Perpendicular Lines MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Perpendicular Lines - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

संकल्पना:

माना कि दो रेखाओं में दिशा अनुपात क्रमशः a1, b1, c1 और a2, b2, c2 है। 

लंबवत रेखाओं के लिए शर्त: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

गणना:

दी गयी रेखाएं \(\frac{{{\rm{x}} + 4}}{{2{\rm{}}}} = \frac{{4 - {\rm{y}}}}{-2} = \frac{{{\rm{2z}} - 4}}{{\rm 2k}}\) और\(\frac{{{\rm{x}} +3}}{\rm -k} = \frac{{\rm{y-3}}}{{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{z}} + 1}}{5}\) हैं। 

रेखाओं के मानक रूप में एक रेखा का उपरोक्त समीकरण लिखिए। 

\( \Rightarrow \frac{{{\rm{x}} + 4}}{{2{\rm{}}}} = \frac{-{(\rm y - {\rm{4})}}}{-2} = \frac{2{{(\rm{z}} - 2)}}{{\rm 2k}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {{\rm{x}} +4 } \right)}}{{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{y}} - 4}}{{ 2}} = \frac{{{\rm{z}} - 2}}{{ \rm k}}\)

इसलिए, पहली रेखा का दिशा अनुपात (2, 2, k) है। 

\(\frac{{{\rm{x}} +3}}{\rm -k} = \frac{{\rm{y-3}}}{{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{z}} + 1}}{5}\)

इसलिए, दूसरी रेखा का दिशा अनुपात (-k, 2, 5) है। 

रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,

∴ (2 × -k) + (2 × 2) + (k × 5) = 0

⇒ -2k + 4 + 5k = 0

⇒ 3k + 4 = 0

∴ k = -4/3

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि दिक् अनुपात (a₁, b₁, c₁) और (a₂, b₂, c₂) वाली दो रेखाएँ लंबवत हैं, तो a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0 है। 

गणना:

दिया गया है:

रेखा 1: \(\frac{1-x}{3} = \frac{7y-14}{2p} = \frac{z-3}{2}\)

रेखा 2: \(\frac{7-7x}{3p} = \frac{y-5}{1} = \frac{6-z}{5}\)

रेखाएँ समकोण पर हैं।

रेखा 1: \(\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{\frac{2p}{7}} = \frac{z-3}{2}\)

रेखा 2: \(\frac{x-1}{-\frac{3p}{7}} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}\)

रेखा 1 के दिक् अनुपात: (-3, \(\frac{2p}{7}\), 2)

रेखा 2 के दिक् अनुपात: (\(\frac{-3p}{7}\), 1, -5)

चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं:

⇒ \((-3)\left(-\frac{3p}{7}\right) + \left(\frac{2p}{7}\right)(1) + (2)(-5) = 0\)

⇒ \(\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} - 10 = 0\)

⇒ \(\frac{11p}{7} = 10\)

⇒\(p = \frac{70}{11}\)

अतः विकल्प 3 सही है। 

गणना

दिया गया है:

रेखाएँ p(p²+1)x - y + q = 0 और (p²+1)²x + (p²+1)y + 2q = 0 एक उभयनिष्ठ रेखा के लंबवत हैं।

तब ये रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर होनी चाहिए।

∴ m₁ = m₂ ⇒ -\(\frac{p(p^2+1)}{-1}\) = -\(\frac{(p^2+1)^2}{p^2+1}\)

⇒ p(p² + 1) = (p² + 1)

⇒ p = 1

अतः विकल्प 1 सही है। 

गणना

रेखा RQ के दिक् अनुपात:

(2-0, -3-(-1), -1-3) = (2, -2, -4) = (1, -1, -2)

प्राचलिक रूप में रेखा RQ का समीकरण:

\(x = 0 + \lambda(1) = \lambda\)

\(y = -1 + \lambda(-1) = -1 - \lambda\)

\(z = 3 + \lambda(-2) = 3 - 2\lambda\)

मान लीजिए कि P से रेखा RQ पर लंब पाद F(\(\lambda\), -1-\(\lambda\), 3-2\(\lambda\)) है।

PF के दिक् अनुपात:

(\(\lambda\)-1, -1-\(\lambda\)-8, 3-2\(\lambda\)-4) = (\(\lambda\)-1, -9-\(\lambda\), -1-2\(\lambda\))

चूँकि PF, RQ पर लंब है, इसलिए उनके दिक् अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:

⇒ 1(\(\lambda\)-1) - 1(-9-\(\lambda\)) - 2(-1-2\(\lambda\)) = 0

⇒ \(\lambda\) - 1 + 9 + \(\lambda\) + 2 + 4\(\lambda\) = 0

⇒ 6\(\lambda\) + 10 = 0

⇒ 6\(\lambda\) = -10

⇒ \(\lambda\) = -10/6 = -5/3

F के निर्देशांक:

\(x = \lambda = -5/3\)

\(y = -1 - \lambda = -1 - (-5/3) = -1 + 5/3 = 2/3\)

\(z = 3 - 2\lambda = 3 - 2(-5/3) = 3 + 10/3 = 19/3\)

∴ लंब पाद के निर्देशांक (-5/3, 2/3, 19/3) हैं।

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

अवधारणा:

किसी रूपांतरण w = T(z) का निश्चर बिंदु z = T(z) द्वारा दिया जाता है।

व्याख्या:

\(\rm w=\frac{2Z-4}{Z+2}\) के निश्चर बिंदु इस प्रकार दिए गए हैं:

\(\rm Z=\frac{2Z-4}{Z+2}\)

⇒ Z² + 2Z = 2Z - 4

⇒ Z² = -4

⇒ Z = ± 2i

(3) सही है।

संकल्पना:

माना कि दो रेखाओं में दिशा अनुपात क्रमशः  a_1, b₁, c₁ और a_2, b₂, c₂ हैं। 

लंबवत रेखाओं के लिए स्थिति:​ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

गणना:

दी गयी रेखाएं \(\frac{{2{\rm{x}} - 2}}{{2{\rm{k}}}} = \frac{{4 - {\rm{y}}}}{3} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 1}}\) और \(\frac{{{\rm{x}} - 5}}{1} = \frac{{\rm{y}}}{{\rm{k}}} = \frac{{{\rm{z}} + 6}}{4}\)  हैं। 

रेखाओं के मानक रूप में एक रेखा का उपरोक्त समीकरण लिखिए। 

\( \Rightarrow \frac{{2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{2{\rm{k}}}} = \frac{{ - \left( {{\rm{y}} - 4} \right)}}{3} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{\rm{k}}} = \frac{{{\rm{y}} - 4}}{{ - 3}} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 1}}\)

इसलिए, पहली रेखा का दिशा अनुपात (k, -3, -1) है। 

\(\frac{{{\rm{x}} - 5}}{1} = \frac{{\rm{y}}}{{\rm{k}}} = \frac{{{\rm{z}} + 6}}{4}\)

इसलिए, दूसरी रेखा का दिशा अनुपात (1, k, 4) है। 

रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,

∴ (k × 1) + (-3 × k) + (-1 × 4) = 0

⇒ k – 3k – 4 = 0

⇒ -2k – 4 = 0

∴ k = -2

संकल्पना:

माना कि दो रेखाओं में दिशा अनुपात क्रमशः a1, b1, c1 और a2, b2, c2 है। 

लंबवत रेखाओं के लिए शर्त: a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

गणना:

दी गयी रेखाएं \(\frac{{{\rm{x}} + 4}}{{2{\rm{}}}} = \frac{{4 - {\rm{y}}}}{-2} = \frac{{{\rm{2z}} - 4}}{{\rm 2k}}\) और\(\frac{{{\rm{x}} +3}}{\rm -k} = \frac{{\rm{y-3}}}{{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{z}} + 1}}{5}\) हैं। 

रेखाओं के मानक रूप में एक रेखा का उपरोक्त समीकरण लिखिए। 

\( \Rightarrow \frac{{{\rm{x}} + 4}}{{2{\rm{}}}} = \frac{-{(\rm y - {\rm{4})}}}{-2} = \frac{2{{(\rm{z}} - 2)}}{{\rm 2k}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {{\rm{x}} +4 } \right)}}{{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{y}} - 4}}{{ 2}} = \frac{{{\rm{z}} - 2}}{{ \rm k}}\)

इसलिए, पहली रेखा का दिशा अनुपात (2, 2, k) है। 

\(\frac{{{\rm{x}} +3}}{\rm -k} = \frac{{\rm{y-3}}}{{\rm{2}}} = \frac{{{\rm{z}} + 1}}{5}\)

इसलिए, दूसरी रेखा का दिशा अनुपात (-k, 2, 5) है। 

रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,

∴ (2 × -k) + (2 × 2) + (k × 5) = 0

⇒ -2k + 4 + 5k = 0

⇒ 3k + 4 = 0

∴ k = -4/3

संकल्पना:

1. रेखा का समीकरण: दिशा अनुपात (a, b, c) के साथ उस रेखा का समीकरण जो बिंदु (x₁, y₁, z₁) से होकर गुजरती है, निम्न सूत्र द्वारा दी गयी है:

\(\rm \frac{{x - x_1}}{a} = \frac{{y - y_1}}{b} = \frac{{z - z_1}}{c}\)

2. माना कि दो रेखाओं में दिशा अनुपात क्रमशः a_1, b₁, c₁ और a_2, b₂, c₂ हैं। 

लंबवत रेखाओं के लिए स्थिति: a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

सूचना: x - अक्ष, y - अक्ष और z - अक्ष का दिशा अनुपात क्रमशः (1, 0, 0), (0, 1, 0) और (0, 0, 1) हैं।

गणना:

दी गयी रेखा  \(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{0} = \frac{{z - 2}}{5}\) है। 

इसलिए, रेखा का दिशा अनुपात (1, 0, 5) है। 

चूँकि हम जानते हैं कि y - अक्ष का दिशा अनुपात (0, 1, 0) है। 

अब, लंबवत रेखाओं की स्थिति को लागू करने पर, 

⇒ 1 × 0 + 0 × 1 + 5 × 0 = 0

अतः y - अक्ष और दी गयी रेखा एक-दूसरे के लंबवत हैं। 

संकल्पना:

माना कि दो रेखाओं में दिशा अनुपात क्रमशः a_1, b₁, c₁ और a_2, b₂, c₂ हैं। 

लंबवत रेखाओं के लिए स्थिति: a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

गणना:

दो रेखाओं का दिशा अनुपात 1, 2, p − 1 और -3, 1, 2 के रूप में दिया गया हैं। 

रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,

∴ 1 × -3 + 2 × 1 + (p – 1) × 2 = 0

⇒ -3 + 2 + 2p – 2 = 0

⇒ 2p = 3

∴ p = 3/2

संकल्पना:

माना कि दो रेखाओं में दिशा अनुपात क्रमशः a_1, b₁, c₁ और a_2, b₂, c₂ हैं। 

लंबवत रेखाओं के लिए स्थिति:​ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

गणना:

दी गयी बिंदु P(1, 2, 3) है। 

माना कि x - अक्ष पर कोई बिंदु Q(k, 0, 0) है, जहाँ k कोई वास्तविक संख्या है। 

इसलिए PQ का दिशा अनुपात (1 – k), (2 – 0), (3 – 0) = (1 – k), 2, 3 हैं। 

हम x - अक्ष के दिशा अनुपात को जानते हैं जो 1, 0, 0 दिया गया है। 

अब रेखा PQ, x - अक्ष पर लंब है। 

⇒ (1 – k) × 1 + 2 × 0 + 3 × 0 = 0

⇒ 1 – k = 0

∴ k = 1

अतः लंब के निचले भाग का निर्देशांक (1, 0, 0) है। 

धारणा:

• यदि दो रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं तो इन रेखाओं के दिशा अनुपात का गुणनफल शून्य होता है।

गणना:

दी गई रेखाएं x = ay + b और z = cy + d हैं

⇒ x – b = ay और z – d = cy

\(\therefore {\rm{\;}}\frac{{{\rm{x}} - {\rm{b}}}}{{\rm{a}}} = {\rm{\;}}\frac{{\rm{y}}}{1} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{z}} - {\rm{d}}}}{{\rm{c}}}\)            …. (1)

रेखा का दिशा अनुपात (a, 1, c) है

फिर से, रेखाएं x = ey + f और z = gy + h हैं

⇒ x – f = ey और z – h = gy

\(\therefore {\rm{\;}}\frac{{{\rm{x}} - {\rm{f}}}}{{\rm{e}}} = {\rm{\;}}\frac{{\rm{y}}}{1} = {\rm{\;}}\frac{{{\rm{z}} - {\rm{h}}}}{{\rm{g}}}\)            …. (2)

रेखा का दिशा अनुपात (e, 1, g) है

दी गई दोनों रेखाएँ लंबवत हैं

∴ (a × e) + (1 × 1) + (c × g) = 0

⇒ ae + 1 + cg = 0

या ae + cg + 1 = 0

अवधारणा:

यदि रेखाओं \(\frac{{x - {x_1}}}{{{a_1}}} = \frac{{y - {y_1}}}{{{b_1}}} = \frac{{z - {z_1}}}{{{c_1}}}\;and\frac{{x - {x_2}}}{{{a_2}}} = \frac{{y - {y_2}}}{{{b_2}}} = \frac{{z - {z_2}}}{{{c_2}}}\) के बीच का कोण 90° है, जहाँ a1, b1, c1, a2, b2 और c2 दिशा अनुपात हैं, तो

a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 0

गणना:

दिया हुआ: दो रेखाओं का समीकरण है\(\frac{{1 - x}}{3} = \frac{{7y - 14}}{{2k}} = \frac{{z - 3}}{2}\;and\frac{{7 - 7x}}{{3k}} = \frac{{5 - y}}{1} = \frac{{6 - z}}{5}\)

दिए गए समीकरण को फिर से इसप्रकार लिखा जा सकता है:

\(⇒ \frac{{x - 1}}{{ - \;3}} = \frac{{y - 2}}{{\frac{{2k}}{7}}} = \frac{{z - 3}}{2}\;\ and \ \frac{{x - 1}}{{\frac{{ - \;3k}}{7}}} = \frac{{y - 5}}{{ - \;1}} = \frac{{z - 6}}{{ - \;5}}\)

दी गई रेखाओं के दिशा अनुपात हैं: 

⇒ a1 = - 3, b1 = 2k/7, c1 = 2, a2 = - 3k/7, b2 = - 1 और c2 = - 5

∵ दी गई रेखाएं एक-दूसरे के लिए लंबवत हैं

जैसा कि हम जानते हैं कि यदि दो रेखाएं एक-दूसरे के लिए लंबवत हैं then a1 ⋅ a2 + b1 ⋅ b2 + c1 ⋅ c2 = 0

⇒ \({a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = \; - 3 \cdot \frac{{ - \;3k}}{7} + \left( {\frac{{2k}}{7}} \right) \cdot \left( { - \;1} \right) + 2 \cdot \left( { - \;5} \right) = 0\)

⇒ k = 10

संकल्पना:

निर्देशांक अक्ष समतल को चार बराबर भागों में विभाजित करता है।

1. पहला चतुर्थांश: (+, +)

2. दूसरा चतुर्थांश: (-, +)

3. तीसरा चतुर्थांश: (-, -)

4. चौथा चतुर्थांश: (+, -)

गणना:

प्रश्न के अनुसार वर्ग की भुजा 3 इकाई है। इसलिए,

ऋणात्मक x-अक्ष के साथ आसन्न भुजाओं में से एक के साथ दो संभावित वर्ग हैं

स्पष्ट रूप से, हम देख सकते हैं कि वर्ग के संभावित निर्देशांक हैं

स्थिति 1: (0, 0), (-3, 0), (-3, 3) और (0, 3)

स्थिति 1: (0, 0), (-3, 0), (-3, -3) और (0, -3)

इसलिए, निर्देशांक (0, -3) और (3, 0) संभव नहीं हैं क्योंकि बिंदु (3, 0) धनात्मक x-अक्ष से संबंधित है।

अत: विकल्प 3 सही है।

गणना

दिया गया है:

रेखाएँ p(p²+1)x - y + q = 0 और (p²+1)²x + (p²+1)y + 2q = 0 एक उभयनिष्ठ रेखा के लंबवत हैं।

तब ये रेखाएँ एक-दूसरे के समांतर होनी चाहिए।

∴ m₁ = m₂ ⇒ -\(\frac{p(p^2+1)}{-1}\) = -\(\frac{(p^2+1)^2}{p^2+1}\)

⇒ p(p² + 1) = (p² + 1)

⇒ p = 1

अतः विकल्प 1 सही है। 

संकल्पना:

माना कि दो रेखाओं में दिशा अनुपात क्रमशः  a_1, b₁, c₁ और a_2, b₂, c₂ हैं। 

लंबवत रेखाओं के लिए स्थिति:​ a₁a₂ + b₁b₂ + c₁c₂ = 0

गणना:

दी गयी रेखाएं \(\frac{{2{\rm{x}} - 2}}{{2{\rm{k}}}} = \frac{{4 - {\rm{y}}}}{3} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 1}}\) और \(\frac{{{\rm{x}} - 5}}{1} = \frac{{\rm{y}}}{{\rm{k}}} = \frac{{{\rm{z}} + 6}}{4}\)  हैं। 

रेखाओं के मानक रूप में एक रेखा का उपरोक्त समीकरण लिखिए। 

\( \Rightarrow \frac{{2\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{2{\rm{k}}}} = \frac{{ - \left( {{\rm{y}} - 4} \right)}}{3} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \frac{{\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{\rm{k}}} = \frac{{{\rm{y}} - 4}}{{ - 3}} = \frac{{{\rm{z}} + 2}}{{ - 1}}\)

इसलिए, पहली रेखा का दिशा अनुपात (k, -3, -1) है। 

\(\frac{{{\rm{x}} - 5}}{1} = \frac{{\rm{y}}}{{\rm{k}}} = \frac{{{\rm{z}} + 6}}{4}\)

इसलिए, दूसरी रेखा का दिशा अनुपात (1, k, 4) है। 

रेखाएं एक-दूसरे के लंबवत हैं,

∴ (k × 1) + (-3 × k) + (-1 × 4) = 0

⇒ k – 3k – 4 = 0

⇒ -2k – 4 = 0

∴ k = -2