ত্রিকোণমিতি MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Trigonometry - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

প্রদত্ত:

\(\rm \frac{1}{cosec^2\theta-cot^2\theta} + \frac{1}{sec^2 - tan^2\theta}\) = 2sinθ

অনুসৃত সূত্র:

\(cosec^2\theta - \cot^2\theta = 1\)

\(\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1\)

গণনা:

\(\dfrac{1}{cosec^2\theta - \cot^2\theta} + \dfrac{1}{\sec^2\theta - \tan^2\theta} = 2\sin\theta\)

⇒ \(\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1} = 2\sin\theta\)

⇒ 1 + 1 = \(2\sin\theta\)

⇒ \(2 = 2\sin\theta\)

⇒ \(\sin\theta = 1\)

⇒ \(\theta = 90^\circ\)

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প (4)

প্রদত্ত:

\(\dfrac{(50+50\cot^2A)}{(25+25\tan^2A)}\) এর মান

অনুসৃত সূত্র:

\(\cot A = \dfrac{1}{\tan A}\)

গণনা:

প্রদত্ত রাশি: \(\dfrac{(50+50\cot^2A)}{(25+25\tan^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{50(1+\cot^2A)}{25(1+\tan^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{50(cosec^2A)}{25(\sec^2A)}\)

⇒ \(\dfrac{2(\dfrac{1}{\sin^2A})}{(\dfrac{1}{\cos^2A})}\)

⇒ \(\dfrac{2\cos^2A}{\sin^2A}\)

⇒ 2 cot2 A

∴ সঠিক উত্তর হলো (1) নম্বর বিকল্প।

প্রদত্ত:

(sec A + tan A) (1 - sin A) এর মান

ব্যবহৃত সূত্র:

sin²A + cos²A = 1

(a + b) (a - b) = (a² - b²)

গণনা:

⇒ (sec A + tan A) (1 - sin A)

⇒ (1/cos A + sin A/cos A) (1 - sin A)

⇒ [(1 + sin A)/cos A] × (1 - sin A)

⇒ [(1 + sin A) × (1 - sin A)] / cos A

⇒ (1 - sin² A)/cos A

আমরা জানি, 1 - sin² A = cos² A

⇒ cos² A / cos A = cos A

∴ সঠিক উত্তরটি হল বিকল্প 2 

প্রদত্ত:

\( \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{1 + \cos \theta - \sin^2 \theta} \), 0° < θ < 90°।

ব্যবহৃত সূত্র:

\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)

গণনা:

\( \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{1 + \cos \theta - \sin^2 \theta} \)

⇒ \( \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{1 + \cos \theta - (1 - \cos^2 \theta)} \) আমরা হরের \( \sin^2 \theta \) কে \( 1 - \cos^2 \theta\) দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি।

⇒ \( \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{\cos \theta + \cos^2 \theta} \)

⇒ \( \frac{\sin \theta (1 + \cos \theta)}{\cos \theta(1 + \cos \theta)} \)

⇒ \( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \)

⇒ tan θ

∴ প্রদত্ত রাশিটির সরলীকৃত মান হল tan θ।

প্রদত্ত:

\(\frac{(cos θ)}{(1+sin θ)}+\frac{(1+sin θ)}{(cos θ)}\)

ব্যবহৃত সূত্র:

ত্রিকোণমিতিক অভেদ এবং বীজগণিত সরলীকরণ।

গণনা:

⇒ \(\frac{(cos θ)}{(1+sin θ)}+\frac{(1+sin θ)}{(cos θ)}\)

⇒ \(\frac{(cos^2 θ + (1+sin θ)^2)}{(1+sin θ)cos\theta}\)

⇒ \(\frac{(cos^2 θ + 1 + 2sin θ + sin^2 θ)}{(1+sin θ) cos θ} \)

অভেদ cos² θ + sin² θ = 1 ব্যবহার করে:

⇒ \(\frac{(1 + 1 + 2sin θ)}{(1+sin θ) cos θ} \)

⇒ \(\frac{(2 + 2sin θ)}{(1+sin θ) cos θ} \)

⇒ \(\frac{2(1 + sin θ)}{(1+sin θ) cos θ} \)

সাধারণ উৎপাদক (1 + sin θ) বাদ দিলে:

⇒ 2/cos θ

⇒ 2 sec θ

সঠিক উত্তর হল 2 sec θ।

দেওয়া:

BC = 18 মি

ধারণা:

সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে:

Tanθ = Perpendicular/Base

Cosθ = Base/Hypotenuse

গণনা:

গাছের উচ্চতা = AB + AC

Tan 30° = AB/18

⇒ (1/√3) = AB/18

⇒ AB = (18/√3)

30° = BC/AC = 18/AC

⇒ √3/2 = 18/AC

⇒ AC = 36/√3

তাই, AB + AC = 18/√3 + 36/√3 = 54 / √3

⇒ 54/√3 × √3 /√3 (হর থেকে মূল অপসারণের যুক্তিযুক্ত করা)

⇒ 54√3 / 3 = 18√3

∴ গাছের উচ্চতা = 18√3।

ভুল বিন্দু : এখানে, গাছের মোট উচ্চতা (AB + AC)।

উপরের প্রশ্নটি আগের বছরের প্রশ্ন সরাসরি এনসিইআরটি দশম শ্রেণি থেকে নেওয়া হয়েছে। সঠিক উত্তর হবে 18√3

আমরা নিম্নলিখিত ধাপগুলি ব্যবহার করে উন্নতি কোণ নির্ণয় করতে পারি:

গণনা:

ধাপ 1: মাটির বিন্দু থেকে 20√3 মি দূরে একটি সমকোণী ত্রিভুজ আঁকুন, যেখানে বিমানটিকে শীর্ষবিন্দু হিসাবে বিবেচনা করুন।

মাটির দুটি বিন্দুর মধ্যে উচ্চতার পার্থক্যটিকে "h" এবং দুটি বিন্দুর মধ্যে অনুভূমিক দূরত্বটিকে "d" হিসেবে আখ্যা দিন।

উন্নতি কোণ নির্ণয় করতে স্পর্শক ফাংশন ব্যবহার করুন:

tan(θ) = \(\frac{h}{d}\) 

উন্নতি কোণের জন্য সমাধান করুন:

\(θ = tan^-1(\frac{h}{d}).\)

এই ক্ষেত্রে, h = 20 মি এবং d = 20√3 মি, অতএব:

\(tan(θ) = \frac{20 }{ (20√3)}\)

\(tan(θ) = \frac{1 }{ √3}\)

\(θ = tan^-1(\frac{1}{ √3})\)
θ = 30°

সুতরাং, উন্নতি কোণ হল 30°

প্রদত্ত:

tan 53° = 4/3

অনুসৃত সূত্র:

tan(x – y) = (tanx – tany)/(1 + tanxtany)

গণনা:

আমরা জানি, 8° = 53° - 45°

Tan8° = tan(53° - 45°)

⇒ tan8° = (tan53° - tan45°)/(1 + tan53° tan45°)

⇒ tan8° = (4/3 – 1)/(1 + 4/3)

⇒ tan8° = (1/3)/(7/3)

প্রদত্ত:

tanθ + cotθ = √3

অনুসৃত সূত্র:

a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)

a² + b² = (a + b)² - 2(a × b)

tanθ × cotθ = 1

গণনা:

tanθ + cotθ = √3

উভয়দিকে ঘন নিলে, আমরা পাই যে,

(tanθ + cotθ)³ = (√3)³

⇒ tan³θ + cot³θ + 3 × tanθ × cotθ × (tanθ + cotθ) = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ + 3√3  = 3√3

⇒ tan3θ + cot3θ = 0  

উভয়দিকে বর্গ নেওয়া হলে,

(tan3θ + cot3θ)² = 0

⇒ tan⁶θ + cot⁶θ + 2 × tan3θ × cot3θ = 0

⇒ tan6θ + cot6θ + 2 = 0    

⇒ tan6θ + cot6θ = - 2

∴ tan6θ + cot6θ -এর মান হল - 2

যেমন,

⇒ sec2θ = 1 + tan2θ

প্রদত্ত,

⇒ (sec2θ)2 – sec2θ = 3

⇒ (1 + tan2θ)2 – (1 + tan2θ) = 3

⇒ (1 + tan4θ + 2tan2θ) – (1 + tan2θ) = 3

⇒ 1 + tan4θ + 2tan2θ – 1 – tan2θ = 3

⇒ tan4θ + tan2θ = 3

অনুসৃত সূত্র:

1/Cosec Ø = Sin Ø 

Sin2Ø + Cos2Ø = 1

গণনা:

Cos2Ø + 1/Cosec2Ø + 17 = x

⇒ Cos2Ø + Sin2Ø + 17 = x

⇒ 1 + 17 = x

⇒ x2 = 324

∴ x2 -এর মান 324

প্রদত্ত,  

⇒ tan30° = AB/BC

⇒ AB = 10√3 মি 

প্রদত্ত, 

⇒ tan60° = AE/ED

⇒ √3 = (AB + BE)/30

⇒ AB + BE = AE = 30√3

⇒ BE = 30√3 – 10√3

⇒ BE = 20√3 মি  

প্রয়োজনীয় উচ্চতা হ'ল = 30√3 + 20√3 = 50√3 মি। 

প্রদত্ত:

secθ - cosθ = 14 এবং 14 secθ = x

অনুসৃত ধারণা:

\(Sec\theta =\frac{1}{Cos\theta}\)

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী,

⇒ \(sec\theta - cos\theta= 14\)

⇒ \(\sec\theta-\frac{1}{sec\theta}=14\)

⇒ \( sec²\theta-1=14sec\theta\)

⇒ \(\tan^2\theta=14sec\theta\) ----( \(sec²\theta-1=tan^2\theta\) )

\(\ tan²\theta=x\)

∴ x এর মান হল \(tan²\theta\) 

গণনা:

cot4θ + cot2θ = 3

⇒ cos4θ/sin4θ + cos 2θ/sin 2θ = 3

⇒ cos 2θ(cos 2θ+ sin 2θ )/sin4θ = 3 (ল.সা.গু ধরে)

⇒ cos 2θ/sin4θ = 3

⇒ cot2θ . cosec2θ = 3

এখন,

cosec4θ – cosec2θ

⇒ cosec2θ(cosec2θ – 1)

⇒ cosec2θcot2θ = 3

∴ cosec4θ – cosec2θ = 3