త్రిభుజాలు, సమానత్వం మరియు సారూప్యత MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Triangles, Congruence and Similarity - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

త్రిభుజం \( ABC \), \( \angle ABC \) మరియు \( \angle ACB \) ల ద్విభాగాలు \( O \) మరియు \( \angle A = 60^\circ \), అప్పుడు కోణం \( \angle BOC \) ఇలా పొందవచ్చు:

\[ \angle BOC = 90^\circ + \frac{\angle A}{2} \]

\( \angle A = 60^\circ \):

\[ \angle BOC = 90^\circ + \frac{60^\circ}{2} = 120^\circ \]

అందువలన, \( \angle BOC \) యొక్క కొలత:

\[ \boxed{120^\circ} \]

ఇవ్వబడింది:

చిన్న త్రిభుజం వైపు = 126 సెం.మీ.

పెద్ద త్రిభుజం యొక్క సంబంధిత వైపు = 147 సెం.మీ.

పెద్ద త్రిభుజం యొక్క మరొక వైపు = 133 సెం.మీ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సారూప్య త్రిభుజాలకు, సంబంధిత భుజాలు అనులోమానుపాతంలో ఉంటాయి:

\(\frac{\text{Side of smaller triangle}}{\text{Corresponding side of larger triangle}} = \frac{\text{Other side of smaller triangle}}{\text{Other side of larger triangle}}\)

లెక్కింపు:

\(\frac{126}{147} = \frac{X}{133}\)

⇒ \(\frac{6}{7} = \frac{X}{133}\)

⇒ \(X = \frac{6}{7} \times 133\)

⇒ X = 114

∴ X విలువ 114 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం ABC లో, \(\overline{AB} = 6 \, m , \overline{BC} = 8 \, m , \overline{AC} = 10 \, m .\)

త్రిభుజం PRQ లో, \(\overline{PR} = 8 \, m , \overline{PQ} = 10 \, m , \overline{RQ} = 6 \, m .\)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

రెండు త్రిభుజాల యొక్క అనురూప భుజాలు సమానంగా ఉంటే ఆ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.

గణన:

త్రిభుజాల భుజాలను పోల్చి చూద్దాం:

త్రిభుజం ABC లో:

AB = 6 మీ

BC = 8 మీ

AC = 10 మీ

త్రిభుజం PRQ లో:

PR = 8 మీ

PQ = 10 మీ

RQ = 6 మీ

మనం గమనించేది:

AB, RQ కి అనురూపం

BC, PR కి అనురూపం

AC, PQ కి అనురూపం

కాబట్టి, త్రిభుజం ABC ని త్రిభుజం RPQ కి ఈ క్రమంలో మ్యాప్ చేయవచ్చు:

Δ BCA Δ RPQ కి సర్వసమానం

సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక:

Δ BCA  కూడా సర్వసమానం $\triangle RPQ$

ఇవ్వబడింది:

రెండు సరూప త్రిభుజాల యొక్క అనురూప భుజాలు 2:3 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి.

చిన్న త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం 36 చ. సెం.మీ.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సరూప త్రిభుజాలకు, వాటి వైశాల్యాల నిష్పత్తి వాటి అనురూప భుజాల నిష్పత్తి యొక్క వర్గం.

గణన:

పెద్ద త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని A అనుకుందాం.

భుజాల నిష్పత్తి = 2:3

వైశాల్యాల నిష్పత్తి = (2/3)²

⇒ (చిన్న త్రిభుజం వైశాల్యం) / (పెద్ద త్రిభుజం వైశాల్యం) = (2/3)²

⇒ 36 / A = (2/3)²

⇒ 36 / A = 4/9

⇒ A = 36 x 9/4

⇒ A = 81

∴ సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

ఇవ్వబడింది:

రెండు త్రిభుజాలు ABC మరియు DEF లలో:

AB = EF

BC = DF

CA = DE

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాలు మరొక త్రిభుజం యొక్క మూడు అనురూప భుజాలకు సమానం అయితే, ఆ రెండు త్రిభుజాలు **SSS (భుజం-భుజం-భుజం) సర్వసమాన నియమం** ద్వారా సర్వసమానాలు.

గణన:

AB = EF, BC = DF మరియు CA = DE కాబట్టి, △ABC యొక్క మూడు భుజాలు △DEF యొక్క మూడు అనురూప భుజాలకు సమానం.

సర్వసమానత కోసం SSS ప్రమాణాన్ని నేరుగా వర్తింపజేయవచ్చు.

అంటే, రెండు త్రిభుజాల అన్ని అనురూప భుజాలు సమానం, కాబట్టి ∆ABC ≅ ∆EFD.

కాబట్టి, సరైన సమాధానం మొదటి ఎంపిక: ΔCBA ≅ ΔDFE.

∴ రెండు త్రిభుజాలు సర్వసమానాలు.

ఇచ్చిన:

ABC అనేది లంబకోణ త్రిభుజం. దానిలో ఒక వృత్తం చెక్కబడింది.

లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న రెండు భుజాల పొడవు 10 సెం.మీ మరియు 24 సెం.మీ

లెక్కలు:

కర్ణం² = 10² + 24² (పైథాగరస్ సిద్ధాంతం)

కర్ణం= √676 = 26

త్రిభుజం లోపల ఉన్న వృత్తం (అంతర్వృత్తం) యొక్క వ్యాసార్థం = (లంబ కోణాన్ని కలిగి ఉన్న భుజాల మొత్తం - కర్ణం)/2

⇒ (10 + 24 - 26)/2

⇒ 8/2

⇒ 4

∴ సరైన ఎంపిక ఎంపిక 4.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ΔABC ~ ΔPQR

ΔABC యొక్క వైశాల్యం = 64  సెం.మీ²

ΔPQR యొక్క వైశాల్యం = 81 సెం.మీ2

PT = 10.8 సెం.మీ

AD అనేది ΔABC యొక్క మధ్యగతము.

PT అనేది ΔPQR యొక్క మధ్యగతము

కాన్సెప్ట్:

రెండు సారూప్య త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి సంబంధిత భుజాలు & మధ్యగతముల వర్గాల నిష్పత్తికి సమానం.

ar(ΔABC)/ar(ΔPQR) = AD2/PT2

⇒ 64/81 = AD2/PT2 

⇒ √64/81 = AD/PT

⇒ 8/9 = AD/10.8 

∴ AD = 9.6 సెం.మీ

ఇచ్చిన:

ΔPQR ∼ ΔDEF

ΔPQR మరియు ΔDEF యొక్క భుజాలు 5 ∶ 6 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి.

(PQR) వైశాల్యం = 75 సెం.మీ²

ఉపయోగించిన భావనలు:

సారూప్య త్రిభుజాల వైశాల్యం యొక్క నిష్పత్తి సంబంధిత త్రిభుజాల భుజాల నిష్పత్తి యొక్క వర్గానికి సమానం.

లెక్కింపు:

ΔPQR ∼ ΔDEF

(PQR) వైశాల్యం/(DEF)వైశాల్యం = (ΔPQR భుజం/ΔDEF భుజం)²

⇒ 75 సెం.మీ ² /(DEF) వైశాల్యం = (5/6) ²

⇒ (DEF) వైశాల్యం = 108 సెం.మీ ²

∴ ΔDEF వైశాల్యం 108 సెం.మీ² కి సమానం.

ఇచ్చిన:

ΔABCలో, O అనేది ఆర్థోసెంటర్ మరియు I అనేది ఇచ్చిన త్రిభుజానికి కేంద్రంగా ఉంటుంది,

ఒకవేళ ∠BIC - ∠BOC = 90∘.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

(1) ΔABCలో, నేను ఇచ్చిన త్రిభుజానికి కేంద్రంగా ఉంటాను,

(1.1) ∠BIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A

(1.2) ∠AIC = 90∘ +\(\frac{1}{2}\) ∠B

(1.3) ∠AIB = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠C

(2) ΔABCలో, ఇచ్చిన త్రిభుజానికి O అనేది ఆర్థోసెంటర్,

(2.1) ∠BOC = 180∘ - ∠A

(2.2) ∠AOB = 180∘∘ - ∠C

(3.3) ∠AOC = 180∘ - ∠B

లెక్కింపు:

ప్రశ్న ప్రకారం, అవసరమైన చిత్రం:

మనకు తెలిసినట్లుగా,

∠BOC = 180∘ - ∠A     ----(1)

∠BIC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A    ----(2)

ఇప్పుడు, (1) సమీకరణాన్ని (2) నుండి తీసివేయండి.

⇒ ∠BIC - ∠BOC = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A  - (180∘ - ∠A )

⇒ 90∘ = 90∘ + \(\frac{1}{2}\)∠A  - 180∘ + ∠A

⇒ 90∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A  - 90∘

⇒ 180∘ = \(\frac{3}{2}\)∠A

⇒ ∠A = 120∘

∴ అవసరమైన సమాధానం 120∘.

Additional Information

(1) కేంద్రం - ఇది ఒక త్రిభుజంలోని మూడు కోణ ద్వైపాక్షికాల ఖండన స్థానం.

(1.1) యాంగిల్ బైసెక్టర్ కోణాన్ని రెండు సమాన సగానికి కట్ చేస్తుంది.

(2) ఆర్థోసెంటర్ - ఇది త్రిభుజం యొక్క శీర్షం నుండి ఎదురుగా ఉన్న మూడు ఎత్తుల ఖండన స్థానం.

(2.1) త్రిభుజం యొక్క ఎత్తు ఎదురుగా లంబంగా ఉంటుంది.

AB = 8 సెం.మీ., ∠A అంతర్గతంగా BCని D వద్ద కలుస్తుంది.

⇒ AB/AC = BD/CD

⇒ 8/AC = 6/7.5

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ΔPQRలో,

PQ = 12 సెం.మీ, QR = 16 సెం.మీ మరియు PR = 20 సెం.మీ

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

a, b మరియు c త్రిభుజం యొక్క భుజాలను సూచిస్తాయి మరియు A త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యాన్ని సూచిస్తుంది,

అప్పుడు పరి వ్యాసార్థం(r) యొక్క కొలత.

r = [abc/4A]

ఒక భుజం యొక్క వర్గం ఇతర రెండు భుజాల వర్గాల మొత్తానికి సమానంగా ఉంటే, పెద్ద భుజానికి ఎదురుగా ఉండే కోణం లంబ కోణం.

కర్ణం² = లంబం² + భుజం²

సాధన:

ఇక్కడ, మనం దానిని చూడవచ్చు

(20)2 = (16)2 + (12)2  = 400 

⇒ PR2 = QR2 + PQ2

కాబట్టి, ΔPQR అనేది లంబ కోణ త్రిభుజం.

ΔPQR వైశాల్యం = (½ ) × భుజం × లంబం

⇒ ΔPQR వైశాల్యం = (½ ) × 16 × 12

⇒ ΔPQR వైశాల్యం = 96 సెం.మీ² 

పరివ్యాసార్ధం (r) = [abc/4 × వైశాల్యం]

పరివ్యాసార్ధం  (r) = [(12 × 16 × 20)/4 × 96] = 10 సెం.మీ.

∴ త్రిభుజం యొక్క పరి వ్యాసార్థం 10 సెం.మీ.

లంబకోణ త్రిభుజం కోసం, చుట్టుకేంద్రం కర్ణం మధ్య బిందువు వద్ద ఉంటుంది. త్రిభుజం యొక్క అన్ని శీర్షాలు చుట్టుకేంద్రం  నుండి సమాన దూరంలో ఉంటాయి.

PO = QO = OR = r

⇒ PO = PR/2

⇒ PO = 20/2 = 10 సెం.మీ

∴ త్రిభుజం యొక్క పరి వ్యాసార్థం 10 సెం.మీ.

ఇవ్వబడినవి:

Δ ABC ∼ Δ QPR, \(\rm \frac{ar(Δ ABC)}{ar(Δ PQR)}=\frac{4}{9}\) ,

AC = 12 సె౦.మీ, AB = 18 సె౦.మీ మరియు BC = 10 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

Δ ABC ∼ Δ QPR ⇒ సంబంధిత వ్యాసార్థాల నిష్పత్తి = సంబంధిత భుజాల వర్గాల నిష్పత్తి

అంటే, \(\rm \frac{ar(Δ ABC)}{ar(Δ PQR)}=\frac{AB^2}{QP^2}=\frac{BC^2}{PR^2}=\frac{AC^2}{QR^2}\)

లెక్కింపు:

⇒ 4/9 = (10)² /PR²

⇒ PR² = 900/4

⇒ PR2 = 225

⇒ PR = 15 సెం.మీ

మిస్టేక్ పాయింట్లు ఈ ప్రశ్నలో, ΔABC ΔQPRని పోలి ఉంటుంది. ΔPQR అని తప్పుగా చదవవద్దు.

∵ AE + EC = AC

⇒ EC = 5 సెం.మీ.

కోణ సమద్విఖండన సిద్ధాంతం ప్రకారం,

కాబట్టి, AE/EC = AB/BC

⇒ 4/5 = AB/10

∴ AB = 8 సెం.మీ.

ఇచ్చిన ప్రకారం:

∠BAC = ∠BCD, AB = 32 సెం.మీ మరియు BD = 18 సెం.మీ

కాన్సెప్ట్:

రెండు త్రిభుజాలు సమానంగా ఉంటే, సంబంధిత భుజాల నిష్పత్తి సమానంగా ఉంటుంది.

గణన:

 ABC మరియు CBD త్రిభుజంలో;

∠BAC = ∠BCD

∠B అనేది సాధారణం

అందువల్ల, ABCA మరియు CBD త్రిభుజాలు AA తో సమానంగా ఉంటాయి.

∴ AB/CB = BC/BD

⇒ BC2 = 32 × 18 = 576

⇒ BC = 24 సెం.మీ

ఇచ్చినది,

త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల పొడవు 3 సెం.మీ మరియు 8 సెం.మీ మరియు దాని మూడవ భుజం పొడవు x సెం.మీ.

మనకు తెలిసినట్లు,

త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ త్రిభుజం యొక్క మూడవ భుజం కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.

త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల మొత్తం> త్రిభుజం యొక్క మూడవ భుజం.

⇒ 3 + 8 >  మూడవ భుజం

⇒ 11 > x

అలాగే,

మరొక కేసు ఉంటుంది,

 ⇒ x + 3 > 8

⇒ x > 8 - 3

⇒ x > 5

∴ 5 < x < 11