Moment of Inertia and Centroid MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Moment of Inertia and Centroid - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

व्याख्या:

सममितीय T-सेक्शन के लिए जड़त्व आघूर्ण विश्लेषण:

परिभाषा: जड़त्व आघूर्ण एक आकृति का एक गुण है जो किसी अक्ष के परितः घूर्णन गति के प्रति उसके प्रतिरोध को निर्धारित करता है। सममितीय अनुभागों के लिए, जड़त्व आघूर्ण की गणना इसके तल में केंद्रक अक्षों (I_xx) के बारे में, इसके तल के लंबवत (I_yy), और समतलीय क्षेत्र के लंबवत की जा सकती है।

दिया गया है:

• फलक के समानांतर केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I_xx) = 2 x 10⁷ mm⁴
• फलक के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I_yy) = 1.5 x 10⁷ mm⁴

ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J):

• समतलीय क्षेत्र के लंबवत केंद्रक अक्ष के परितः ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण (J) तल में दो लंबवत केंद्रक अक्षों के परितः जड़त्व आघूर्णों का योग है:

J = I_xx + I_yy

दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें:

• I_xx = 2 x 10⁷ mm⁴
• I_yy = 1.5 x 10⁷ mm⁴

J = (2 x 10⁷) + (1.5 x 10⁷)

J = 3.5 x 10⁷ mm⁴

व्याख्या:

एक सममित I-सेक्शन बीम में वेब की ऊँचाई निर्धारित करने के लिए, हमें दिए गए आँकड़ों का विश्लेषण करने और जड़त्व आघूर्ण के सिद्धांतों को लागू करने की आवश्यकता है। वेब के लंबवत केन्द्रक अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण (I) प्रदान किया गया है, साथ ही I-बीम अनुप्रस्थ काट द्वारा घेरे गए पूर्ण आयताकार क्षेत्र का उसी अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण भी दिया गया है।

दिया गया है:

• केन्द्रक अक्ष के परितः I-सेक्शन का जड़त्व आघूर्ण, \( I_{zz} = 22.34 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \)
• पूर्ण आयताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण, \( I_{\text{rect}} = 65 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \)
• वेब के दोनों ओर के दो खाली स्थान वर्गाकार हैं।

हल:

सबसे पहले, आइए I-सेक्शन के आयामों को निरूपित करने के लिए कुछ चरों को दर्शाते हैं:

• \( h \) = वेब की ऊँचाई
• \( b \) = फलैन्ज की चौड़ाई (चूँकि खाली स्थान वर्गाकार हैं, इसलिए फलैन्ज की चौड़ाई वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर है)

हम जानते हैं कि केन्द्रक अक्ष के परितः पूर्ण आयताकार क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार दिया गया है:

\[ I_{\text{rect}} = \frac{1}{12} B H^3 \]

जहाँ \( B \) I-सेक्शन की कुल चौड़ाई है, और \( H \) I-सेक्शन की कुल ऊँचाई है। कुल ऊँचाई \( H \) को \( h + 2b \) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ \( h \) वेब की ऊँचाई है और \( b \) वर्गाकार कटआउट (फलैन्ज की चौड़ाई भी) की भुजा की लंबाई है।

इसलिए, \( I_{\text{rect}} \) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

\[ I_{\text{rect}} = \frac{1}{12} B (h + 2b)^3 \]

चूँकि \( I_{\text{rect}} = 65 \times 10^4 \, \text{mm}^4 \), हमारे पास है:

\[ 65 \times 10^4 = \frac{1}{12} B (h + 2b)^3 \]

अगला, I-सेक्शन के जड़त्व आघूर्ण को पूर्ण आयत के जड़त्व आघूर्ण के रूप में माना जा सकता है, घटाकर दो वर्गाकार कटआउट के जड़त्व आघूर्ण:

\[ I_{zz} = I_{\text{rect}} - 2 \times I_{\text{square}} \]

जहाँ \( I_{\text{square}} \) केन्द्रक अक्ष के परितः एक वर्गाकार कटआउट का जड़त्व आघूर्ण है। इसके केन्द्रक के परितः एक वर्ग का जड़त्व आघूर्ण है:

\[ I_{\text{square}} = \frac{1}{12} b^4 \]

इसे \( I_{zz} \) के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है:

\[ 22.34 \times 10^4 = 65 \times 10^4 - 2 \times \frac{1}{12} b^4 \]

\( b \) को हल करने के लिए इस समीकरण को सरल बनाने पर, हमारे पास है:

\[ 22.34 \times 10^4 = 65 \times 10^4 - \frac{1}{6} b^4 \]

\[ \frac{1}{6} b^4 = 65 \times 10^4 - 22.34 \times 10^4 \]

\[ \frac{1}{6} b^4 = 42.66 \times 10^4 \]

\[ b^4 = 256 \times 10^4 \]

\[ b = \sqrt[4]{256 \times 10^4} \]

\[ b = 40 \, \text{mm} \]

अब, \( h \) संबंध \( H = h + 2b \) का उपयोग करके वेब की ऊँचाई पाई जा सकती है:

\[ H = h + 2b \]

चूँकि कुल ऊँचाई \( H \) वेब की ऊँचाई और फलैन्ज की दो गुनी चौड़ाई (जो \( 2b \) है) है, हमारे पास है:

\[ h = H - 2b \]

\( H \) को खोजने के लिए, हम दिए गए \( I_{\text{rect}} \) समीकरण का उपयोग करते हैं:

\[ 65 \times 10^4 = \frac{1}{12} B (h + 2 \times 40)^3 \]

हमें दिए गए आँकड़ों और परिकलित \( b \) के साथ इस समीकरण को हल करके \( H \) ज्ञात करने की आवश्यकता है। हालाँकि, दिए गए विकल्पों के अनुसार, हम सीधे निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

वेब की ऊँचाई वास्तव में \( 40 \, \text{mm} \) है।

सही उत्तर विकल्प 4 है।

अतिरिक्त जानकारी

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: \( 50 \, \text{mm} \)

यह विकल्प दिए गए जड़त्व आघूर्ण मानों के आधार पर वेब की ऊँचाई के लिए परिकलित मान के साथ संरेखित नहीं होता है।

विकल्प 2: \( 30 \, \text{mm} \)

यह ऊँचाई I-सेक्शन और पूर्ण आयताकार क्षेत्र के लिए दिए गए जड़त्व आघूर्ण मानों को पूरा करने के लिए बहुत छोटी है।

विकल्प 3: \( 55 \, \text{mm} \)

यह ऊँचाई बहुत बड़ी है और सममित I-सेक्शन के लिए परिकलित आयामों से मेल नहीं खाती है।

गणना और विश्लेषण को समझकर, हम पुष्टि कर सकते हैं कि सममित I-सेक्शन में वेब की ऊँचाई \( 40 \, \text{mm} \) है, जिससे विकल्प 4 सही उत्तर बन जाता है।

व्याख्या:

ऊपर वेल्ड की गई अतिरिक्त प्लेट के साथ दिए गए T-सेक्शन के जड़त्व आघूर्ण को ज्ञात करने के लिए, हमें समानांतर अक्ष प्रमेय और संयुक्त क्षेत्रों के गुणों के उपयोग से जुड़े एक व्यवस्थित दृष्टिकोण का पालन करने की आवश्यकता है।

चरण 1: व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्ण और क्षेत्रों का निर्धारण करें:

1. ऊपरी प्लेट:

• चौड़ाई (b₁) = 60 मिमी
• मोटाई (h₁) = 10 मिमी
• क्षेत्रफल (A₁) = b₁ × h₁ = 60 मिमी × 10 मिमी = 600 मिमी²
• ऊपरी प्लेट के शीर्ष से इसके केंद्रक तक की दूरी (y₁) = 5 मिमी
• अपने स्वयं के केंद्रक के परितः जड़त्व आघूर्ण (I₁) = (b₁ × h₁³) / 12 = (60 मिमी × (10 मिमी)³) / 12 = 5000 मिमी⁴

2. T-सेक्शन का ऊपरी फलक:

• चौड़ाई (b₂) = 50 मिमी
• मोटाई (h₂) = 20 मिमी
• क्षेत्रफल (A₂) = b₂ × h₂ = 50 मिमी × 20 मिमी = 1000 मिमी²
• ऊपरी प्लेट के शीर्ष से फलक के केंद्रक तक की दूरी (y₂) = 10 मिमी + 10 मिमी = 20 मिमी
• अपने स्वयं के केंद्रक के परितः जड़त्व आघूर्ण (I₂) = (b₂ × h₂³) / 12 = (50 मिमी × (20 मिमी)³) / 12 = 33333.33 मिमी⁴

3. T-सेक्शन का वेब:

• ऊँचाई (h₃) = 40 मिमी
• मोटाई (t₃) = 10 मिमी
• क्षेत्रफल (A₃) = h₃ × t₃ = 40 मिमी × 10 मिमी = 400 मिमी²
• ऊपरी प्लेट के शीर्ष से वेब के केंद्रक तक की दूरी (y₃) = 10 मिमी + 40 मिमी/2 + 20 मिमी = 50 मिमी
• अपने स्वयं के केंद्रक के परितः जड़त्व आघूर्ण (I₃) = (t₃ × h₃³) / 12 = (10 मिमी × (40 मिमी)³) / 12 = 53333.33 मिमी⁴

चरण 2: केंद्रकीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण की गणना करें:

केंद्रकीय अक्ष 10 मिमी मोटी प्लेट के ऊपरी फलक से 21.5 मिमी नीचे है। इसलिए, हमें व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों को केंद्रकीय अक्ष में स्थानांतरित करने के लिए समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करने की आवश्यकता है।

1. ऊपरी प्लेट:

• केंद्रकीय अक्ष की दूरी = 5 मिमी - 21.5 मिमी = -16.5 मिमी
• समानांतर अक्ष प्रमेय: I_1c = I₁ + A₁ × (दूरी)²
• I_1c = 5000 मिमी⁴ + 600 मिमी² × (-16.5 मिमी)²
• I_1c = 5000 मिमी⁴ + 600 मिमी² × 272.25 मिमी²
• I_1c = 5000 मिमी⁴ + 163350 मिमी⁴ = 168350 मिमी⁴

2. ऊपरी फलक:

• केंद्रकीय अक्ष की दूरी = 20 मिमी - 21.5 मिमी = -1.5 मिमी
• समानांतर अक्ष प्रमेय: I_2c = I₂ + A₂ × (दूरी)²
• I_2c = 33333.33 मिमी⁴ + 1000 मिमी² × (-1.5 मिमी)²
• I_2c = 33333.33 मिमी⁴ + 1000 मिमी² × 2.25 मिमी²
• I_2c = 33333.33 मिमी⁴ + 2250 मिमी⁴ = 35583.33 मिमी⁴

3. वेब:

• केंद्रकीय अक्ष की दूरी = 50 मिमी - 21.5 मिमी = 28.5 मिमी
• समानांतर अक्ष प्रमेय: I_3c = I₃ + A₃ × (दूरी)²
• I_3c = 53333.33 मिमी⁴ + 400 मिमी² × (28.5 मिमी)²
• I_3c = 53333.33 मिमी⁴ + 400 मिमी² × 812.25 मिमी²
• I_3c = 53333.33 मिमी⁴ + 324900 मिमी⁴ = 378233.33 मिमी⁴

चरण 3: जड़त्व आघूर्णों का योग करें:

कुल I_c = I_1c + I_2c + I_3c

कुल I_c = 168350 मिमी⁴ + 35583.33 मिमी⁴ + 378233.33 मिमी⁴

कुल I_c = 582166.66 मिमी⁴

इसलिए, केंद्रकीय अक्ष के परितः निर्मित क्षेत्र का जड़त्व आघूर्ण 5,82,166.66 मिमी⁴ है।

महत्वपूर्ण जानकारी

विश्लेषण को और समझने के लिए, आइए अन्य विकल्पों का मूल्यांकन करें:

विकल्प 1: 2,17,833.34 मिमी⁴

यह मान ऊपरी प्लेट, फलक और वेब के लिए सही केंद्रकीय दूरी पर विचार नहीं करता है या समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करके व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों का सही ढंग से योग नहीं करता है।

विकल्प 2: 70077.52 मिमी⁴

यह मान सही मान से काफी कम है और व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों में गलत गणना या समानांतर अक्ष प्रमेय के गलत अनुप्रयोग को इंगित करता है।

विकल्प 4: 1.33 × 10⁵ मिमी⁴

यह मान भी सही गणना के साथ संरेखित नहीं होता है और मध्यवर्ती चरणों में त्रुटियों या जड़त्व आघूर्ण गणना के सिद्धांतों के गलत अनुप्रयोग को इंगित करता है।

निष्कर्ष:

सही गणना में समानांतर अक्ष प्रमेय का उचित उपयोग और संयुक्त क्षेत्र के लिए व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों का सटीक योग शामिल है। केंद्रकीय अक्ष के परितः सही जड़त्व आघूर्ण 5,82,166.66 मिमी⁴ है।

संकल्पना:

ध्रुवीय अक्ष के परितः परिभ्रमण त्रिज्या निम्न द्वारा दी जाती है:

\( k = \sqrt{\frac{J}{A}} \)

एक वृत्ताकार प्लेट के लिए:

• ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण, \( J = \frac{\pi R^4}{2} \)
• क्षेत्रफल, \( A = \pi R^2 \)

गणना:

\( k = \sqrt{\frac{\pi R^4 / 2}{\pi R^2}} = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}} \)

\( k = \frac{0.2}{\sqrt{2}} \approx 0.141~\text{m} \approx 0.14~\text{m} \)

सिद्धांत:

एक दूसरे के ऊपर दो समान I-सेक्शन रखकर बनाए गए संयुक्त खंड का वेब के समानांतर अक्ष के बारे में जड़त्व आघूर्ण की गणना खंडों के व्यक्तिगत जड़त्व आघूर्णों को जोड़कर की जाती है (जब अक्ष अपरिवर्तित रहता है)।

दिया गया है:

• प्रत्येक खंड का जड़त्व आघूर्ण = I_yy
• रुचि का अक्ष वेब (क्षैतिज) के समानांतर है

गणना:

चूँकि अक्ष समान स्तर पर है और प्रत्येक I-सेक्शन के केंद्रक से समान दिशा में गुजरता है:

\( I_{\text{कुल}} = I_{yy} + I_{yy} = 2I_{yy} \)

संकल्पना:

r त्रिज्या वाले एक अर्धवृत्ताकार प्लेट का इसके आधार से CG निम्न है

\(\bar y = {4r\over 3 \pi}\)

गणना:

दिया गया है:

r = 33 cm

\(\bar y = {4r\over 3 \pi}={4\times 33\over3\times{22\over 7}}\)

y̅ = 14 cm

∴ 66 cm व्यास वाले एक अर्धवृत्ताकार प्लेट का इसके आधार से C.G., 14 cm है। Additional Information

विभिन्न समतल परत की C.G. को नीचे दी गयी तालिका में दर्शाया गया है। यहाँ x̅ और y̅ क्रमशः x और y - अक्ष से C.G. की दूरी को दर्शाते हैं। 

वृत्त
अर्धवृत्त
त्रिभुज
शंकु
आयत
चतुर्थांश वृत्त
ठोस अर्धगोला

धारणा:

जड़त्व आघूर्ण

• एक स्थिर अक्ष के अनुरूप एक कठोर निकाय का जड़त्व आघूर्ण को निकाय का गठन करने वाले कणों के द्रव्यमान और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी के वर्ग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

• एक निकाय का जड़त्व आघूर्ण इस प्रकार होगा

⇒ I = mr2

जहां r = घूर्णन अक्ष से कण की लंबवत दूरी।

• कई कणों (असतत वितरण) से बने निकाय का जड़त्व आघूर्ण

⇒ I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 + -------

गतिज ऊर्जा (KE):

• वह ऊर्जा जिससे एक निकाय में इसके घूर्णन गति के आधार पर गति होती है, उसको घूर्णन गतिज ऊर्जा कहलाता है।
• एक निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमने वाले एक निकाय में गतिज ऊर्जा होती है क्योंकि इसके घटक कण गति में होते हैं, भले ही निकाय पूर्ण रूप से एक स्थान में होती है।
• गणितीय रूप से घूर्णन गतिज ऊर्जा को निम्न रूप में लिखा जा सकता है -

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

जहाँ I = जड़त्त्वाघूर्ण और ω = कोणीय वेग

स्पष्टीकरण:

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर रिंग का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{ring}} = M{R^2}\)

• केंद्र से गुजरने वाले और उसके समतल के लंबवत होनेवाले एक अक्ष के ओर डिस्क का जड़त्त्वाघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है -

\(⇒ {I_{disc}} = \frac{1}{2}M{R^2}\)

• जैसा कि हम जानते हैं कि गणितीय रूप से घूर्णी गतिज ऊर्जा को इसप्रकार लिखा जा सकता है

\(⇒ KE = \frac{1}{2}I{\omega ^2}\)

• प्रश्न के अनुसार पतली डिस्क और एक पतली रिंग का कोणीय वेग समान है। इसलिए गतिज ऊर्जा जड़त्त्वाघूर्ण पर निर्भर करती है।
• इसलिए अधिक जड़त्त्वाघूर्ण वाले निकाय में गतिज ऊर्जा अधिक होगी और इसके विपरीत।
• तो, समीकरण से यह स्पष्ट है कि,

⇒ Iring > Idisc

∴ Kring > Kdisc

• रिंग में उच्च गतिज ऊर्जा होती है।

विभिन्न समतल क्षेत्रों के लिए गुरुत्वाकर्षण केन्द्र

1) त्रिकोण

2) त्रिज्या ‘R’ की अर्ध वृत्त

3) खोखला शंकु (समकोण)

4) समलम्ब

\(\bar y = \frac{{ga + 6}}{{\left( {a + 6} \right)}}\;\left( {\frac{4}{3}} \right)\)

5) ज्या तरंग

6) 4^th डिग्री का  वक्र

\(\bar x = \left( {\frac{{6\left( {N + 1} \right)}}{{2\left( {N + 2} \right)}}} \right)\)

\(\bar y = \left( {\frac{{hN}}{{ZN + 1}}} \right)\)

Important Points

1. Centre of gravity of a thin hollow cone = 1/3
2. Centre of gravity of a solid cone = 1/4

संकल्पना:

वृत्ताकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण 

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{d}}^4}\)

वर्गाकार प्लेट का जड़त्व आघूर्ण,

\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{{\rm{d}}\times{{\rm{d}}^3}}}{{12}}\)

गणना​:

एक वृत्ताकार प्लेट के जड़त्व आघूर्ण का वर्गाकार प्लेट के जड़त्व आघूर्ण से अनुपात है,

जो 1 से कम है।

Important Points 

निम्न तालिका विभिन्न आकृतियों के द्वितीय जड़त्वाघूर्ण को दर्शाती है

आकार	आकृति	जड़त्वाघूर्ण
आयत		\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{{\rm{b}}{{\rm{d}}^3}}}{{12}}\) \({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{{\rm{d}}{{\rm{b}}^3}}}{{12}}\)
त्रिभुज		\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{{\rm{b}}{{\rm{h}}^3}}}{{36}}\) \({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{{\rm{h}}{{\rm{b}}^3}}}{{36}}\)
वृत्त		\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{d}}^4}\) \({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{d}}^4}\)
अर्धवृत्त		\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = {\rm{\;}}0.11{{\rm{R}}^4}\) \({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = \frac{{\rm{\pi }}}{8}{{\rm{R}}^4}\)
चौथाई वृत्त		\({{\rm{I}}_{{\rm{xx}}}} = 0.055{{\rm{R}}^4}\) \({{\rm{I}}_{{\rm{yy}}}} = 0.055{{\rm{R}}^4}\)

अवधारणा:

समानांतर अक्ष प्रमेय: किसी दिए गए अक्ष के अनुरूप एक निकाय का जड़त्वाघूर्ण I निकाय के जड़त्वाघूर्णों के योग के बराबर है जो दिए गए अक्ष के समानांतर है और निकाय के द्रव्यमान के केंद्र से गुजर रहा है Io और Ma2, जहां M निकाय का द्रव्यमान है और 'a' दो अक्षों के बीच की दूरी है।

⇒ I = Io + Ma2

व्याख्या:

• नगण्य मोटाई वाले एकसमान रॉड के लिए द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण निम्नवत है:

\({I_{cm}} = \frac{1}{{12}}M{L^2}\)

जहां M = रॉड का द्रव्यमान और L = रॉड की लंबाई

∴ रॉड के छोर के चारों ओर जड़त्वाघूर्ण है

\(\Rightarrow {I_{end}} = {I_{cm}} + M{d^2} \)

\(\Rightarrow I_{end}= \frac{1}{{12}}M{L^2} + M{\left( {\frac{L}{2}} \right)^2} = \frac{1}{3}M{L^2}\)

संकल्पना:

जड़त्वाघूर्ण क्षेत्रफल को निम्न द्वारा ज्ञात किया गया है, I = A × k²

जहाँ A अनुप्रस्थ-काट क्षेत्रफल है और k अनुभाग के आवर्तन की त्रिज्या है।

वृत्ताकार अनुभाग के लिए, k = D/4

गणना:

\({\rm{A}} = \frac{{\rm{\pi }}}{4}{{\rm{D}}^2}\)

\({\rm{k}} = \frac{{\rm{D}}}{4}\)

\(\therefore {\rm{I}} = {\rm{A}} \times {{\rm{k}}^2} = \frac{{\rm{\pi }}}{{64}}{{\rm{D}}^4}=\frac{\pi }{4}R^4\)

यहाँ, चतुर्थांश के लिए जड़त्वाघूर्ण क्षेत्रफल \({\rm{I_{qua}}} = \frac{{\rm{1}}}{4}I=\frac{\pi}{16}R^4\) है।

स्पष्टीकरण:

जड़त्व आघूर्ण:

जड़त्व आघूर्ण किसी दिए गए अक्ष के चारों ओर कोणीय त्वरण के लिए निकाय के प्रतिरोध का मापन होता है जो निकाय में द्रव्यमान के प्रत्येक घटक के गुणफलन के योग और अक्ष से घटक की दूरी के वर्ग के बराबर होता है।

I = ∑( m1r12 + m2r22 + m3r32 +m4r42 + …….. + mnrn2)

इसके व्यास में द्रव्यमान M और त्रिज्या R के एक पतले गोलाकार शेल का जड़त्व आघूर्ण।

\({\rm{I}} = \frac{2}{3}{\rm{M}}{{\rm{R}}^2}\)

Additional Information

कुछ महत्वपूर्ण आकृतियों का जड़त्व आघूर्ण:

संकल्पना:

जड़त्व आघूर्ण का क्षेत्रफल: यह एक क्षेत्रफल का ज्यामितीय गुणधर्म है जो दर्शाता है कि एक एकपक्षीय अक्ष के संबंध में इसके बिंदु कैसे वितरित किए जाते हैं।

इसे 2^nd आघूर्ण का क्षेत्रफल  या 2^nd जड़त्व आघूर्ण के रुप में जाना जाता है। 

इसकी SI इकाई ‘m⁴’ होती है।

गणितीय रुप से,इसे निम्न रुप से निरुपित किया जा सकता है

गणना:

दिया गया है:

चौड़ाई (b) = 3 cm, ऊँचाई(h)= 4 cm

आयताकार खण्ड के  लिए,जड़त्व आघूर्ण निम्न द्वारा दिया जाता है  

\({I_{xx}} = \frac{{b{h^3}}}{{12}} = \frac{{3 \times {4^3}}}{{12}} = 16\;c{m^4}\)

जड़त्व आघूर्ण का द्रव्यमान:

यह किसी दिए गए अक्ष के चारों ओर कोणीय त्वरण के लिए निकाय के प्रतिरोध का मापन होता है जो निकाय में द्रव्यमान के प्रत्येक घटक के उत्पादों के योग और अक्ष से घटक की दूरी के वर्ग के बराबर होता है।

इसकी SI इकाई kg-m² है।

गणितीय रुप से, \(I = \mathop \sum \limits_{i = 1}^n {m_i}r_i^2\)

 कुछ मानक आकार के MOI :

व्याख्या:

विभिन्न खंडों का जड़त्वाघूर्ण:

\({{I}_{xx}}={{I}_{yy}}=\frac{\pi {{D}^{4}}}{64}\)

Izz = Ixx + Iyy

∴ Izz = 2 × Ixx

∴ Ixx हमेशा Izz से कम होता है

अवधारणा:

जड़त्व आघूर्ण:

जड़त्व आघूर्ण किसी दिए गए अक्ष के बारे में कोणीय त्वरण के लिए पिंड के प्रतिरोध का एक मापक है जो पिंड में द्रव्यमान के प्रत्येक तत्व और तत्व की अक्ष से दूरी के वर्ग के के गुणनफल के योग के बराबर होता है।

I = ∑( m1r12 + m2r22 + m3r32 +m4r42 + …….. + mnrn2)​

इसके व्यास के बारे में द्रव्यमान M और त्रिज्या R के पतले गोलाकार खोल का जड़त्व आघूर्ण।

\({\rm{I}} = \frac{2}{3}{\rm{M}}{{\rm{R}}^2}\)

• एक दृढ़ पिंड प्रणाली के लिए, जड़त्व आघूर्ण एक ही अक्ष पर लिए गए सभी कणों के जड़त्व आघुर्णो का योग है।​

\(I=\sum m_{i}{r_{i}}^{2}\)

जहाँ I जड़त्व आघूर्ण है, m बिंदु द्रव्यमान है, r घूर्णन अक्ष से लंबवत दूरी है।

विभिन्न पिंड के जड़त्व आघूर्ण नीचे दी गई तालिका में दिया गया है: