त्रिकोण, एकरुपता आणि समानता MCQ Quiz in मराठी - Objective Question with Answer for Triangles, Congruence and Similarity - मोफत PDF डाउनलोड करा

दिलेल्याप्रमाणे:

लहान त्रिकोणाची बाजू = 126 सेमी

मोठ्या त्रिकोणाची संगत बाजू = 147 सेमी

मोठ्या त्रिकोणाची दुसरी बाजू = 133 सेमी

वापरलेले सूत्र:

समान त्रिकोणांसाठी, संबंधित बाजू प्रमाणबद्ध आहेत:

\(\frac{\text{Side of smaller triangle}}{\text{Corresponding side of larger triangle}} = \frac{\text{Other side of smaller triangle}}{\text{Other side of larger triangle}}\)

गणना:

\(\frac{126}{147} = \frac{X}{133}\)

⇒ \(\frac{6}{7} = \frac{X}{133}\)

⇒ \(X = \frac{6}{7} \times 133\)

⇒ X = 114

∴ X चे मूल्य 114 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

△ABC मध्ये, DE || AC

BD = 8 सेमी, AD = 7 सेमी

वापरलेले सूत्र:

मूलभूत समानुपातिक प्रमेय (थॅलेस प्रमेय):

जर DE || AC असेल तर

दोन सारख्या त्रिकोणांचे क्षेत्रफळ संबंधित बाजूंच्या वर्गांना समानुपाती असते.

क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = (BD / AB)²

गणना:

AB = AD + BD = 7 + 8 = 15 सेमी

△BDE चे क्षेत्रफळ आणि △ABC च्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = (8/15)² = 64/225

ADEC समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = △ABC चे क्षेत्रफळ - △BDE चे क्षेत्रफळ

अपेक्षित गुणोत्तर:

क्षेत्रफळ(△BDE) : क्षेत्रफळ(ADEC)

= 64 : (225 - 64)

= 64 : 161

म्हणूनच, △BDE चे क्षेत्रफळ आणि ADEC समलंब चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर 64 : 161 आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

ΔPQR मध्ये:

PQ = 5 सेमी, QR = 6 सेमी, PR = 7 सेमी

ΔXYZ मध्ये:

XY = 5 सेमी, YZ = 6 सेमी, XZ = 7 सेमी

वापरलेले सूत्र:

बाबाबा (बाजू-बाजू-बाजू) सर्वांगसमता नियम:

जर एका त्रिकोणाच्या तीन बाजू दुसऱ्या त्रिकोणाच्या तीन बाजूंइतक्या असतील, तर ते त्रिकोण सर्वांगसम असतात.

गणना:

बाजूंच्या लांबींची तुलना करून:

PQ = XY = 5 सेमी

QR = YZ = 6 सेमी

PR = XZ = 7 सेमी

सर्व संगत बाजू समान असल्याने, SSS सर्वांगसमता नियमानुसार:

⇒ ΔPQR ≅ ΔXYZ

म्हणूनच, योग्य विधान ΔPQR ≅ ΔXYZ आहे.

दिलेले आहे:

त्रिकोण PQR चा अंतःकेंद्र O आहे.

S हा QR वरील बिंदू आहे असा की OS ⊥ QR.

∠QOS = 15°.

वापरलेले सूत्र:

अंतःकेंद्र हे त्रिकोणाच्या कोनदुभाजकांचे छेदनबिंदू असते.

त्रिकोणातील कोनांची बेरीज 180° असते.

काटकोन त्रिकोणात, दोन लघुकोनांची बेरीज 90° असते.

गणना:

त्रिकोण OQS मध्ये, ∠OSQ = 90° (दिलेले आहे OS ⊥ QR).

∠QOS = 15° (दिलेले आहे).

म्हणून, ∠OQS = 180° - (90° + 15°) = 180° - 105° = 75°.

O हा अंतःकेंद्र असल्याने, OQ हा ∠PQR चा दुभाजक आहे.

म्हणून, ∠PQR = 2 x ∠OQS = 2 x 75° = 150°.

म्हणून ∠PQR = 150°.

दिलेले आहे:

दोन सारख्या त्रिकोणांच्या दोन संगत बाजूंच्या लांबीचे गुणोत्तर 17 : 13 आहे.

वापरलेले सूत्र:

दोन सारख्या त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर म्हणजे त्यांच्या संगत बाजूंच्या गुणोत्तराचे वर्ग असतो.

गणना:

संगत बाजूंच्या लांबीचे गुणोत्तर 17/13 असू द्या.

त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = (बाजूंच्या लांबीचे गुणोत्तर)²

⇒ क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = (17/13)²

⇒ क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = 17² / 13²

⇒ क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर = 289 / 169

या दोन त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर 289 : 169 आहे.

दिलेली माहिती:

ABC हा काटकोन त्रिकोण आहे. त्यात एक वर्तुळ कोरलेले आहे.

काटकोन असलेल्या दोन बाजूंची लांबी 10 सेमी आणि 24 सेमी आहे

गणना :

कर्ण² = 10² + 24²    (पायथागोरस प्रमेय)

कर्ण = √676 = 26

त्रिकोणाच्या आतील वर्तुळाची त्रिज्या (वर्तुळाकार) = ( काटकोन असलेल्या बाजूंची बेरीज - कर्ण)/2

⇒ (10 + 24 - 26)/2

⇒ 8/2

⇒ 4

∴ योग्य निवड पर्याय 4 ही आहे.

दिलेल्याप्रमाणे:

ΔABC ~ ΔPQR

ΔABC चे क्षेत्रफळ = 64 सेमी²

ΔPQR चे क्षेत्रफळ = 81 सेमी²

PT = 10.8 सेमी 

AD हा ΔABC चा मध्यक आहे.

PT हा ΔPQR चा मध्यक आहे.

संकल्पना: 

दोन समान त्रिकोणांच्या क्षेत्रांचे गुणोत्तर हे संबंधित बाजू आणि मध्यकाच्या वर्गांच्या गुणोत्तरासारखे असते.

\(\text{Area of (ΔABC)}\over{\text{Area of (ΔPQR)}}\) = \(({AD\over PT})^2\)

गणना:

\(\text{Area of (ΔABC)}\over{\text{Area of (ΔPQR)}}\) = \(({AD\over PT})^2\)

⇒ \(64\over81\) = \(({AD\over PT})^2\) 

⇒​ \(AD\over PT\) = \(\sqrt{64\over81}\) = \(8\over9\)

⇒​ \(AD\over 10.8\) = \(8\over9\)

⇒​ AD = \({8\times10.8}\over9\) = 9.6 सेमी

∴ AD = 9.6 सेमी 

दिलेले आहे:

ΔPQR ∼ ΔDEF

ΔPQR आणि ΔDEF च्या बाजू 5 ∶ 6 या प्रमाणात आहेत.

क्षेत्रफळ(PQR) = 75 सेमी2

वापरलेली संकल्पना:

समान त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळाचे गुणोत्तर हे संबंधित त्रिकोणांच्या बाजूंच्या गुणोत्तराच्या वर्गाच्या समान असते.

गणना:

ΔPQR ∼ ΔDEF

क्षेत्रफळ(PQR)/क्षेत्रफळ(DEF) = (ΔPQR ची बाजू/ΔDEF ची बाजू)2

⇒ 75 सेमी2 /क्षेत्रफळ(DEF) = (5/6)2

⇒ क्षेत्रफळ(DEF) = 108 सेमी2

∴ ΔDEF चे क्षेत्रफळ 108 सेमी2 आहे.  

दिलेल्याप्रमाणे:

ΔABC मध्ये, दिलेल्या त्रिकोणासाठी O हा लंबसंपात बिंदू आहे आणि I हे अंतर्वर्तुळ केंद्र आहे.

जर ∠BIC - ∠BOC = 90∘.

वापरलेले सूत्र:

(1) ΔABC मध्ये, I हे दिलेल्या त्रिकोणासाठी अंतर्वर्तुळ केंद्र आहे,

(1.1) ∠BIC = 90^∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A

(1.2) ∠AIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠B

(1.3) ∠AIB = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠C

(2) ΔABC मध्ये, दिलेल्या त्रिकोणासाठी O हा लंबसंपात बिंदू आहे,

(2.1) ∠BOC = 180^∘ - ∠A

(2.2) ∠AOB = 180∘ - ∠C

(3.3) ∠AOC = 180∘ - ∠B

गणना:

प्रश्नानुसार, आवश्यक आकृती पुढीलप्रमाणे आहे:

आपल्याला माहित आहे,

∠BOC = 180∘ - ∠A     ----(1)

∠BIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A    ----(2)

आता, समीकरण (2) मधून समीकरण (1) वजा करु.

⇒ ∠BIC - ∠BOC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A  - (180∘ - ∠A )

⇒ 90^∘ = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A  - 180∘ + ∠A

⇒ 90∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A  - 90∘

⇒ 180∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A

⇒ ∠A = 120^∘

∴ आवश्यक उत्तर 120∘ हे आहे.

Additional Information

(1) अंतर्वर्तुळ केंद्र - हा त्रिकोणाच्या तीनही कोन दुभाजकांचा छेदनबिंदू असतो.

(1.1) कोन दुभाजक हा कोनानां दोन समान अर्ध्य भागांमध्ये विभाजित करतो.

(2) लंबसंपात बिंदू - हा शिरोबिंदूपासून त्रिकोणाच्या विरुद्ध बाजूस काढलेल्या तीनही शिरोलंबाचा छेदनबिंदू असतो.

(2.1) त्रिकोणाचा शिरोलंब विरुद्ध बाजूस लंब असतो.

AB = 8 सेमी, ∠A हा BC ला D येथे छेदण्यासाठी अंतर्गत दुभाजक आहे,

⇒ AB/AC = BD/CD

⇒ 8/AC = 6/7.5

∴ AC = 10 सेमी

दिलेल्याप्रमाणे:

ΔPQR मध्ये,

PQ = 12 सेमी, QR = 16 सेमी आणि PR = 20 सेमी

वापरलेली संकल्पना:

a, b आणि c त्रिकोणाच्या बाजू दर्शवतात आणि A हा त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ दर्शवतो,

तर परिमिती (r) चे माप आहे.

r = [abc/4A]

जर एका बाजूचा वर्ग हा इतर दोन बाजूंच्या वर्गांच्या बेरजेइतका असेल, तर सर्वात मोठ्या बाजूच्या विरुद्ध असलेला कोन काटकोन असतो.

कर्ण² = लंब² + पाया²

गणना:

येथे, आपण ते पाहू शकतो

(20)2 = (16)2 + (12)2  = 400 

⇒ PR2 = QR2 + PQ2

म्हणून, ΔPQR हा काटकोन त्रिकोण आहे.

ΔPQR चे क्षेत्रफळ = (½ ) × पाया × लंब

⇒ ΔPQR चे क्षेत्रफळ = (½ ) × 16 × 12

⇒ ΔPQR चे क्षेत्रफळ = 96 सेमी²

परित्रिज्या (r) = [abc/4 × क्षेत्रफळ]

परित्रिज्या (r) = [(12 × 16 × 20)/4 × 96] = 10 सेमी

∴ त्रिकोणाची परित्रिज्या 10 सेमी आहे.

काटकोन त्रिकोणासाठी, परिकेंद्र हे कर्णाच्या मध्यबिंदूवर असते. त्रिकोणाचे सर्व शिरोबिंदू परिकेंद्रापासून समान अंतरावर असतात.

PO = QO = OR = r

⇒ PO = PR/2

⇒ PO = 20/2 = 10 सेमी

∴ त्रिकोणाची परित्रिज्या 10 सेमी आहे.

दिलेले आहे:

 Δ ABC ∼ Δ QPR, \(\rm \frac{ar(Δ ABC)}{ar(Δ PQR)}=\frac{4}{9}\),

AC = 12 सेमी, AB = 18 सेमी आणि BC = 10 सेमी 

वापरलेली संकल्पना:

Δ ABC ∼ Δ QPR ⇒ संबंधित क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = संबंधित बाजूंच्या वर्गाचे गुणोत्तर

ते म्हणजे, \(\rm \frac{ar(Δ ABC)}{ar(Δ PQR)}=\frac{AB^2}{QP^2}=\frac{BC^2}{PR^2}=\frac{AC^2}{QR^2}\)

गणना:

⇒ 4/9 = (10)²/PR²

⇒ PR² = 900/4

⇒ PR2 = 225

⇒ PR = 15 सेमी

Mistake Pointsया प्रश्नात, ΔABC हा ΔQPR सारखा आहे असे दिले आहे. ΔPQR म्हणून चुकीचे वाचू नका.

∵ AE + EC = AC

⇒ EC = 5 सेमी

कोन दुभाजक प्रमेयानुसार,

तर, AE/EC = AB/BC

⇒ 4/5 = AB/10

∴ AB = 8 सेमी

दिल्याप्रमाणे:

∠BAC = ∠BCD, AB = 32 सेमी आणि BD = 18 सेमी 

संकल्पना:

जर दोन त्रिकोण समान असतील तर संबंधित बाजूंचे प्रमाण समान असते.

गणना:

त्रिकोणी ABC आणि CBD मध्ये;

∠BAC = ∠BCD

∠B सामाइक

म्हणूनच, ABC आणि CBD त्रिकोण कोन-कोन सममितीमुळे एकरूप आहेत.

∴ AB/CB = BC/BD

⇒ BC² = 32 × 18 = 576

⇒ BC = 24 सेमी

दिल्याप्रमाणे,

त्रिकोणाच्या दोन्ही बाजू 3 सेमी आणि 8 सेमी लांबीच्या आहेत आणि तिसर्या बाजूची लांबी x सेंमी आहे.

जसे आपल्याला माहित आहे,

त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची बेरीज नेहमी त्रिकोणाच्या तिसर्या बाजूपेक्षा जास्त असते.

∴ त्रिकोणाच्या दोन बाजूंची बेरीज > त्रिकोणाची तिसरी बाजू.

⇒ 3 + 8> तिसरी बाजू

> 11> x

तसेच,

आणखी एक स्तिती,

⇒ x + 3> 8

⇒ x> 8 - 3

⇒ x> 5

<5