Bernoulli’s Equation MCQ Quiz in हिन्दी - Objective Question with Answer for Bernoulli’s Equation - मुफ्त [PDF] डाउनलोड करें

अवधारणा:

• बर्नोली का सिद्धांत कहता है कि एक असंपीड्य, अश्यान द्रव के एक सुव्यवस्थित अघूर्णी प्रवाह में प्रति इकाई आयतन दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग एक धारा रेखा के अनुदिश नियत रहता है।
• इसका अर्थ है कि स्थिर प्रवाह में द्रव में यांत्रिक ऊर्जा के सभी रूपों का योग एक धारा रेखा पर सभी बिंदुओं पर समान होता है।

\(P+\frac{1}{2}ρ V^{2}+ ρ gh = \) नियतांक

गणना:

बर्नोली समीकरण द्वारा

\(P_{1}+\frac{1}{2} \times \rho \times 0^{2}=P_{2}+\frac{1}{2} \rho V^{2}\)

\(v=\sqrt{2 \rho\left(P_{1}-P_{2}\right)}\)

गणना:

दिया गया है:

नली से प्रति सेकंड बहने वाले द्रव का आयतन पॉइज़्युइल के नियम का अनुसरण करता है:

V = (P π r⁴) / (8ηl)

⟹ V ∝ r⁴

यदि केशिका नली की त्रिज्या में 25% की वृद्धि की जाती है, तो:

नई त्रिज्या, r₂ = (125 / 100) r₁ = (5/4) r₁

आनुपातिकता संबंध का उपयोग करने पर:

V2 / V1 = (r2 / r1)4

⟹ V2 = V1 × (5/4)4

⟹ V2 = V1 × 244 / 100

⟹ V2 = 2.44 V1

अब, प्रवाह दर में प्रतिशत वृद्धि:

(ΔV / V1) × 100

= [(V2 - V1) / V1] × 100

= [(244 - 100) / 100] × 100

= 144%

∴ द्रव के प्रवाह की दर में 144% की वृद्धि होती है।

गणना:

सांतत्य समीकरण का उपयोग करने पर, हमारे पास है

\(A_v=constant\).

इस प्रकार A सही है।

बर्नोली के समीकरण का उपयोग करने पर, हमारे पास है

\(\frac {P_1}{\rho}+\frac {v_1^2}{2}=\frac {P_2}{\rho}+\frac {v_2^2}{2}\)

\(P_1-P_2=\frac {\rho}{2}(v_2^2-v_1^2)\)

लेकिन, स्तंभों में ऊँचाई के अंतर से

\(P_1-P_2=\rho gh\)

इस प्रकार, हमारे पास है

\(\rho gh=\frac {\rho}{2}(v_2^2-v_1^2)\)

या \(v_2^2-v_1^2=2gh\)

इस प्रकार C सही है।

प्रवाह के दौरान ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता है, इस प्रकार D भी सही है।

गणना:
मान लीजिए कि कोश में जल द्वारा घेरा गया आयतन V_w है,

V_a कोश में हवा द्वारा घेरा गया आयतन है,

V_m कोश में पदार्थ द्वारा घेरा गया आयतन है,

(V_m + V_a + V_w) / 2 × ρ_w × g = V_m × ρ_c × ρ_w × g + V_w × ρ_w × g

अब, V_w = V_m(1 − 2ρ_c) + V_a

यदि ρ_c > 1/2 ⇒ V_w < V_a

यदि ρ_c < 1/2 ⇒ V_w > V_a

गणना:

सांतत्य के सिद्धांत से,

\( \dfrac{1}{2} \rho_{1} v_{1} ^{2} = \dfrac{1}{2} \rho_{2} v_{2} ^{2} \)

\( \therefore \dfrac{v_{1}}{v_{2}} = \sqrt{\dfrac{\rho_{2}}{\rho_{1}} } \)

अवधारणा:

बर्नौली का सिद्धांत: एक आदर्श तरल पदार्थ के एक धारारेखीय प्रवाह में परिवर्तनशील अनुप्रस्थ काट नालिका में प्रति इकाई आयतन में कुल ऊर्जा पूरे प्रवाही में स्थिर रहती है।

• इसका अर्थ यह है कि स्थिर प्रवाह में, एक प्रवाह के साथ एक प्रवाही में यांत्रिक ऊर्जा के सभी रूपों का योग उस धारारेखीय पर सभी बिंदुओं पर समान होता है।

बर्नौली के सिद्धांत द्वारा

\(\frac{{{{\rm{P}}_1}}}{{\rm{\rho }}} + {\rm{g}}{{\rm{h}}_1} + \frac{1}{2}{\rm{v}}_1^2 = \frac{{{{\rm{P}}_2}}}{{\rm{\rho }}} + {\rm{g}}{{\rm{h}}_2} + \frac{1}{2}{\rm{v}}_2^2\)

\(\frac{{\rm{P}}}{{\rm{\rho }}} + {\rm{gh}} + \frac{1}{2}{{\rm{v}}^2} = {\bf{constant}}.\)

व्याख्या:

• ऊपर से यह स्पष्ट है कि बर्नौली का समीकरण यह दर्शाता है कि दबाव शीर्ष, गतिज शीर्ष और डेटम/स्थितिज शीर्ष का योग स्थिर, असम्पीड्य, आघूर्णी और गैर-श्यान प्रवाह के लिए स्थिर होता है।
• अन्य शब्दों में तरल की गति में वृद्धि दबाव में कमी या तरल की स्थितिज ऊर्जा में कमी के साथ होती है अर्थात एक प्रवाह प्रणाली की कुल ऊर्जा तब तक स्थिर रहती है जब तक कि इसपर कोई बाहरी बल लागू नहीं किया जाता है।
• इसलिए बर्नौली का समीकरण ऊर्जा के संरक्षण को संदर्भित करता है।
• उपरोक्त सभी मापने वाले उपकरण जैसे वेंचुरीमीटर, ऑरिफिस मीटर, पीटत नलिका मीटर बर्नौली के प्रमेय के अनुसार कार्य करते हैं। इसलिए विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

बर्नौली का सिद्धांत: एक परिवर्तनशील क्रॉस-सेक्शन ट्यूब में आदर्श तरल के धारारेखी प्रवाह (स्ट्रीमलाइन्ड फ्लो) के लिए प्रति यूनिट आयतन में कुल ऊर्जा पूरे द्रव में स्थिर रहती है।

इसका अर्थ यह है कि स्थिर प्रवाह में, एक प्रवाह के साथ एक प्रवाही में यांत्रिक ऊर्जा के सभी रूपों का योग उस धारारेखीय पर सभी बिंदुओं पर समान होती है।

बर्नौली के सिद्धांत द्वारा

\(\frac{{{{\rm{P}}_1}}}{{\rm{\rho }}} + {\rm{g}}{{\rm{h}}_1} + \frac{1}{2}{\rm{v}}_1^2 = \frac{{{{\rm{P}}_2}}}{{\rm{\rho }}} + {\rm{g}}{{\rm{h}}_2} + \frac{1}{2}{\rm{v}}_2^2\)

\(\frac{{\rm{P}}}{{\rm{\rho }}} + {\rm{gh}} + \frac{1}{2}{{\rm{v}}^2} = {\bf{constant}}.\)

व्याख्या:

बर्नौली का सिद्धांत ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है। इसलिए प्रत्येक बिंदु पर, कुल ऊर्जा प्रवाही में संरक्षित होती है।

अवधारणा:

• बर्नौली का सिद्धांत: एक आदर्श तरल पदार्थ के एक धारारेखीय प्रवाह में परिवर्तनशील  परिच्छेद क्षेत्रफल नालिका में प्रति इकाई आयतन में कुल ऊर्जा पूरे प्रवाही में स्थिर रहती है।
• इसका अर्थ यह है कि स्थिर प्रवाह में, एक प्रवाह के साथ एक प्रवाही में यांत्रिक ऊर्जा के सभी रूपों का योग उस धारारेखीय पर सभी बिंदुओं पर समान होती है।

बर्नौली के सिद्धांत द्वारा

\(\frac{{{{\rm{P}}_1}}}{{\rm{\rho }}} + {\rm{g}}{{\rm{h}}_1} + \frac{1}{2}{\rm{v}}_1^2 = \frac{{{{\rm{P}}_2}}}{{\rm{\rho }}} + {\rm{g}}{{\rm{h}}_2} + \frac{1}{2}{\rm{v}}_2^2\)

\(\frac{{\rm{P}}}{{\rm{\rho }}} + {\rm{gh}} + \frac{1}{2}{{\rm{v}}^2} = {\bf{constant}}\)

व्याख्या:

• तरलगतिकी में, बर्नौली का प्रमेय एक गतिशील तरल पदार्थ में ऊंचाई, वेग और दबाव के बीच संबंध प्रदान करता है, जिसके लिए चिपचिपाहट और संपीड़न नगण्य होता है और प्रवाह लैमिनार या स्थिर होती है।
• यह प्रमेय असंपीड़ित प्रवाह के लिए लागू होता है। तो विकल्प 4 सही है।

अवधारणा:

• बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार एक धारा रेखीय अघूर्णी प्रवाह में असंपीड्य, गैर-श्यान तरल के प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग धारा रेखा के अनुरूप नियत रहता है।
• इसका अर्थ यह है कि स्थिर प्रवाह में, एक धारारेखा के अनुरूप एक तरल पदार्थ में यांत्रिक ऊर्जा के सभी रूपों का योग उस धारारेखा पर सभी बिंदुओं पर समान रहता है।

\(P+\frac{1}{2}ρ V^{2}+ ρ gh = \ A \ constant\)

गणना:

मान लीजिए P_top = शीर्ष पर दाब, P_bottom = तल पर दाब, V_top = पंख के शीर्ष पर वेग, V_bottom =तल पर वेग

• दिया गया है: V_top = 260 m/s, V_bottom = 250 m/s, A = 500 m², और ρ = 1 kg/m³
• पंखों की ऊपरी और निचली सतह के बीच की ऊँचाई के अंतर को शून्य मान लेते है।
• इसलिए गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को नगण्य माना जा सकता है तब बर्नौली की प्रमेय का समीकरण इस प्रकार होगा

\(⇒ P_{top}+\frac{1}{2}ρ V_{top}^{2} = P_{bottom}+\frac{1}{2}ρ V_{bottom}^{2}\)........(1)

• लिफ्ट होने के लिए P_bottom > P_top
• इसलिए समीकरण 1 को इस प्रकार लिखा जा सकता है-

\(⇒ P_{bottom}- P_{top} = \frac{1}{2}ρ(V^{2}_{top} - V^{2}_{Bottom})\) -------(2)

समीकरण का उपयोग करके लिफ्ट बल का पता लगाया जा सकता है

⇒ F = ΔP A        -----(3)

\(\Rightarrow F= \frac{1}{2}ρ(V^{2}_{top} - V^{2}_{Bottom}) A\) ----(4)

\(\Rightarrow F= \frac{1}{2}((260)^{2} -(250)^{2}) 500 \)

\(\Rightarrow F= \frac{1}{2}\times 5100\times 500=1275 \, kN\)

अवधारणा:

• बर्नौली का सिद्धांत: एक परिवर्तनशील अनुप्रस्थ पारिच्छेद नलिका में धारा रेखीय प्रवाह के लिए पूरे द्रव के लिए प्रति इकाई आयतन में कुल ऊर्जा स्थिर रहेगी ।
• इसका अर्थ यह है कि स्थिर प्रवाह में एक प्रवाह के साथ एक तरल पदार्थ में यांत्रिक ऊर्जा के सभी रूपों का योग उस धारा रेखा पर सभी बिंदुओं पर समान है।

• बर्नौली के सिद्धांत द्वारा-

\(⇒ P + \frac{1}{2}\rho {v^2} + \rho gh = constant\)

\(⇒ {P_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g{h_1} = {P_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g{h_2}\)

गणना:

दिया गया है:

आरंभिक वेग (v₁) = 0 m/s,

प्रारंभिक दबाव (P₁) =  3 × 105 Pa, और अंतिम दाब (P2) =  2.5 × 105 Pa  

• बर्नोली के सिद्धांत के अनुसार

\(⇒ {P_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \)

\(⇒ {P_1} = {P_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 \)

उपरोक्त समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है

\(⇒ v^2_2=\frac{2(P_1-P_2)}{\rho}\)

\(⇒ v^2_2=\frac{2(3\times 10^5-2.5\times 10^5)}{10^3}=10^2{m^2}/s^2\)

⇒ v₂ = 10 m/s

संकल्पना:

• किसी द्रव्य के साथ संपर्क में दिए गए सतह पर विरामावस्था में द्रव्य द्वारा लगाया गया सामान्य बल उस सतह पर द्रव्य का प्रणोद कहलाता है।
• द्रव्य के साथ संपर्क में सतह की प्रति इकाई क्षेत्रफल पर विरामावस्था में द्रव्य द्वारा लगाया गया सामान्य बल (या प्रणोद) द्रव्य का दबाव या द्रवस्थैतिक दबाव कहलाता है।
• यदि Po वायुमंडलीय दबाव है तो घनत्व ρ के द्रव्य की सतह के नीचे गहराई h पर एक बिंदु के लिए, 
• द्रवस्थैतिक दबाव P निम्न द्वारा ज्ञात किया जाता है

P = P_o + ρgh

वर्णन:

• सामान्य स्थिति या मानक दबाव (वायु में सामान्य वायुमंडलीय दबाव) पर कर्णपटह के अंदर और बाहर दबाव समान होता है, इसका अर्थ है कि कर्णपटह के दोनों पक्षों पर लगाया गया बल समान है।
• अब यदि हम पानी के अंदर जाते हैं तो कर्णपटह के बाहर का दबाव अंदर के दबाव से अधिक होगा।
• और यह कर्णपटह के अंदर और बाहर के बीच एक दबाव अंतर निर्मित करेगा, इसके कारण पानी कर्णपटह पर बल लगाएगा।
• अतः जैसे-जैसे गोताखोर गहरे समुद्र में आगे बढ़ते हैं पानी का दबाव बढ़ता जाएगा जिससे इस दबाव के अंतर के कारण इसके कर्णपटह को स्थायी नुकसान होगा।

व्याख्या:

बर्नौली का सिद्धांत: एक आदर्श तरल पदार्थ के एक धारारेखीय प्रवाह में परिवर्तनशील अनुप्रस्थ काट नालिका में प्रति इकाई आयतन में कुल ऊर्जा पूरे तरल में स्थिर रहती है।

• इसका अर्थ यह है कि स्थिर प्रवाह में, एक धारारेखा के अनुरूप एक तरल पदार्थ में यांत्रिक ऊर्जा के सभी रूपों का योग उस धारारेखा पर सभी बिंदुओं पर समान रहता है।

• बर्नौली के सिद्धांत से

\(P + \frac{1}{2}\rho {v^2} + \rho gh = constant\)

अर्थात \({P_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho g{h_1} = {P_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g{h_2}\)

• पास्कल के नियम के अनुसार किसी संवृत प्रणाली के अंदर किसी तरल पदार्थ पर लगाया गया दबाव उस दबाव को पूरे द्रव में सभी दिशाओं में समान रूप से संचारित करेगा। इसलिए विकल्प 1 गलत है।
• आर्किमिडीज का कहना है कि "जब एक पिंड को किसी तरल पदार्थ में डुबोया जाता है,इस पर ऊपर की ओर एक बल लगता है जो इसके द्वारा विस्थापित तरल पदार्थ के वजन के बराबर है। इसलिए विकल्प 2 गलत है।
• ऊपर से यह स्पष्ट है कि बर्नौली के समीकरण गतिकी में स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन के लिए एक पाइप में दो बिंदुओं के बीच दबाव अंतर से संबंधित है। इसलिए विकल्प 3 सही है।
• टॉरिसेली के नियम में कहा गया है कि द्रव के प्रवाह का वेग उस वेग के बराबर है जिसे एक पिंड मुक्त तरल सतह से छिद्र तक स्वतंत्र रूप से गिरने में प्राप्त करता है। इसलिए विकल्प 4 गलत है।

धारणा:

• बर्नौली की प्रमेय: असम्पीड्य और गैर-चिपचिपा द्रव के धारा प्रवाह की स्थिति या हम कह सकते हैं कि एक नलिका के माध्यम से द्रव के मामले में द्रव की प्रति इकाई द्रव्यमान कुल ऊर्जा सभी बिंदुओं पर समान है।
• • कुल ऊर्जा का अर्थ है दाब ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा, गतिज ऊर्जा का योग।

\(\frac{P}{\rho } + gh + \frac{1}{2}{v^2} = a\;constant\)

जहाँ, P/ρ = प्रति इकाई द्रव्यमान दबाव ऊर्जा, gh = प्रति इकाई द्रव्यमान स्थितिज ऊर्जा और ½ v2 = प्रति इकाई द्रव्यमान K.E.

• द्रव के प्रवाह की दर को मापने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक उपकरण वेंचुरिमीटर के रूप में जाना जाता है।
• यह उपकरण बर्नौली के प्रमेय पर काम करता है।

व्याख्या:

• उपरोक्त चर्चा से हम कह सकते हैं कि बर्नोली का प्रमेय द्रव से संबंधित है। तो विकल्प 4 सही है।

• धारा प्रवाह: यदि कोई द्रव इस तरह से बहता है कि किसी विशेष बिंदु तक पहुंचने वाले सभी द्रव कणों का वेग हर समय एक समान होता है तो यह एक धारा प्रवाह है।
• विक्षोभ प्रवाह: यदि कोई द्रव इस तरह से बहता है कि किसी विशेष बिंदु तक पहुंचने वाले सभी द्रव कणों का वेग हर समय अलग होता है तो यह एक विक्षोभ प्रवाह है।
• क्रांतिक वेग: यह अधिकतम वेग है, जिस पर द्रव गति को सुव्यवस्थित किया जाता है। यदि द्रव का वेग क्रांतिक वेग से कम है, तो यह एक धारा प्रवाह की तरह काम करता है अन्यथा यह विक्षोभ प्रवाह के रूप में कार्य करेगा।
• यदि प्रवाह का वेग क्रांतिक वेग से कम है, तो द्रव के प्रवाह की दर मूल रूप से द्रव की श्यानता पर निर्भर करती है।
• यदि प्रवाह का वेग क्रांतिक वेग से अधिक है, तो प्रवाह की दर घनत्व पर निर्भर करती है, न कि श्यानता पर।​

व्याख्या:

सतत समीकरण:

• सतत समीकरण, द्रव्यमान के संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है। सभी अनुप्रस्थ काट पर एक पाइप द्वारा बहने वाले द्रव के लिए, प्रति सेकंड द्रव की मात्रा स्थिर होती है।

सतत समीकरण निम्न प्रकार दिया जाता है:

ρ₁A1V1 = ρ₂A2V2

असंपीड्य द्रव के लिए, ρ = स्थिरांक

A1V1 = A2V2

इस प्रकार, उस स्थान पर जहां अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल घटता है, द्रव का वेग बढ़ जाता है।

बर्नौली का सिद्धांत:

बरनौली समीकरण को प्रवाहित द्रवों के लिए उपयुक्त ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत का कथन माना जा सकता है।

⇒ \({P_1} + \frac{1}{2}ρ v_1^2 + ρ g{h_1} = {P_2} + \frac{1}{2}ρ v_2^2 + ρ g{h_2}\)

क्षैतिज पाइप के लिए, h1 = h2

⇒ \({P_1} + \frac{1}{2}ρ v_1^2 = {P_2} + \frac{1}{2}ρ v_2^2 \)

⇒ \(\frac{1}{2}ρ \left( {v_2^2 - v_1^2} \right) = \left( {{P_1} - {P_2}} \right) \)

अभिसारी भाग (संकीर्ण या घटते अनुप्रस्थ काट) के माध्यम से प्रवाह के दौरान, सतत के सिद्धांत के अनुसार प्रवाह की दिशा में वेग बढ़ता है, जबकि बर्नौली के प्रमेय के अनुसार दबाव कम हो जाता है।

∴ अत्यंत संकीर्ण भाग पर वेग अधिकतम होगा जबकि दबाव सबसे कम होगा।

संकल्पना:

• बर्नौली के सिद्धांत कहता है कि एक धारारेखीय अघूर्णी प्रवाह में असम्पीड्य ,श्यानताहीन तरल की प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग एक धारारेखीय​ के साथ स्थिर रहता है।
• इसका अर्थ है कि एक तरल में धारारेखीय के साथ स्थिर प्रवाह में यांत्रिक ऊर्जा के सभी रूपों का योग उस धारारेखीय पर सभी बिंदुओं पर समान होता है।

\(P+\frac{1}{2}ρ V^{2}+ ρ gh = \ A \ constant\)

स्पष्टीकरण:

• उपरोक्त परिभाषा से, यह स्पष्ट है कि बर्नौली का समीकरण धारारेखीय प्रवाह में केवल निम्न श्यानता और असम्पीड्य तरल के लिए होता है। इसलिए विकल्प 4 सही है।