Types of Functions MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Types of Functions - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

गणना

\(f(x)=\frac{2^{2 x}-1}{2^{2 x}+1}\)

= \(1-\frac{2}{2^{2 x}+1}\)इनवर्टिबल फंक्शन

\(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\frac{2}{\left(2^{2 \mathrm{x}}+1\right)^{2}} \cdot 2 \cdot 2^{2 \mathrm{x}} \cdot \ln 2 \text { अर्थात हमेशा }+\mathrm{ve}\)

इसलिए f(x) एक वर्धमान फलन है

∴ f(-∞) = -1

f(∞) = 1

∴ f(x) ∈ (-1, 1) ≠ सहप्रांत

इसलिए फलन एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं

इसलिए विकल्प 1 सही है

गणना:

दिया गया है:

f: [0, \(\frac{\pi}{2}\)] → R, f(x) = sin x

g: [0, \(\frac{\pi}{2}\)] → R, g(x) = cos x

(f+g)(x) = f(x) + g(x) = sin x + cos x

आइए अंतराल [0, \(\frac{\pi}{2}\)] में फलन h(x) = sin x + cos x का विश्लेषण करें।

⇒ h(0) = sin 0 + cos 0 = 0 + 1 = 1

⇒ h(\(\frac{\pi}{2}\)) = sin \(\frac{\pi}{2}\) + cos \(\frac{\pi}{2}\) = 1 + 0 = 1

चूँकि h(0) = h(\(\frac{\pi}{2}\)), f+g एकैकी नहीं है।

(fg)(x) = f(x) * g(x) = sin x * cos x = \(\frac{1}{2}\) sin 2x

आइए अंतराल [0, \(\frac{\pi}{2}\)] में फलन k(x) = \(\frac{1}{2}\) sin 2x का विश्लेषण करें।

⇒ k(0) = \(\frac{1}{2}\) sin 0 = 0

⇒ k(\(\frac{\pi}{2}\)) = \(\frac{1}{2}\) sin π = 0

चूँकि k(0) = k(\(\frac{\pi}{2}\)), fg एकैकी नहीं है।

f + g एकैकी नहीं है और fg एकैकी नहीं है।

इसलिए, विकल्प 3 सही है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

एक द्विघात फलन एक प्रतिबंधित प्रांत पर एक एकैकी आच्छादन (एकैकी और आच्छादक) होता है यदि वह उस प्रांत पर निरंतर वर्धमान है या निरंतर ह्रासमान है। इस प्रतिबंधित प्रांत पर फलन की परास, दिए गए सहप्रांत से भी सुमेलित होना चाहिए।

गणना

\(f(x)\) = \(2x^2 - 3x + 5\)

⇒ \(f'(x) = 4x - 3\)

\(f'(x) = 0\) रखने पर, हम क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं:

⇒ \(4x - 3 = 0\)

⇒ \(x = \frac{3}{4}\)

\(x < \frac{3}{4}\) के लिए, \(f'(x) < 0\) है, इसलिए \(f(x)\) निरंतर ह्रासमान है।

\(x > \frac{3}{4}\) के लिए, \(f'(x) > 0\) है, इसलिए \(f(x)\) निरंतर वर्धमान है।

चूँकि \(f(x)\) को \([a, \infty)\) से \([b, \infty)\) तक एक एकैकी आच्छादन के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए यह \([a, \infty)\) पर निरंतर वर्धमान होना चाहिए।

∴ \(a = \frac{3}{4}\)

⇒ \(f(a) = f(\frac{3}{4}) = 2(\frac{3}{4})^2 - 3(\frac{3}{4}) + 5\)

⇒ \(f(\frac{3}{4}) = 2(\frac{9}{16}) - \frac{9}{4} + 5 = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{40}{8} = \frac{31}{8}\)

∴ \(b = \frac{31}{8}\)

⇒ \(3a + 2b = 3(\frac{3}{4}) + 2(\frac{31}{8}) = \frac{9}{4} + \frac{31}{4} = \frac{40}{4} = 10\)

इसलिए, विकल्प 2 सही है। 

संकल्पना:

यदि f(x) विषम फलन है तो f(-x) = -f(x)

गणना:

दिया गया: f(x) = x2 + 4x + 4

x को -x से बदलें,

⇒ f(-x) = (-x)2 + 4(-x) + 4

= x2 - 4x + 4                       (∵ (-x)2 = x2)

⇒ f(-x) ≠ ± f(x)

इसलिए फलन न तो विषम है और न ही सम।

संकल्पना:

यदि f(x) विषम फलन है तो f(-x) = -f(x)

गणना:

दिया गया: f(x) = |x| + 4

x को -x से बदलें,

⇒ f(-x) = |-x| + 4 

= |x| + 4                       (∵ |-x| = |x|)

⇒ f(-x) = f(x)

इसलिए फलन सम है।

संकल्पना:

• एक फलन f(x) निम्न है:
  • यदि f(-x) = f(x) है, तो सम फलन होता है। 
  • यदि f(-x) = -f(x) है, तो विषम फलन होता है। 
  • यदि कुछ संख्या p और n ∈ Z के लिए f(np ± x) = f(x) है, तो आवधिक फलन है। 
  log a + log b = log (ab).
• log 1 = 0.

गणना:

हमारे पास \(\rm f(x)=\log \left(x+\sqrt{x^2 + 1}\right)\) है। 

⇒ \(\rm f(-x)=\log \left(-x+\sqrt{x^2 + 1}\right)\).

अब,\(\rm f(x)+f(-x)=\log \left(x+\sqrt{x^2 + 1}\right)+\log \left(-x+\sqrt{x^2 + 1}\right)\)

= \(\rm \log \left[\left(x+\sqrt{x^2 + 1}\right)\left(-x+\sqrt{x^2 + 1}\right)\right]\)

= \(\rm \log \left[\left(\sqrt{x^2 + 1}\right)^2-x^2\right]\)

= \(\rm \log1\)

= 0

⇒ f(-x) = -f(x)

∴ f(x) एक विषम फलन है। 

व्याख्या:

दिया गया है: f(x) = 4x + 1 और g(x) = kx + 2 जैसा कि fog(x) = gof(x)

fog(x) = f(g(x)) = 4g(x) + 1

⇒ fog(x) = 4(kx + 2) + 1 = 4kx + 9  __-(i)

और gof(x) = g(f(x)) = kf(x) + 2

⇒ gof(x) = k(4x + 1) + 2 = 4kx + k + 2 __(ii)

चूँकि fog(x) = gof(x), इसलिए (i) और (ii) को बराबर रखने पर,

⇒ 4kx + 9 = 4kx + k + 2

⇒ 9 = k + 2 

⇒ k = 7

∴ सही विकल्प (1) है।

संकल्पना:

आच्छादक फलन -

X से Y तक एक फलन f केवल आच्छादक (या आच्छादी) तब होता है यदि प्रत्येक तत्व y ∈ Y के लिए f(x) = y के साथ एक तत्व x ∈ X है। 

शब्दों में: "f के सह-डोमेन में प्रत्येक तत्व में एक पूर्व-छवि है"

गणितीय विवरण: f : X →Y आच्छादक है ⇔ \(\rm \forall \) y \(\rm \exists \)x, f(x) = y 

एकैक संगतता

एक फलन f एकैक संगतता (या एकैक आच्छादन) केवल तब होता है यदि यह एकैक और आच्छादक दोनों होता है। 

शब्दों में: "f के सह-डोमेन में किसी भी तत्व में दो (या अधिक) पूर्व छवियां नहीं है" (एकैक) और "f के सह-डोमेन में प्रत्येक तत्व में पूर्व-छवि" (आच्छादक) है। 

गणना:

1. f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित एक फलन f : Z → Z एकैक व आच्छादक फलन है। 

f(x) = x + 1,

f(x1) की गणना करने पर:

 f(x1) = x1 + 1

f(x2) की गणना करने पर:

 f(x2) = x2 + 1

अब, f(x1) = f(x2) 

⇒ x1 + 1 =  x2 + 1

⇒ x1 =  x2 

इसलिए, f एकैक फलन है। 

माना कि f(x) = y है। 

y = x + 1

x = y - 1

f(y-1) = y - 1 + 1 = y

f आच्छादक है। 

2. f(x) = x + 1 द्वारा परिभाषित एक फलन f : N → N एकैक है लेकिन आच्छादक नहीं है। 

f(x) = x + 1,

f(x₁) की गणना करने पर:

 f(x1) = x₁ + 1

f(x₂) की गणना करने पर:

 f(x₂) = x₂ + 1

अब, f(x1) = f(x2) 

⇒ x1 + 1 =  x2 + 1

⇒ x1 =  x2 

इसलिए, f एकैक फलन है। 

स्पष्ट रूप से, सभी x ∈ N के लिए f(x) = x + 1 ≥ 2 

इसलिए, f(x) मान 1 नहीं लेता है। 

f आच्छादक फलन नहीं है। 

अतः 1 और 2 दोनों सही हैं।

अवधारणा:

फलन f(x) एकैकी फलन को बताता है यदि

f(a) = f(b) ⇒ a = b, प्रत्येक a, b के लिए

गणना:

फलन f(x) एकैकी फलन बताता है यदि

f (a) = f (b) ⇒ a = b, प्रत्येक a, b के लिए

सह-डोमेन {1, 2, 3} पर विचार करें।

'1' का संबंध 5 में से किसी भी संख्या से हो सकता है।
'2' को अन्य चार संख्याओं में से किसी एक के साथ जोड़ा जा सकता है क्योंकि '1' पहले से ही उनमें से एक से जुड़ा हुआ है।
हमें 2 को जोड़ने के लिए 4 विकल्पों के साथ छोड़ना होता है।

अंत में '3' को शेष 3 संख्याओं के साथ जोड़ा जा सकता है।
इसलिए ऐसा करने के तरीकों की कुल संख्या =5 × 4 × 3
= 60

इसलिए {1, 2, 3} से {1, 2, 3, 4, 5} तक एकैकी फलनों की संख्या 60 है।

संकल्पना:

एकैक फलन/एकैकी फलन:

एक फलन f: A → B को एकैक फलन तब कहा जाता है, यदि A के अलग-अलग तत्वों की अलग-अलग छवि होती है या वे B के अलग-अलग तत्वों के साथ संबंधित होती है अर्थात् 

f (x1) = f (x2) ⇒  x1 = x2 ∀ x1, x2 ∈ A.

आच्छादक फलन/आच्छादी फलन:

किसी फलन f: A → B को आच्छादक फलन तब कहा जाता है यदि B के प्रत्येक तत्व की कम से कम एक पूर्व-छवि A में होती है। 

अर्थात् यदि फलन f की सीमा = फलन f का सह-डोमेन है, तो f आच्छादक फलन है।

गणना:

f: N → N, f(x) = x + 1 द्वारा दिया गया एक फलन है। 

माना कि x₁, x₂ ∈ N है। 

अब, f(x₁) = f(x₂)

⇒ x₁ + 1 = x₂ + 1

∴ x₁ = x₂

इसलिए, दिया गया फलन एकैक फलन है। 

दिया गया फलन रैखिक है और यह N → N पर परिभाषित है। 

इसलिए फलन की सीमा एक प्राकृतिक संख्या {1 के सिवाय} है। 

इसलिए सह-डोमेन ≠  सीमा 

अतः दिया गया फलन आच्छादक नहीं है। 

संकल्पना:

एकैक फलन/एकैकी फलन:

एक फलन f: A → B को एकैक फलन तब कहा जाता है, यदि A के अलग-अलग तत्वों की अलग-अलग छवि होती है या वे B के अलग-अलग तत्वों के साथ संबंधित होती है अर्थात् 

f (x1) = f (x2) ⇒  x1 = x2, ∀ x1, x2 ∈ A.

आंतरिक आच्छादक फलन:

किसी फलन f: A → B को आंतरिक आच्छादक फलन तब कहा जाता है यदि B में कम से कम एक ऐसा तत्व मौजूद होता है जिसमें A की पूर्व-छवि नहीं होती है, तो फलन f को आंतरिक आच्छादक फलन कहा जाता है। 

अर्थात् यदि फलन f की सीमा ⊂ फलन f का सह-डोमेन है, तो f आंतरिक आच्छादक फलन है। 

बहु-एक फलन:

किसी फलन f: A → B को बहु-एक फलन तब कहा जाता है, यदि A के दो (या दो से अधिक) अलग-अलग तत्वों में B के समान छवि होती है। 

आच्छादक फलन/आच्छादी फलन:

किसी फलन f: A → B को आच्छादक फलन तब कहा जाता है यदि B के प्रत्येक तत्व की कम से कम एक पूर्व-छवि A में होती है। 

अर्थात् यदि फलन f की सीमा = फलन f का सह-डोमेन है, तो f आच्छादक फलन है।

गणना:

दिया गया है: f: R → R एक फलन इस प्रकार है जिससे \(f\left( x \right) = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1,\;if\;x > 0}\\ {0,\;if\;x = 0}\\ { - \;1,\;if\;x < 0} \end{array}} \right.\)  है। 

माना किx₁ = 1 और x₂ = 2 है। 

अब फलन की परिभाषा के अनुसार हमारे पास निम्न है

⇒ f(x₁) = 1 और f(x₂) = 1

इसलिए, हम देख सकते हैं कि, f(x1) = f(x₂) है लेकिन x₁ ≠ x₂ है। 

इसलिए, दिया गया फलन बहु-एक फलन है। 

चूँकि हम देख सकते हैं कि दिए गए फलन की सीमा {- 1, 0, 1} ⊂ R है। 

इसलिए, दिया गया फलन आंतरिक आच्छादक फलन है। 

अतः दिया गया फलन बहु-एक और आंतरिक आच्छादक फलन है। 

अवधारणा:

एकैकी फलन / एकैक फलन:

एक फलन f : A → B एकैकी फलन होगा यदि  A के अलग अलग अवयवों का फलन  B में अलग अलग प्रतिबिम्ब हो 

i.e यदि f (x1) = f (x2) ⇒ x1 = x2, ∀ x1, x2 ∈ A

आच्छादक फलन / आच्छादी फलन

एक फलन f : A → B एक आच्छादक फलन होगा यदि B के प्रत्येक अवयव का A में कम से कम एक पूर्व प्रतिबिम्ब हो ।

एकैकी आच्छादी फलन :

एक फलन f : A → B एकैकी आच्छादी फलन होगा यदि वह एकैकी और आच्छादक दोनों है।

गणना:

दिया गया है: f : N → N और f (x) = x + 1 द्वारा परिभाषित है।

एकैकी फलन:

मान लीजिये f (x1) = f (x2)

⇒ x1 + 1 = x2 + 1

⇒ x1 = x2

इसलिए दिया गया फलन एकैकी फलन है।

आच्छादक फलन:

मान लीजिये y = f(x) = x + 1

⇒ x = y -1

परन्तु यदि  y = 1 ∈ N तब x = 0 ∉ N.

इसलिए सह-प्रांत के सभी अवयवों अर्थात N का प्रांत में कोई पूर्व प्रतिबिम्ब नही है। अर्थात N.

इसलिए दिया गया फलन आच्छादक फलन नही है।

संकल्पना:

एकैक फलन: फलन f: A → B एकैक फलन तब होता है यदि सीमा B के प्रत्येक तत्व डोमेन A के ठीक एक तत्व से संबंधित होते हैं। 

गणना:

माना कि f(x₁) = f(x₂) है। 

⇒ 2x₁ = 2x₂

⇒ x₁ = x₂

अतः दिया गया फलन एकैक फलन है। 

Additional Information

• एकैक/एकैकी फलन: यह वह फलन है जो अपनी सीमा के अलग-अलग तत्वों के लिए अपने डोमेन के अलग-अलग तत्वों को प्रतिचित्रित करता है। 
• आच्छादक/आच्छादी फलन: यह वह फलन है जिसमें डोमेन के प्रत्येक तत्व की कम से कम एक छवि डोमेन में होती है। 
• एकैक आच्छादक/एकैकी आच्छादी फलन: यह वह फलन है जो एकैक और आच्छादक दोनों होता है अर्थात् डोमियन का प्रत्येक तत्व सीमा के ठीक एक तत्व के साथ युग्मित होता है, और सीमा का प्रत्येक तत्व डोमेन के ठीक एक तत्व के साथ युग्मित होता है। 
• यदि एक समुच्चय S में n तत्व है, तो S से S तक फलन की कुल संख्या nn है। 
• यदि एक समुच्चय में n तत्व हैं, तो S से S तक एकैक आच्छादक फलन की कुल संख्या n! है। 
• m तत्वों वाले समुच्चय से n तत्वों वाले समुच्चय तक एकैकी फलन की कुल संख्या: n × (n -1) × (n - 2) × … × (n - m + 1) = ⁿP_m है।