मान लीजिए समीकरण \(\rm \frac{1}{x+a+b}=\frac{1}{x}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\); a ≠ 0, b ≠ 0, x ≠ 0 के मूल α और β हैं। निम्नलिखित में से कौन-से द्विघातीय समीकरण के मूल α2 और β2 हैं?

दिया गया है:

समीकरण \(\rm \frac{1}{x+a+b}=\frac{1}{x}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) के मूल α और β हैं। 

जहाँ, a ≠ 0, b ≠ 0, x ​≠ 0 है। 

प्रयुक्त अवधारणा:

यदि द्विघात समीकरण के मूल p और q हैं,

तो, द्विघात समीकरण →  x² - (p + q)x + pq = 0

गणना:

प्रश्नानुसार,

\(\frac{1}{x+a+b}\) = \(\frac{1}{x}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

⇒ \(\frac{1}{x+a+b}\) - \(\frac{1}{x}\) = \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

⇒ \(\frac{x-(x+a+b)}{x(x+a+b)}\) = \(\frac{a+b}{ab}\)

⇒ \(\frac{-(a+b)}{x(x+a+b)}\) = \(\frac{a+b}{ab}\)

⇒ x(x + a + b) = -ab

⇒ x² + ax + bx + ab = 0

⇒ x(x + a) + b(x + a)  = 0

⇒ (x + a)(x + b) = 0 

⇒ x = -a और x = -b

इस प्रकार, समीकरण के मूल α = -a और β = -b हैं। 

⇒ α² = a² और β² = b²

द्विघात समीकरण के मूल α² और β² हैं। 

⇒ x² - (a² + b²)x + a²b² = 0

∴ अभीष्ट द्विघात समीकरण x2 - (a2 + b2)x + a2b2 = 0 है।