हाइड्रोजन जैसे तंत्र में, एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन के बीच कूलम्ब बल और गुरुत्वाकर्षण बल का अनुपात किस क्रम का होता है?

सिद्धांत:

कूलम्ब बल (स्थिर वैद्युत बल): हाइड्रोजन जैसे तंत्र में एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन के बीच कूलम्ब बल कूलम्ब के नियम द्वारा दिया गया है:

\(F_c = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}\)

जहाँ, e = इलेक्ट्रॉन (या प्रोटॉन) का आवेश, r = इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच की दूरी, \((\epsilon_0)\) = मुक्त स्थान की पारगम्यता

गुरुत्वाकर्षण बल: एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया गया है:

\(F_g = \frac{G m_e m_p}{r^2}\)

जहाँ, G = गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, m_e = इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, m_p = प्रोटॉन का द्रव्यमान

r = इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच की दूरी

कूलम्ब बल का गुरुत्वाकर्षण बल से अनुपात: इन दोनों बलों का अनुपात है

\( \frac{F_c}{F_g} = \frac{\frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{r^2}}{\frac{G m_e m_p}{r^2}} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{e^2}{G m_e m_p} \)

गणना:

F_e = \(\rm \frac{{kQ}_1 {Q}_2}{{r}^2}=\frac{9 \times 10^9 \times 1.6 \times 10^{-19} \times 1.6 \times 10^{-19}}{{r}^2} \)

Fg = \(\rm \frac{{Gm}_1 {m}_2}{{r}^2}=\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 9.1 \times 10^{-31} \times 1.6 \times 10^{-27}}{{r}^2}\)

\(\rm \frac{{F}_{\mathrm{e}}}{{F}_{{g}}} \cong 0.23 \times 10^{40} \cong 2.3 \times 10^{39}\)

∴ सही विकल्प (1) है