প্রগতি MCQ Quiz in বাংলা - Objective Question with Answer for Progression - বিনামূল্যে ডাউনলোড করুন [PDF]

ব্যবহৃত ধারণা:

n পর্যবেক্ষণ সম্বলিত একটি সিরিজের জ্যামিতিক গড় (GM) হল মানগুলির গুণফলের nম মূল।

\(\begin{array}{l}G. M = \sqrt[n]{x_{1}× x_{2}× …x__{n}}\end{অ্যারে}\)

গণনা:

উপরের সূত্র ব্যবহার করে-

⇒ 8 ⁵ = 32 x 4 x 8 x X x 2

⇒ X = \(\frac{8^{5}}{32\times 4\times 8\times 2}\) = 16

∴ সঠিক উত্তর হল 16

প্রদত্ত:

দুটি সমান্তর প্রগতির একই সাধারণ অন্তর রয়েছে। এর মধ্যে একটির প্রথম পদ হল –1 এবং অন্যটির হল – 8

ধারণা:

যেকোন প্রদত্ত সমান্তর প্রগতির জন্য যেমন এর প্রথম পদটি হল 'a' এবং সাধারণ অন্তর হল 'd'

a_n = a + (n - 1)d

সমাধান:

প্রশ্ন অনুসারে, দুটি সমান্তর প্রগতির একই সাধারণ অন্তর,

ধরা যাক সাধারণ অন্তর হল 'd'

প্রথম সমান্তর প্রগতির জন্য

প্রথম পদটি হল -1 এবং সাধারণ অন্তর হল 'd'

চতুর্থ পদ হবে,

m₄ = -1 + (4 - 1)d = -1 + 3d

দ্বিতীয় সমান্তর প্রগতির জন্য 

প্রথম পদটি -8 এবং সাধারণ অন্তর হল 'd'

চতুর্থ পদ হবে,

n4 = -8 + (4 - 1)d = -8 + 3d

4^র্থ পদের মধ্যে পার্থক্য নিম্নরূপ,

m₄ - n₄ = -1 + 3d - ( -8 + 3d )

m4 - n4 = 7

সুতরাং, বিকল্প  3 হল সঠিক।

প্রদত্ত:

আমাদের 1 থেকে 12 পর্যন্ত সংখ্যার বর্গের সমষ্টি বের করতে হবে।

ব্যবহৃত সূত্র:

প্রথম nটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি = \( \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

গণনা:

এখানে, n = 12

বর্গের সমষ্টি = \( \frac{12(12+1)(2×12+1)}{6} \)

⇒ বর্গের সমষ্টি = \( \frac{12×13×25}{6} \)

⇒ বর্গের সমষ্টি = \( \frac{3900}{6} \)

⇒ বর্গের সমষ্টি = 650

1 থেকে 12 পর্যন্ত সংখ্যার বর্গের সমষ্টি 650.

প্রদত্ত:

একজন মানুষ 10 দিনের জন্য প্রতিদিন 1 কিমি করে বৃদ্ধি পেয়ে চলেছে এমন দূরত্ব অতিক্রম করে।

অনুসৃত সূত্র:

Sn = n/2 × [2a + (n - 1) × d]

গণনা:

Sn = 10/2 × [2×1 + (10 - 1)×1]

⇒ Sn = 5 × [2 + 9]

⇒ Sn = 5 × 11

⇒ Sn = 55

সুতরাং, মানুষটি 10 দিনে মোট 55 কিলোমিটার দূরত্ব অতিক্রম করে।

প্রদত্ত :

13 + 23 + 33 + ……+ 93 = ?

সূত্র:

Sn = n/2 [a + l]

Tn = a + (n – 1)d

n = পদ সংখ্যা

a = প্রথম পদ

d = সাধারণ অন্তর

l = অন্তিম পদ

গণনা:

 a = 13

d = 23 – 13 = 10

Tn = [a + (n – 1)d]

⇒ 93 = 13 + (n – 1) × 10

⇒ (n – 1) × 10 = 93 – 13

⇒ (n – 1) = 80/10

⇒ n = 8 + 1

⇒ n = 9

S9 = 9/2 × [13 + 93]

= 9/2 × 106

= 9 × 53

= 477 

অনুসৃত সুত্র:

n^th = a + (n – 1)d

এখানে,  a→ প্রথম পদ, n → মোট সংখ্যা, d → সাধারণ অন্তর, n^th → n^th পদ 

গণনা:

প্রথম তিন-অঙ্কের সংখ্যা যা 6 দ্বারা বিভাজ্য, (a) = 102

শেষ তিন-অঙ্কের সংখ্যা যা 6 দ্বারা বিভাজ্য, (n^th) = 996 

সাধারণ অন্তর, (d) = 6

এখন, nth = a + (n – 1)d

⇒ 996 = 102 + (n – 1) × 6 

⇒ 996 – 102 = (n – 1) × 6

⇒ 894 = (n – 1) × 6

⇒ 149 = (n – 1)

⇒ n = 150

∴6 দ্বারা বিভাজ্য মোট তিন অঙ্কের সংখ্যা হল 150টি। 

প্রদত্ত:

21 থেকে 199 পর্যন্ত সমস্ত জোড় সংখ্যার যোগফল 11টি পর্যবেক্ষণে যোগ করা হয় যার গড় মান n

নতুন সংখ্যাগোষ্ঠীর গড় = 99

অনুসৃত সূত্র:

(1) সমান্তর শ্রেণী-তে n সংখ্যার যোগফল

S = \(\frac{n(a+l)}{2}\)

যেখানে, 

a, হল প্রথম পদের মান

l, হল শেষ পদের মান

n, হল পদসংখ্যা

S, হল সমান্তর শ্রেণী-তে n সংখ্যার যোগফল

(2) সমান্তর শ্রেণী-তে শেষ পদের মান

l = a + (n - 1)d

যেখানে, 

a, হল প্রথম পদের মান

d, হল দুটি পদের মধ্যে সাধারণ পার্থক্য

n, হল পদসংখ্যা

l, হল শেষ পদের মান

গণনা:

ধরি n হল 21 থেকে 199 এর মধ্যে জোড় পদের সংখ্যা।

প্রথম জোড় সংখ্যার মান (21 থেকে 199 এর মধ্যে), a = 22

শেষ জোড় সংখ্যার মান (21 থেকে 199 এর মধ্যে), l = 198

দুটি জোড় সংখ্যার মধ্যে সাধারণ পার্থক্যের মান, d = 2

এখন,

⇒ 198 = 22 + (n - 1) × 2

⇒ 198 = 22 + (n - 1)2

⇒ 176 = (n - 1)2

⇒ (n - 1) = 88

⇒ n = 89

এখন,

ধরি S হল 21 থেকে 199 এর মধ্যে সমস্ত জোড় সংখ্যার যোগফল।

⇒ S = \(\frac{89(22 + 198)}{2}\)

⇒ S = 9790

এখন, 

11টি পর্যবেক্ষণের গড় = n

সমস্ত 11টি পর্যবেক্ষণের যোগফল = 11n

প্রশ্ন অনুযায়ী,

⇒ \(\frac{9790+11n}{89+11}\) = 99

⇒ \(\frac{9790+11n}{100}\) = 99

⇒ 9790 + 11n = 9900

⇒ 11n = 110

⇒ n = 10

∴ নির্ণেয় উত্তর হল 10

Additional Informationপ্রথম এবং শেষ পদটি জানা থাকলে সংখ্যাগুলির গড় বের করার জন্য সূত্র ব্যবহার করা হয়।

A = \(\frac{a+l}{2}\)

যেখানে, 

a, হল সমান্তর শ্রেণীর প্রথম পদ

l, হল সমান্তর শ্রেণীর শেষ পদ

A হল a থেকে l পর্যন্ত সমান্তর শ্রেণীর গড়।

দ্রষ্টব্য: উপরের সূত্রটি শুধুমাত্র সমান্তর শ্রেণীর জন্য প্রয়োগ করা হয়েছে।

যদি ধারাবাহিক পদগুলির একটি অ-শূন্য ধ্রুবক হিসাবে একটি সাধারণ পার্থক্য থাকে, তবে সেই ক্রমটিকে একটি সমান্তর ক্রম বলা যেতে পারে।

প্রদত্ত শর্ত:

300 এবং 1000 এর মধ্যেকার সংখ্যা যা 7 দ্বারা বিভাজ্য।

ধারণা:

সমান্তর প্রগতি

a _n = a + (n - 1)d

গণনা:

প্রথম সংখ্যা যেটি 7 দ্বারা বিভাজ্য (300 - 1000) = 301

একইভাবে: 301, 308, 315, 322...........994

উপরের ক্রমটি একটি সমান্তর প্রগতি তৈরি করে,

যেখানে a = 301, সাধারণ পার্থক্য/d = 308 - 301 = 7 এবং শেষ পদ (an ) = 994

⇒ an = a + (n - 1)d

⇒ 994 = 301 + (n - 1)7 

⇒ (994 - 301)/7 = n - 1 

⇒ 693/7 + 1 = n 

⇒ 99 + 1 = n 

⇒ n = 100 

∴ 300 এবং 1000 এর মধ্যে 100টি সংখ্যা রয়েছে যেগুলি 7 দ্বারা বিভাজ্য।

প্রদত্ত:

প্রথম পদ 'a' = 5, সাধারণ পার্থক্য 'd' = 4

পদের সংখ্যা 'n' = 20

ধারণা:

সমান্তর প্রগতি:

• সমান্তর প্রগতি হল সংখ্যার একটি তালিকা যেখানে প্রথম পদটি ব্যতীত প্রতিটি পদ পূর্ববর্তী পদের সাথে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যা যোগ করে প্রাপ্ত হয়।
• নির্দিষ্ট সংখ্যাকে সাধারণ পার্থক্য 'd' বলা হয়।
• এটি ইতিবাচক, নেতিবাচক বা শূন্য হতে পারে।

অনুসৃত সূত্র:

সমান্তর প্রগতির nতম মেয়াদ

Tn = a + (n - 1)d

সমান্তর প্রগতির nতম পদের সমষ্টি নিম্নরূপে দেওয়া হয়

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

যেখানে,

a = সমান্তর প্রগতির প্রথম পদ, d = সাধারণ পার্থক্য, l = শেষ পদ

গণনা:

আমরা জানি যে সমান্তর প্রগতির n পদের যোগফল নিম্নরূপে দেওয়া হয়

\(S = \dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}[2× 5 + (20-1)× 4]\)

⇒ S = 10(10 + 76)

⇒ S = 860

সুতরাং, সমান্তর প্রগতির প্রদত্ত 20টি পদের যোগফল হবে 860

সমান্তর প্রগতির nতম পদের সমষ্টি নিম্নরূপে দেওয়া হয়

Tn = a + (n - 1)d

l যদি সমান্তর প্রগতির 20তম পদ (শেষ পদ) হয়, তাহলে

l = 5 + (20 - 1) × 4 = 81

সুতরাং সমান্তর প্রগতির যোগফল

\(S = \dfrac{n}{2}( a + l)\)

\(⇒ S = \dfrac{20}{2}(5 + 81)\)

⇒ S = 860

প্রদত্ত:

2, 7, 12, ____________

অনুসৃত ধারণা:

Tn = a + (n - 1)d

যেখানে a = প্রথম পদ, n = পদের সংখ্যা এবং d = পার্থক্য

গণনা:

প্রদত্ত ক্রমে,

a = 2

d = 7 - 2 = 5

T10 = 2 + (10 - 1) 5

T10 = 2 + 45

T10 = 47

দশম পদ = 47

এখানে a1 = 2, a2 = k + 3, a3 = 6  A.P এর ক্রমাগত তিনটি পদ রয়েছে। 

গাণিতিক অগ্রগতি অনুসারে, a2 - a1 = a3 - a2 

(k + 3) – 2 = 6 – (k + 3)

⇒ k + 3 - 8 + k + 3 = 0

⇒ 2k = 2

সমাধানের পরে, আমরা পাই k = 1 

প্রদত্ত:

প্রদত্ত সমান্তর প্রগতি

3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... 80 পদ পর্যন্ত

অনুসৃত সূত্র:

একটি সমান্তর প্রগতির n তম পদের যোগফল

Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}

এখানে,

'n' হল পদ সংখ্যা, 'a' হল প্রথম পদ, 'd' হল সাধারণ পার্থক্য

গণনা:

প্রশ্ন অনুযায়ী,

S n = (n/2){2a + (n - 1)d} ----(1)

এখানে, a = 3, n = 80, d = 7 - 3 = 4

এই মানগুলিকে (1) এ বসিয়ে পাই,

⇒ S80 = (80/2){2 × 3 + (80 - 1) × 4}

⇒ S80 = 40(6 + 79 × 4)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ একটি সমান্তর প্রগতির 80তম পদের যোগফল হল 12,880

Alternate Method

nতম পদ = a + (n - 1)d

এখানে n = 80, a = 3 এবং d = 4

⇒ 80তম পদ = 3 + (80 - 1)4

⇒ 80তম পদ = 3 + 316

⇒ 80তম পদ = 319

এখন, একটি সমান্তর প্রগতির n তম পদের যোগফল

⇒ Sn = (n/2) × (1ম পদ + শেষ পদ)

⇒ S80 = (80/2) × (3 + 319)

⇒ S80 = 40 × 322

⇒ S80 = 12,880

∴ একটি সমান্তর প্রগতির 80তম পদের যোগফল হল 12,880

অনুসৃত ধারণা:

ধরি a, b, c… হলো আমাদের প্রগতি

যেহেতু আমরা জানি, সাধারণ অন্তর = b – a, c – b.

সমান্তর প্রগতিতে সাধারণ অন্তর সমান হয়

b – a = c – b

গণনা:

b - a = c - b

⇒ b + b = c + a

⇒ 2b = c + a

⇒ 2b = a + c

∴ a, b, c সমান্তর প্রগতিতে থাকলে 2b = a + c.

ধরি 1, 2, 3 সংখ্যাগুলি সমান্তর প্রগতিতে রয়েছে

কেবল একটি বিকল্পই সমীকরণের শর্ত পূরণ করবে। 

2(2) = 1 + 3 সুতরাং 2b = a + c সঠিক বিকল্প

প্রদত্ত:

a, a - b, a - 2b, a - 3b,...... এর 10 তম পদটি হল 20, 20 তম পদটি হল 10

গণনা:

10^তম পদ = a - 9b = 20    --(1)

20^তম পদ = a - 19b = 10   ---(2)

সমীকরণ (2) কে (1) থেকে বিয়োগ করে:

a - 9b - (a - 19b) = 20 - 10

⇒ a - 9b - a + 19b = 10

⇒ 10b = 10

⇒ b = 1

সমীকরণ (1) থেকে:

a - 9 (1) = 20

⇒ a = 20 + 9 = 29

x^তম পদ = a - (x - 1)b

⇒ 29 - (x - 1) (1) 

⇒ 29 - x + 1 = 30 - x

∴  ক্রমটির xতম পদ হল 30 - x