीकरण:
• v = u + at
• v2 = u2 + 2as
• s = ut + 1/2 at2

गणना:

दिया गया है:

समय अंतराल = 5 s और 1 s, प्रारंभिक वेग u = 0, और, त्वरण a = 2 m/s²

जब कोई वस्तु विरामवस्था से शुरू होती है, तो 1 सेकंड और 5 सेकंड में तय की गई कुल दूरी है,

s = ut + 1/2 at2

वस्तु विरामावस्था में है, इसलिए, u = 0 m/s.

\(s_2 - s_1 = \frac12 a(t_2^2-t_1^2)\)

\(s_2 - s_1 = \frac12 \times 2(5^2-1^2)\)

s2 - s1 = 24 m

लिया गया कुल समय, t = t2 - t1 = 5 - 1 = 4 सेकंड

औसत वेग = कुल विस्थापन / कुल समय अवधि

औसत वेग = 24/4 = 6 m/s

समय 1 s और 5 s के बीच औसत वेग = 6 m/s

संकल्पना:

वेग के परिवर्तन की दर को त्वरण के रूप में जाना जाता है। इसकी इकाई m/s2 है। यह एक सदिश राशि है।

a = वेग में परिवर्तन/समय

गति के समीकरण:

• v = u + at
• v2 – u2 = 2as
• \(s = ut + \frac{1}{2}a{t^2}\)

गणना:

दिया गया:

u = 36 km/h = 10 m/s; S = 125 m ; v = 54 km/h = 15 m/s,  t = ?

v2 – u2 = 2as

\(a = \frac{{{v^2} - {u^2}}}{{2s}} = \frac{{{{15}^2} - {{10}^2}}}{{2 \times 125}} = 0.5\;m/s^2\)

v = u + at

\(t = \frac{{v - u}}{a} = \frac{{15 - 10}}{0.5} = 10\;sec\)

धारणा:

अभिकेंद्री त्वरण (a_c): 

• एकसमान वृत्ताकार गति से गुजरने वाले निकाय पर त्वरण क्रिया को अभिकेंद्री त्वरण कहते हैं।
• यह हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर त्रिज्या के साथ वस्तु पर कार्य करता है।
• अभिकेंद्री त्वरण का परिमाण,

\(a = \frac{{{v^2}}}{r}\)

जहां v = निकाय का वेग और r = त्रिज्या

स्पर्शरेखीय त्वरण (a_t):

• यह वृत्ताकार पथ के समतल में वृत्ताकार पथ पर स्पर्शरेखा के साथ कार्य करता है।
• गणितीय रूप से स्पर्शरेखीय त्वरण निम्न रूप में लिखा जाता है

\(\overrightarrow {{a_t}} = \vec \alpha \times \vec r \)

जहां α = कोणीय त्वरण और r = त्रिज्या

गणना:

दिया हुआ – v = 10 m/s, r = 25 m और a_t = 3 m/s²

• शुद्ध त्वरण अभिकेंद्री त्वरण और स्पर्शरेखीय त्वरण का परिणामी त्वरण है यानी

\(a = \sqrt {a_c^2 + a_t^2} \)

अभिकेंद्री त्वरण (a_c):

\(\therefore {a_c} = \frac{{{v^2}}}{r}\)

\( \Rightarrow {a_c} = \frac{{{{\left( {10} \right)}^2}}}{{25}} = \frac{{100}}{{25}} = 4\;m/{s^2}\)

इसलिए शुद्ध त्वरण

अवधारणा:

किया गया कार्य = बल विक्षेपण आकृति के अंतर्गत क्षेत्र

\(Work ~done = \frac 12 \times Force\times deflection\)

गणना:

दिया हुआ है कि:

क्रमिक भारण

बल = 100 N, विक्षेपण = 100 mm = 0.1 m

\(Work ~done = \frac 12 \times Force\times deflection\)

\(Work ~done = \frac 12 \times 100\times 0.1=5~J\)

स्पष्टीकरण:

जब बल F को अचानक हटा दिया जाता है, तब W के कारण छड़ कोणीय त्वरण \(\alpha\) के साथ घूर्णन अवस्था में होती है

इस प्रकार गति का समीकरण:

\(\Sigma M=I_o\alpha;\;\;W \times \frac{L}{2} = I\alpha\)

\(As, I = \frac{mL^2}{3}= \frac{1}{3}\times\frac{W}{g}\times{L^2}\)

\(\therefore W \times \frac{L}{2} =\frac{WL^2}{3g}\times\alpha\)

\(\Rightarrow \alpha = \frac{{3g}}{{2L}}\)

\(\therefore Linear\;acceleration\;at\;centre = \alpha \times \frac{L}{2} = \frac{{3g}}{{2L}}\times \frac{L}{2}=\frac{{3g}}{4}\)

इसके अलावा, छड़ का केंद्र रैखिक त्वरण a के साथ त्वरित होता है;

\(W-R=F\Rightarrow mg-R=ma\\R=mg-ma=mg-\frac{3}{4}mg=\frac{1}{4}mg=\frac{W}{4}\)

वर्णन:

गैर-संरक्षित बल:

• गैर-संरक्षित बल वह बल होता है जिसके लिए कार्य लिए गए पथ पर निर्भर करता है।
• घर्षण गैर-संरक्षित बल का उदाहरण है जो यांत्रिक ऊर्जा को तापीय ऊर्जा में परिवर्तित करता है।
• गैर-संरक्षित बल द्वारा किया गया कार्य Wnc एक प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा को परिवर्तित करता है।
• समीकरण रूप में, Wnc = ΔKE + ΔPE या, समकक्ष रूप से, KEi + PEi = Wnc + KEf + PEf

संरक्षित बल:

• संरक्षित बल वह बल है जिसके लिए इसके द्वारा या इसके विरुद्ध किया गया कार्य गति के केवल प्रारंभिक और अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है और यह लिए गए पथ पर निर्भर नहीं करता है।
• उदाहरण स्थितिज ऊर्जा, गुरुत्वाकर्षण बल इत्यादि।
• संरक्षित बल द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में कमी के बराबर है।

अवधारणा :

एक क्षैतिज वृत्त में गतिमान पिंड में केवल गतिज ऊर्जा संग्रहित होती है।

अभिकेंद्री बल = \(\frac{mv^2}{r}\)

जहाँ m द्रव्यमान है, v कण का वेग है, और r त्रिज्या है।

किसी पिंड की गतिज ऊर्जा इसके द्वारा दी जाती है :

\(K.E=\frac{1}{2}mv^2\)

गणना :

दिया गया :

अभिकेंद्री बल = \(-\frac{C}{r^2}\)

अभिकेंद्री बल = \(\frac{mv^2}{r}\)

\(\frac{mv^2}{r}=-\frac{C}{r^2}\)

\({mv^2}{}=-\frac{C}{r}\)

\(K.E=\frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}\times \left(-\frac{C}{r}\right)=-\frac{C}{2r}\)

K.E के मान में ऋणात्मक चिह्न के साथ भ्रमित न हों क्योंकि स्थिरांक C यहाँ ऋणात्मक होना चाहिए ताकि K.E धनात्मक हो जाए।

संकल्पना:

पूर्ण वेग निम्न है:

\(V = \sqrt {v_x^2 + v_y^2}\)

v_x = x दिशा में वेग घटक = dx/dt

v_y = y दिशा में वेग घटक = dy/dt

गणना:

t = 6 सेकेंड पर

x = 4 – 9t

v_x = dx/dt = -9

y = t²

v_y = dy/dt = 2t = 2(6) = 12

\(V = \sqrt {{{\left( { - 9} \right)}^2} + {{\left( {12} \right)}^2}} = \sqrt {225} = 15\;m/s\)

वर्णन:

त्वरण:

• गति के तहत वस्तु इसके गति में परिवर्तन से गुजर सकती है। समय के संबंध में दिशा के साथ इसके गति में परिवर्तन की दर के माप को त्वरण कहा जाता है। 
• वस्तु की गति रैखिक या वृत्ताकार हो सकती है। 

रैखिक त्वरण:

• रैखिक गति में शामिल त्वरण को रैखिक त्वरण कहा जाता है। 
• यहाँ त्वरण केवल गति में परिवर्तन के कारण होता है और दिशा में परिवर्तन के कारण कोई त्वरण नहीं होता है, इसलिए त्वराल का कोई रेडियल घटक नहीं होता है। 

वृत्ताकार त्वरण:

• वृत्ताकार गति में शामिल त्वरण को कोणीय त्वरण कहा जाता है। 
• वृत्ताकार गति में केंद्र की ओर निकाय द्वारा अनुभव किया जाने वाला त्वरण अभिकेन्द्र त्वरण कहलाता है जिसे दो-घटक में वियोजित किया जा सकता है। 
• रेडियल घटक और स्पर्शीय घटक गति के प्रकार पर निर्भर करते हैं। 

रेडियल त्वरण (ar):

• केंद्र की ओर निर्देशिक त्रिज्या के साथ वस्तु का त्वरण रेडियल त्वरण कहलाता है। 

\(a_r=\frac{v^2}{r}=\omega^2r\)

स्पर्शीय त्वरण (at):

• स्पर्शीय घटक को वृत्ताकार पथ के स्पर्शीय कोणीय त्वरण के घटक के रूप में परिभाषित किया जाता है। 

\(a_t=\alpha r\)

संकल्पना:

प्रक्षेप्य गति:

जब एक कण को पृथ्वी की सतह के निकट तिर्यक रूप से प्रक्षेपित किया जाता है तो यह क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में एक साथ चलता है। ऐसे कण के पथ को प्रक्षेप्य कहा जाता है और गति को प्रक्षेप्य गति कहा जाता है।

प्रक्षेप्य की सीमा:

• एक प्रक्षेप्य की क्षैतिज सीमा क्षैतिज समतल के साथ की दूरी है जो वह यात्रा करेगा, उसी ऊर्ध्वाधर स्थिति तक पहुंचने से पहले जहां से यह शुरू हुआ था।

प्रक्षेप्य गति में सूत्र:

\(Range\;of\;projectile = \frac{{{u^2}\sin 2θ }}{g}\)

\(Total\;time\;of\;flight = \frac{{2u\;sinθ }}{g}\)

\(Maximum\;Height = \frac{{{u^2}{{\sin }^2}θ }}{{2g}}\)

जहाँ u = प्रक्षेपित गति, θ = कोण जिस पर कोई वस्तु जमीन से फेंकी जाती है और g = गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण = 9.8 m/s²।

गणना:

दिया हुआ:

एक प्रक्षेप्य गति की सीमा (R) निम्न द्वारा दी गई है:

\(R= \frac{{{u^2}\sin 2θ }}{g}\)

क्षैतिज दूरी अधिकतम होने के लिए:

sin 2θ = 1

∴ sin 2θ = sin 90° 

∴ θ = 45°।

∴ सबसे लंबी संभव छलांग के लिए एक एथलीट को जमीन के साथ 45° का कोण बनाना चाहिए।