చతుర్భుజాలు MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Quadrilaterals - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ABCD చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం కనుగొనడానికి, ఈ సూత్రాన్ని ఉపయోగిద్దాం:

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times (h_1 + h_2) \]

ఇక్కడ:

• \( d_1 = BD = 10 \, \text{cm} \),
• \( h_1 \) మరియు \( h_2 \) లు \( A \) మరియు \( C \) ల నుండి \( BD \) కి గీయబడిన లంబాల పొడవులు.

లంబాల మొత్తం \( 18 \, \text{cm} \) అని ఇవ్వబడింది. ఈ విలువలను సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించండి:

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 10 \times 18 \]

\[ \text{Area} = 5 \times 18 \]

\[ \text{Area} = 90 \, \text{cm}^2 \]

కాబట్టి, ABCD చతుర్భుజం యొక్క వైశాల్యం:

\[ \boxed{90} \]

ఇచ్చిన:

రాంబస్ యొక్క ఒక కర్ణం పొడవు = 40 సెం.మీ

రాంబస్ యొక్క ఇతర కర్ణం యొక్క పొడవు = 60 సెం.మీ

ఊపయోగించిన సూత్రం:

రాంబస్‌లో, కర్ణాలు ఒకదానికొకటి లంబంగా ఉండే ద్విభాగాలుగా ఉంటాయి మరియు అవి రాంబస్‌ను నాలుగు సమానమైన లంబకోణ త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయి.

రాంబస్ భుజం పొడవును కనుగొనడానికి పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగిస్తాము.

పరిష్కారం:

రాంబస్ భుజం పొడవును "s"గా మరియు కర్ణాన్ని d1 మరియు d2గా సూచిస్తాము.

ఇచ్చిన సమాచారం ప్రకారం, రాంబస్ యొక్క కర్ణాలు 40 సెం.మీ మరియు 60 సెం.మీ. ఈ కర్ణాలు రాంబస్‌ను నాలుగు సమానమైన లంబకోణ త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయి.

పైథాగరియన్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి, మనం లంబకోణ త్రిభుజాలలో ఒకదానికి ఈ క్రింది సమీకరణాన్ని వ్రాయవచ్చు:

(d1/2)² + (d2/2)² = (s)2

ఈ సమీకరణాన్ని సులభతరం చేయగా:

(40/2)2 + (60/2)2 = (s)2

(20)2 + (30)2 = (s)2

400+ 900 = (s)2

s2 = 1300

s = √1300

s = 10√13

కాబట్టి, రాంబస్ భుజం పొడవు 10√13 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

ఒక సక్రమ బహుభుజికి 65 కర్ణాలు ఉంటే, ఆ బహుభుజిలోని భుజాల సంఖ్య:

ఉపయోగించిన సూత్రం:

బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = n(n - 3) / 2

గణన:

ఇవ్వబడిన కర్ణాల సంఖ్య = 65

భుజాల సంఖ్య n అనుకుందాం.

సూత్రాన్ని ఉపయోగించి:

n(n - 3) / 2 = 65

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి:

n(n - 3) = 130

వర్గ సమీకరణాన్ని సాధించండి:

n² - 3n - 130 = 0

వర్గ సమీకరణాన్ని కారణాంకాలను కనుగొనండి:

(n - 13)(n + 10) = 0

కాబట్టి, n = 13 లేదా n = -10

భుజాల సంఖ్య రుణాత్మకంగా ఉండదు కాబట్టి, n = 13

కాబట్టి, బహుభుజికి 13 భుజాలు ఉన్నాయి.

ఇవ్వబడింది:

JKLM చతుర్భుజంలో, కోణాలు J, K, L మరియు M ల కొలతలు 2: 3: 5: 6 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

చతుర్భుజం యొక్క అంతర కోణాల మొత్తం = 360°

గణన:

కోణాల కొలతలు 2x, 3x, 5x మరియు 6x అనుకుందాం.

కోణాల మొత్తం = 2x + 3x + 5x + 6x = 360°

⇒ 16x = 360°

⇒ x = 360° / 16

⇒ x = 22.5°

కాబట్టి, కోణాల కొలతలు:

కోణం J = 2x = 2 x 22.5° = 45°

కోణం K = 3x = 3 x 22.5° = 67.5°

కోణం L = 5x = 5 x 22.5° = 112.5°

కోణం M = 6x = 6 x 22.5° = 135°

అన్ని కోణాలు వేరేవి కాబట్టి, చతుర్భుజం పతంగం, సమాంతర చతుర్భుజం లేదా చతురస్రం కాదు. ఇది ట్రెపీజియం.

సరైన సమాధానం 3వ ఎంపిక.

ఇవ్వబడింది:

ఒక సక్రమ బహుభుజికి 35 కర్ణాలు ఉన్నాయి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

బహుభుజిలోని కర్ణాల సంఖ్య = \(\frac{n(n-3)}{2}\), ఇక్కడ n భుజాల సంఖ్య.

అంతర కోణాల మొత్తం = (n - 2) x 180°.

గణన:

కర్ణాల సంఖ్య: \(\frac{n(n-3)}{2} = 35\)

⇒ n(n - 3) = 70

⇒ n² - 3n - 70 = 0

వర్గ సమీకరణాన్ని కారణాంకాలు చేయండి:

⇒ n² - 10n + 7n - 70 = 0

⇒ n(n - 10) + 7(n - 10) = 0

⇒ (n + 7)(n - 10) = 0

⇒ n = 10 (n > 0 కాబట్టి)

అంతర కోణాల మొత్తం:

⇒ (n - 2) x 180° = (10 - 2) x 180° = 8 x 180° = 1440°

∴ అంతర కోణాల మొత్తం 1440°.

ఇవ్వబడినది:

ఒక వృత్తం అనేది చతుర్భుజం PQRS యొక్క నాలుగు వైపులా తాకుతుంది. PQ = 11 సెం.మీ. QR = 12 సెం.మీ మరియు PS = 8 సెం.మీ

లెక్కింపు:

ఒక వృత్తం అనేది చతుర్భుజం PQRS యొక్క నాలుగు వైపులా తాకినట్లయితే, 

PQ + RS = SP + RQ

కావునా,

⇒ 11 + RS = 8 + 12

⇒ RS = 20 - 11

⇒ RS = 9

∴ సరైన ఎంపిక 3.

భావన:

అష్టభుజికి ఎనిమిది వైపులా ఉన్నాయి.

డోడెకాగాన్ పన్నెండు వైపులా ఉంది.

ఫార్ములా:

బహుభుజి యొక్క అంతర్గత కోణం = {(n - 2) × 180 °} / n

లెక్కింపు:

అష్టభుజి యొక్క అంతర్గత కోణం = (8 - 2) / 8 × 180 ° = 1080 ° / 8 = 135 °

డోడెకాగాన్ యొక్క అంతర్గత కోణం = (12 - 2) / 12 × 180 ° = 1800 ° / 12 = 150 °

 అష్టభుజి నిష్పత్తి: డోడెకాగాన్ = 9: 10

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

సమాంతర చతుర్భుజం ABCDలో, AL మరియు CM వరుసగా CD మరియు ADలకు లంబంగా ఉంటాయి.

AL = 20 సెం.మీ, CD = 18 సెం.మీ మరియు CM = 15 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

సమాంతర చతుర్భుజ వైశాల్యం = భూమి × ఎత్తు

సమాంతర చతుర్భుజం చుట్టుకొలత = 2 × (సమాంతర భుజాల మొత్తం)

సాధన:

భూమి DCతో ABCD యొక్క వైశాల్యం = AL × DC = 20 × 18

⇒ 360 సెం.మీ²

మళ్లీ,భూమి AD తో ABCD యొక్క వైశాల్యం= CM × AD = 15 × AD

⇒ 360 సెం.మీ² = 15 × AD

⇒ AD = 24 సెం.మీ

∴ AD = BC = 24 సెం.మీ, DC = AB = 18 సెం.మీ

ABCD యొక్క చుట్టుకొలత = 2 × (24 + 18)

⇒ 2 × 42

⇒ 84 సెం.మీ

∴ అవసరమైన ఫలితం = 84 సెం.మీ

దీర్ఘచతురస్రపు కర్ణాలు ఒకదానితో ఒకటి ఖండించుకుంటాయి కాబట్టి,

⇒ AO = OB

⇒ ∠OBA = ∠OAB = 25° [∵ సమాన భుజాల యొక్క వ్యతిరేక కోణాలు సమానంగా ఉంటాయి.]

 ΔAOBలో కోణాల మొత్తం ధర్మం ప్రకారం,

⇒ ∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°

⇒ ∠AOB + 25° + 25° = 180°

⇒ ∠AOB = 130°

ఆసన్న కోణాల నియమం ప్రకారం,

⇒ ∠DOA + ∠AOB = 180°

⇒ ∠DOA + 130° = 180°

⇒ ∠DOA = 50°

ఇచ్చిన:

PQRS అనేది చక్రీయ సమలంబ చతుర్భుజం, PQ RSకి సమాంతరంగా ఉంటుంది.

PQ అనేది వ్యాసం & ∠QPR = 40°

భావన:

అర్ధ వృత్తంలో చేసిన కోణం లంబ కోణం.

చక్రీయ సమలంబ చతుర్భుజం యొక్క ఎదురెదురు కోణాల మొత్తం 180°.

లెక్కింపు:

త్రిభుజం PQRలో,

∠RPQ + ∠RQP + ∠QRP = 180° [త్రిభుజం యొక్క కోణాల మొత్తం]

⇒ 40° + ∠RQP + 90° = 180°

⇒ ∠RQP = 180° - 130° = 50°

∠RQP + ∠PSR = 180° [సంపూరక కోణాలు]

∴ ∠PSR = 180° - 50° = 130°

ఇచ్చిన:

∠BEC = 138° మరియు ∠ECD = 35°

ఉపయోగించిన భావన:

చక్రీయ చతుర్భుజ కోణాలలో ఒకే ఆర్క్‌లో ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటాయి

లెక్కింపు:

∠BEC మరియు ∠CED ఒకే సరళ రేఖలలో ఉన్నాయి

∠BEC =138°

∠CED = 180° – 138°

⇒ ∠CED = 42°

ΔCDEలో, ∠CED = 42° మరియు ∠DCE = 35°

∠CDE = 180° - (42° + 35°)

∠CDE = 103°

∠BAC మరియు ∠BDC ఒకే ఆర్క్ BCలో ఉన్నాయి

ఒకే ఆర్క్‌పై చక్రీయ చతుర్భుజ కోణాలు ఎల్లప్పుడూ ఒకే విధంగా ఉంటాయని మనకు తెలుసు.

∠BAC = 103°

∴ ∠BAC యొక్క కొలత 103°  

ఇచ్చిన:

∠B = 104°

ఉపయోగించిన సూత్రం:

చక్రీయ చతుర్భుజం యొక్క వ్యతిరేక కోణాలు = 180°

లెక్కింపు:

ఇచ్చిన చక్రీయ చతుర్భుజ ABCDలో

⇒ ∠ABD + ∠ADC = 180° 

⇒ ∠ADC = 180° - 104° = 76° 

⇒ ∠PAC = ∠PCA = ∠ADC = 76° (ప్రత్యామ్నాయ సెగ్మెంట్ సిద్ధాంతం)

ΔPAC లో

⇒ ∠PAC + ∠PCA + ∠APC = 180°

⇒ 76° + 76° + ∠APC = 180°

⇒ ∠APC = 180° - 152° = 28°

∴ అవసరమైన ఫలితం 28°.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

AB = 16 సెం.మీ

CD = 18 సెం.మీ

AD = 12 సెం.మీ

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

కర్ణం PR కర్ణం QSని విభజించినట్లయితే

PQ × QR = PS × RS

చక్రీయ చతుర్భుజ PQRSలో

PR × SQ = PQ × RS + PS × QR

సాధన:

కాన్సెప్ట్ ప్రకారం..

AB × BC = CD × AD

⇒ 16BC = 18 × 12

⇒ 16BC = 216

⇒ BC = 13.5 సెం.మీ

ఇప్పుడు,

మళ్ళీ కాన్సెప్ట్ ప్రకారం,

AC.DB = AB × CD + AD × BC

⇒ AC.DB = 16 × 18 + 12 × 13.5

⇒ AC.DB = 288 + 162

⇒ AC.DB = 450

∴ AC, BD విలువ 450.

ఇవ్వబడింది:

బాహ్యకోణం = 45° 

వాడిన సూత్రం:

బాహ్యకోణం = (360°/n)

n భుజాలున్న బహుభుజి యొక్క కర్ణాల సంఖ్య= (n² - 3n)/2

ఇక్కడ, n = బహుభుజి భుజాల సంఖ్యకి సమానం

లెక్క:

బాహ్యకోణం = (360°/n)

⇒ 45° = (360°/n)

⇒ n = 8 

ఇప్పుడు, 'n' భుజాలున్న బహుభుజి యొక్క కర్ణాల సంఖ్య

⇒ (n2 - 3n)/2

⇒ (64 - 24)/2

⇒ 20

∴ కర్ణాల సంఖ్య 20.

ఇచ్చిన:

∠CED = 57° మరియు ∠A = 47°

ఉపయోగించిన భావన:

త్రిభుజం యొక్క అన్ని కోణాల మొత్తం = 180°

చతుర్భుజం యొక్క అన్ని కోణాల మొత్తం = 360°

లెక్కింపు:

ΔCEDలో, ∠CDE + ∠DCE + ∠CED = 180°

⇒ ∠ D/2 + ∠C/2 + 57° = 180°

⇒ ∠D/2 + ∠C/2 = 180° - 57° = 123°

⇒ (∠D + ∠C)/2 = 123°

⇒ ∠D + ∠C = 123° × 2 = 246°

అలాగే, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

⇒ 47° + ∠B + 246° = 360° [∵ ∠D + ∠C = 246°]

⇒ ∠B = 360° - 246° - 47° = 67°

∴ ∠B యొక్క కొలత 67°

షార్ట్‌కట్ ట్రిక్ ∠CED = 57° మరియు ∠A = 47°

∠C మరియు ∠D యొక్క ద్విభాగాలు పాయింట్ E వద్ద కలుస్తాయి

∠A + ∠B = 2 ∠CED

⇒ 47° + ∠B = 2 × 57°

⇒ ∠B = 114° - 47° = 67°

∴ ∠B యొక్క కొలత 67°