k के  गैर-शून्य मानों की संख्या क्या है जिसके लिए रैखिक समीकरण

4x + ky + z = 0

kx + 4y + z = 0

2x + 2y + z = 0

में गैर-शून्य हल हैं?

संकल्पना:

तीन चरों के रैखिक समीकरण के लिए क्रेमर का नियम:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

\(\rm D=\begin{vmatrix} \rm a_{1} & \rm a_{2} & \rm a_{3}\\ \rm b_{1} & \rm b_{2} & \rm b_{3}\\ \rm c_{1} & \rm c_{2} & \rm c_{3}\end{vmatrix}\)

\(\rm \rm D_{x}=\begin{vmatrix}\rm d_{1} & \rm d_{2} & \rm d_{3}\\ \rm b_{1} & \rm b_{2} & \rm b_{3}\\ \rm c_{1} & \rm c_{2} & \rm c_{3}\end{vmatrix}\quad \rm D_{y}=\begin{vmatrix}\rm a_{1} & \rm a_{2} & \rm a_{3}\\ \rm d_{1} & \rm d_{2} & \rm d_{3}\\ \rm c_{1} & \rm c_{2} & \rm c_{3}\end{vmatrix}\quad \rm D_{z}=\begin{vmatrix}\rm a_{1} & \rm a_{2} & \rm a_{3}\\ \rm b_{1} & \rm b_{2} & \rm b_{3}\\ \rm d_{1} & \rm d_{2} & \rm d_{3}\end{vmatrix}\)

यदि D ≠ 0: केवल एक हल है (सुसंगत)।

वह हल है: \(\rm x=\frac{D_x}{D}\quad y=\frac{D_y}{D}\quad z=\frac{D_z}{D}\).

यदि D = 0: या तो असीम रूप से कई हल हैं (सुसंगत और निर्भर) या कोई हल नहीं है (असंगत)।
यह पता लगाने के लिए कि क्या सिस्टम निर्भर है या असंगत, अन्य विधि, जैसे कि उन्मूलन या राउची-कैपेली प्रमेय, का उपयोग करना होगा।

गणना:

समीकरणों के दिए गए समूह के लिए:

4x + ky + z = 0

kx + 4y + z = 0

2x + 2y + z = 0

यह देखा जा सकता है कि x = y = z = 0 सिस्टम का एक हल है।

अनंत रूप से कई (गैर-शून्य सहित) हल प्राप्त करने के लिए, D को शून्य होना चाहिए। 

⇒ \(\rm D=\begin{vmatrix} 4 & \rm k & 2 \\ \rm k & 4 & 2\\ 1 & 1 & 1\end{vmatrix}\) = 0

⇒ 4(4 - 2) + k(2 - k) + 2(k - 4) = 0

⇒ 8 + 2k - k² + 2k - 8 = 0

⇒ k² - 4k = 0

⇒ k(k - 4) = 0

⇒ k = 0 या k - 4 = 0

⇒ k = 0 या k = 4

अतः, k के 2 संभव मान हैं लेकिन गैर-शून्य समाधान एक है।।