एक पूरी तरह से भरे हुए विमान का द्रव्यमान 3 × 10⁵ किग्रा होता है। कुल पंख क्षेत्रफल 300 m2 है। यदि यह 900 किमी/घंटा की गति के साथ समतल उड़ान में है, तो निचली सतह के सापेक्ष पंख की ऊपरी सतह पर हवा की गति के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए। (हवा का घनत्व = 1 kg/m³ और g = 10 मीटर/सेकंड² लें)

संकल्पना:

बर्नौली का सिद्धांत:

• गतिमान द्रव की कुल यांत्रिक ऊर्जा जिसमें उन्नयन की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा, द्रव के दबाव से जुड़ी ऊर्जा और द्रव गति की गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।
• बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,

\(⇒ P_1+\frac{1}{2}ρ v_1^2+ρ gh_1=P_2+\frac{1}{2}ρ v_2^2+ρ g{h_2}\)

जहां P1, v1, और h1 = दबाव, वेग, और बिंदु 1 की ऊंचाई क्रमशः P2, v2, और h2 = क्रमशः दबाव, वेग और बिंदु 2 की ऊंचाई, ρ = बहने वाले तरल पदार्थ का घनत्व, और g = गुरुत्वाकर्षण त्वरण

गतिशील लिफ्ट:

• गतिशील लिफ्ट वह बल है जो किसी तरल पदार्थ के माध्यम से अपनी गति के आधार पर निकाय पर कार्य करता है, जैसे कि हवाई जहाज का पंख, हाइड्रोफॉइल या कताई गेंद।
• क्रिकेट, टेनिस, बेसबॉल या गोल्फ जैसे कई खेलों में, हम देखते हैं कि एक कताई गेंद हवा के माध्यम से अपने परवलयिक प्रक्षेपवक्र से विचलित हो जाती है।
• इस विचलन को बर्नौली के सिद्धांत के आधार पर आंशिक रूप से समझाया जा सकता है।

एयरक्राफ्ट पंख पर एयरोफॉयल या लिफ्ट:

• चित्र c एक एयरोफॉयल दिखाता है, जो हवा के माध्यम से क्षैतिज रूप से चलने पर ऊपर की ओर गतिशील लिफ्ट प्रदान करने के लिए एक ठोस टुकड़ा है।
• एक हवाई जहाज के पंखों का अनुप्रस्थ काट कुछ हद तक एयरोफॉयल जैसा दिखता है जिसके चारों ओर स्ट्रीमलाइन होती है।
• जब एयरोफॉयल हवा के खिलाफ चलता है, तो प्रवाह की दिशा के सापेक्ष पंख का उन्मुखीकरण स्ट्रीमलाइन को पंख के ऊपर एक साथ भीड़ के नीचे की तुलना में अधिक भीड़ का कारण बनता है।
• इसलिए शीर्ष पर प्रवाह की गति इसके नीचे की तुलना में अधिक है।
• इस प्रकार एक ऊपर की ओर बल जिसके परिणामस्वरूप पंखों की एक गतिशील लिफ्ट होती है और यह विमान के वजन को संतुलित करती है।

गणना:

मान लीजिए P₁ = पंख के नीचे दबाव, v₁ = पंख के नीचे हवा का वेग, P2 = पंख के ऊपर दबाव, और v2 = पंख के ऊपर हवा का वेग

दिया गया है m = 3 × 105 kg, A = 300 m2, v = 900 किमी/घंटा = 250 मीटर/सेकंड, h1 = h2, ρ = 1 kg/m3, और g =10 मीटर/सेकंड 2

• हम जानते हैं कि वायुयान का भार दाब अंतर के कारण ऊपर की ओर बल द्वारा संतुलित होता है, इसलिए हम कह सकते हैं,

⇒ (P1 - P2)A = mg

\(⇒ P_1-P_2=\frac{3×10^5×10}{{300}}\)

⇒ (P1 - P2) = 104 N/m2     -----(1)

• यदि समतल उड़ान की गति v है, तो हम इस प्रकार लिख सकते हैं,

\(⇒ v=\frac{v_1+v_2}{{2}}\) -----(2)

• विंग के नीचे और ऊपर के लिए बर्नौली के समीकरण द्वारा,

\(⇒ P_1+\frac{1}{2}ρ v_1^2+ρ gh_1=P_2+\frac{1}{2}ρ v_2^2+ρ g{h_2}\)

\(⇒ \frac{1}{2}ρ (v_2^2-v_1^2)={(P_1-P_2)}\)

\(⇒ \rho(v_2-v_1)\left ( \frac{v_2+v_1}{2} \right )={(P_1-P_2)}\) -----(3)

समीकरण 1, समीकरण 2 और समीकरण 3 से,

\(⇒ 1×(v_2-v_1)×250={(P_1-P_2)}\)

⇒ 1 × (v2 - v1) × 250 = 104

⇒ (v2 - v1) = 40 मीटर/सेकंड

• अत: विकल्प 2 सही है।