టాంజెంట్లపై సిద్ధాంతాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Theorem on Tangents - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

గణన:

r1 = 32 సెం.మీ మరియు r2 = 20 సెం.మీ మరియు కేంద్రాల మధ్య దూరం = D = 60 సెం.మీ.

ప్రత్యక్ష సాధారణ టాంజెంట్ పొడవు = √(602 – (32 – 20)2 ) = √3456

విలోమ సాధారణ టాంజెంట్ పొడవు = √(602 – (32 + 20)2 ) = √896

అవసరమైన నిష్పత్తి = √3456 : √896

సంఖ్యను √128తో భాగించండి

⇒ 3√3 : √7

∴ T ఈ వృత్తాలకు ప్రత్యక్ష సాధారణ టాంజెంట్ యొక్క పొడవు మరియు విలోమ సాధారణ టాంజెంట్ యొక్క పొడవు యొక్క నిష్పత్తి 3√3 : √7.

ఇవ్వబడింది:

M కేంద్రాలు గా వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం = 5 సెం.మీ

N కేంద్రాలు గా వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం = 8 సెం.మీ

స్పర్శరేఖ PQ = 12 సెం.మీ

స్పర్శరేఖ RS = 15 సెం.మీ

వృత్తాలు T అనే బిందువు వద్ద బాహ్యంగా స్పృశించుకుంటాయి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

PM మరియు NR లను కనుగొనడానికి పైథాగోరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించండి:

PM² = PQ² + MQ²

NR² = RS² + NS²

PR యొక్క మొత్తం పొడవు = PM + MN + NR

గణనలు:

PM కొరకు:

PM² = 12² + 5²

⇒ PM² = 144 + 25

⇒ PM² = 169

⇒ PM = √169 = 13 సెం.మీ

NR కొరకు:

NR² = 15² + 8²

⇒ NR² = 225 + 64

⇒ NR² = 289

⇒ NR = √289 = 17 సెం.మీ

ఇప్పుడు, M మరియు N మధ్య దూరం:

MN = 5 సెం.మీ + 8 సెం.మీ = 13 సెం.మీ

PR యొక్క మొత్తం పొడవు:

PR = PM + MN + NR

⇒ PR = 13 సెం.మీ + 13 సెం.మీ + 17 సెం.మీ = 43 సెం.మీ

∴ PR పొడవు 43 సెం.మీ.

ఇచ్చినవి:

A బిందువు నుండి వృత్తానికి స్పర్శరేఖ గీయబడింది, అది వృత్తాన్ని B బిందువు వద్ద స్పృశిస్తుంది.

A బిందువు నుండి వృత్తానికి ఒక సెకెంట్ కూడా గీయబడింది, అది వృత్తాన్ని C మరియు D బిందువుల వద్ద ఖండిస్తుంది.

AB = 42 సెం.మీ (స్పర్శరేఖ విభాగం)

AC = 21 సెం.మీ (A నుండి C కి సెకెంట్ విభాగం)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

బిందువు శక్తి సిద్ధాంతం ఇలా పేర్కొంటుంది:

ఒక బిందువు నుండి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖ విభాగం (AB) యొక్క వర్గం అదే బిందువు నుండి గీసిన సెకెంట్ (AC మరియు AD) విభాగాల పొడవుల లబ్ధానికి సమానం.

AB² = AC x AD

గణన:

AD అనేది A నుండి D కి సెకెంట్ విభాగం యొక్క పొడవు అని అనుకుందాం.

బిందువు శక్తి సిద్ధాంతం ప్రకారం:

AB² = AC x AD

42² = 21 x AD

1764 = 21 x AD

AD = 1764 / 21

AD = 84 సెం.మీ

CD = AD - AC

CD = 84 సెం.మీ - 21 సెం.మీ

CD = 63 సెం.మీ

AB మరియు CD ల మధ్య నిష్పత్తి:

AB : CD = 42 : 63

నిష్పత్తిని సరళీకరించండి:

42 / 21 : 63 / 21

2 : 3

AB మరియు CD ల మధ్య నిష్పత్తి 2 : 3.

ఇచ్చినవి:

3 సెం.మీ మరియు 2 సెం.మీ వ్యాసార్థాలు కలిగిన రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం 13 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు =

ఇక్కడ,

d = రెండు వృత్తాల కేంద్రాల మధ్య దూరం

r₁ = మొదటి వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం

r₂ = రెండవ వృత్తం యొక్క వ్యాసార్థం

గణన:

d = 13 సెం.మీ

r₁ = 3 సెం.మీ

r₂ = 2 సెం.మీ

⇒ తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు =

⇒ తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు =

⇒ తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు =

⇒ తిర్యక్ ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు = 12 సెం.మీ

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (4).

ఇచ్చినవి:

మొదటి వృత్తం వ్యాసార్థం (r₁) = 14 సెం.మీ

రెండవ వృత్తం వ్యాసార్థం (r₂) = 5 సెం.మీ

కేంద్రాల మధ్య దూరం (d) = 40 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు = √(d² - (r₁ - r₂)²)

గణన:

ఇచ్చిన విలువలను సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించండి:

ఉమ్మడి స్పర్శరేఖ పొడవు = √(40² - (14 - 5)²)

⇒ పొడవు = √(1600 - 9²)

⇒ పొడవు = √(1600 - 81)

⇒ పొడవు = √1519

సరైన సమాధానం √1519.

భావన:

వ్యాసార్థం స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది

చతుర్భుజం యొక్క అన్ని కోణాల మొత్తం = 360°

గణన:

PA మరియు PB అనేది బాహ్య బిందువు P నుండి వృత్తానికి గీసిన స్పర్శరేఖలు.

∠OAP = ∠OBP = 90° (వ్యాసార్థం స్పర్శ బిందువు వద్ద స్పర్శరేఖకు లంబంగా ఉంటుంది)

ఇప్పుడు, చతుర్భుజ OAPBలో,

∠APB + ∠OAP + ∠AOB + ∠OBP = 360°

75° + 90 ° + ∠AOB + 90° = 360°

∠AOB = 105°

ఈ విధంగా, OA మరియు OB అనే రెండు వ్యసార్దాల మధ్య కోణం 105°

మనకు తెలుసు, 

ప్రత్యక్ష సాధారణ స్పర్శ రేఖ యొక్క పొడవు = √[d2 - (R - r)2]

ఇక్కడ d అనేది కేంద్రాల మధ్య దూరం మరియు R మరియు r అనేవి వృత్తాల వ్యాసార్థాలు.

PQ = √[(R + r)2 - (R - r)2]

⇒ PQ = √[R2 + r2 + 2Rr - (R2 + r2 - 2Rr)]

⇒ PQ = √4Rr

⇒ PQ2 = 4Rr

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

LC = 6, CD = 11, LB = 4 మరియు AB = x

ఉపయోగించిన సూత్రం:

LC × LD = LB × AL

సాధన:

ప్రశ్న ప్రకారం

LC × LD = LB × AL

6 × (6 + 11) = 4 × (4 + x)

⇒ 4 + x = 51/2

⇒ 4 + x = 25.5

⇒ x = AB = 21.5

∴ AB యొక్క పొడవు 21.5 సెం.మీ.

⇒ ∠BOA = 90°

⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°

ΔABO లో,

⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°

సరళ రేఖ స్పర్శరేఖ సిద్ధాంతం ప్రకారం,

⇒ CD² = AD × BD

⇒ 8 × 8 = (12 + BD) × BD

⇒ 12BD + BD² = 64

⇒ BD² + 16BD – 4BD – 64 = 0

⇒ BD(BD + 16) – 4(BD + 16) = 0

∴ BD = 4 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

టాంజెంట్ సెకెంట్ సిద్ధాంతం ప్రకారం

DE 2 = DB × DA

గణన:

DB × DA = DE2

⇒ DB × (5 + DB) = 62

⇒ DB × (5 + DB) = 36

⇒ 5DB + DB2 = 36

⇒ DB2 + 5DB - 36 = 0

పై వర్గ సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం,

DB = (-9) లేదా DB = 4

పొడవు ప్రతికూలంగా ఉండకూడదు కాబట్టి, DB = 4 సెం.మీ

∴ DB పొడవు 4 సెం.మీ.

 Shortcut Trick

DB × (5 + DB) = 36

ఎంపికలను తనిఖీ చేయడం ద్వారా, మేము ఈ సమీకరణాన్ని తక్కువ సమయంలో పరిష్కరించగలము

అందువలన, ఎంపిక 03 సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది

∴ DB పొడవు 4 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది :

XYZ మరియు ZT ఒకే వృత్తానికి వరుసగా ఖండన రేఖ మరియు స్పర్శ రేఖగా ఉన్నాయి

ZT = 6 సెం.మీ., ZY = 4 సెం.మీ మరియు YX = x సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

YZ × XZ = ZT2 (ZXY అనేది ఒక వృత్తాన్ని Y మరియు X ల వద్ద కలిసే ఖండన రేఖ మరియు ZT అనేది అదే వృత్తానికి స్పర్శ రేఖ అయితే)

గణన:

4 × (YZ + XY) = 62

⇒ 4 ×  (4 + x) = 36 

⇒ 4 + x = 9 

⇒ x = 5 

∴ x పొడవు 5 సెం.మీ

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

∠PTQ = 50°

భావన:

వృత్తం యొక్క కేంద్రం నుండి టాంజెన్సీ బిందువు వరకు వ్యాసార్థం స్పర్శరేఖ రేఖకు లంబంగా ఉంటుంది.

సాధన:

∠PTQ + ∠POQ + ∠OPT + ∠OQT = 360°

⇒ 50° + ∠POQ + 90° + 90° = 360°

⇒ ∠POQ = 360° - 230°

⇒ ∠POQ = 130°

ఇప్పుడు, ∠TOQ = ∠POQ/2

⇒ ∠TOQ = 130°/2

⇒ ∠TOQ = 65°

∴ ∠ TOQ విలువ 65°.

ఇచ్చిన:

O కేంద్రంగా కలిగిన వృత్తానికి PA మరియు PB అనే స్పర్శరేఖలు.

∠PAB= 55°

కాన్సెప్ట్:

ఒకే బాహ్య బిందువు నుండి గీసిన స్పర్శరేఖలు పొడవులో సమానంగా ఉంటాయి.

స్పర్శ బిందువు వద్ద వ్యాసార్థానికి స్పర్శరేఖ లంబంగా ఉంటుంది.

గణన:

∵ ∠PAB = 55°

∴ ∠PBA = 55° (PA = PB)

PAB త్రిభుజంలో,

∠APB + ∠PAB + ∠PBA = 180° (కోణ మొత్తం నియమం)

⇒ ∠P + 55° + 55° = 180°

⇒ ∠P = 70°

అలాగే, ∠AOB + ∠APB = 180° (చతుర్భుజం యొక్క అన్ని కోణాల మొత్తం 360° & ∠P = ∠B = 90°)

⇒ ∠AOB = 180° - 70° = 110

∴ ∠AOB యొక్క కొలత = 110° 

ప్రశ్న ప్రకారం,

DE² = AD × BD

⇒ DE² = (AB + BD) × BD

⇒ DE² = (9 + 3) × 3

⇒ DE² = 36

⇒ DE = 6

∴ DE పొడవు = 6 సెం.మీ