నిరూపక జ్యామితి MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Co-ordinate Geometry - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇచ్చినవి:

147x - 231y = 525

77x - 49y = 203

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఖండన బిందువును కనుగొనడానికి, సమీకరణాల వ్యవస్థను సాధించండి.

గణన:

రెండవ సమీకరణాన్ని 3తో గుణించండి:

⇒ 231x - 147y = 609

ఇప్పుడు మార్పు చేసిన రెండవ సమీకరణం నుండి మొదటి సమీకరణాన్ని తీసివేయండి:

⇒ (231x - 147y) - (147x - 231y) = 609 - 525

⇒ 84x + 84y = 84

⇒ x + y = 1

మొదటి సమీకరణంలో x + y = 1ని ఉపయోగించి:

⇒ 147x - 231(1 - x) = 525

⇒ 147x - 231 + 231x = 525

⇒ 378x = 756

⇒ x = 2

x + y = 1 లో x = 2ని ఉపయోగించి:

⇒ 2 + y = 1

⇒ y = -1

కాబట్టి, ఖండన బిందువు (2, -1).

ఇప్పుడు (2, -1) బిందువు ఏ సమీకరణాన్ని తృప్తిపరుస్తుందో తనిఖీ చేయండి:

9x - 5y = 23 కొరకు:

⇒ 9(2) - 5(-1) = 18 + 5 = 23

∴ సరైన సమాధానం 1వ ఎంపిక.

P(5, -12) బిందువు గుండా వెళ్ళి, అక్షాలపై సమాన అంతరఖండాలను ఏర్పరిచే రేఖ సమీకరణాన్ని కనుగొనడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. సమాన అంతరఖండాల నియమాన్ని అర్థం చేసుకోవడం:
   ఒక రేఖ అక్షాలపై సమాన అంతరఖండాలను ఏర్పరిస్తే, అంటే ఆ రేఖ x-అక్షం మరియు y-అక్షాన్ని మూలబిందువు నుండి సమాన దూరంలో ఖండించడం. అంతరఖండాలను a అనుకుందాం. అప్పుడు:
   • x-అంతరఖండం (a, 0).
   • y-అంతరఖండం (0, a).
2. రేఖ సమీకరణాన్ని రాయడం:
   అంతరఖండ రూపంలో రేఖ సమీకరణం:
   \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1 \]
   సమీకరణాన్ని సరళీకరించడం:
   \[ x + y = a \]
3. P(5, -12) బిందువును ప్రతిక్షేపించడం:
   రేఖ P(5, -12) గుండా వెళుతుంది కాబట్టి, x = 5 మరియు y = -12 ను సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ 5 + (-12) = a \]
   \[ -7 = a \]
4. రేఖ యొక్క చివరి సమీకరణాన్ని రాయడం:
   a = -7 ను x + y = a సమీకరణంలో ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ x + y = -7 \]
   సమీకరణాన్ని పునర్వ్యవస్థీకరించడం:
   \[ x + y + 7 = 0 \]

చివరి సమాధానం:

రేఖ సమీకరణం:

\[ \boxed{x + y + 7 = 0} \]

3x + 4y - 12 = 0 రేఖ యొక్క x-అంతరఖండం మరియు y-అంతరఖండాలు వరుసగా a మరియు b అయితే, a² + b² విలువను కనుగొనడానికి ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. x-అంతరఖండం (a) ను కనుగొనండి:
   y = 0 అయినప్పుడు x-అంతరఖండం ఏర్పడుతుంది. రేఖ సమీకరణంలో y = 0 ని ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ 3x + 4(0) - 12 = 0 \]
   సరళీకరించండి:
   \[ 3x - 12 = 0 \]
   x కోసం సాధించండి:
   \[ 3x = 12 \]
   \[ x = 4 \]
   కాబట్టి, x-అంతరఖండం a = 4.
2. y-అంతరఖండం (b) ను కనుగొనండి:
   x = 0 అయినప్పుడు y-అంతరఖండం ఏర్పడుతుంది. రేఖ సమీకరణంలో x = 0 ని ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ 3(0) + 4y - 12 = 0 \]
   సరళీకరించండి:
   \[ 4y - 12 = 0 \]
   y కోసం సాధించండి:
   \[ 4y = 12 \]
   \[ y = 3 \]
   కాబట్టి, y-అంతరఖండం b = 3.
3. a² + b² ను లెక్కించండి:
   ఇప్పుడు, a = 4 మరియు b = 3 ని a² + b² లో ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ a^2 + b^2 = 4^2 + 3^2 \]
   \[ a^2 + b^2 = 16 + 9 \]
   \[ a^2 + b^2 = 25 \]

చివరి సమాధానం:

a² + b² విలువ:

\[ \boxed{25} \]

P(5, 6) బిందువు A(2, 3) మరియు B(9, 10) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని అంతర్గతంగా ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుగొనడానికి ఈ దశలను అనుసరించండి:

ఖండన సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
ఖండన సూత్రం ఏమిటంటే, P(x, y) బిందువు A(x₁, y₁) మరియు B(x₂, y₂) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని k : 1 నిష్పత్తిలో అంతర్గతంగా విభజిస్తే, అప్పుడు:
\[ x = \frac{kx_2 + x_1}{k + 1}, \quad y = \frac{ky_2 + y_1}{k + 1} \]
ఇక్కడ:

A(2, 3) అనేది (x1, y1),

B(9, 10) అనేది (x2, y2),

P(5, 6) అనేది (x, y).

1. నిరూపకాలను ఖండన సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించండి:
   x-నిరూపకాలను ఉపయోగించి:
   \[ 5 = \frac{k(9) + 2}{k + 1} \]
   రెండు వైపులా k + 1తో గుణించండి:
   \[ 5(k + 1) = 9k + 2 \]
   విస్తరించి సరళీకరించండి:
   \[ 5k + 5 = 9k + 2 \]
   \[ 5 - 2 = 9k - 5k \]
   \[ 3 = 4k \]
   \[ k = \frac{3}{4} \]
2. y-నిరూపకాలతో ధృవీకరించండి:
   y-నిరూపకాలను ఉపయోగించి:
   \[ 6 = \frac{k(10) + 3}{k + 1} \]
   k = \(\frac{3}{4}\) ను ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ 6 = \frac{\frac{3}{4}(10) + 3}{\frac{3}{4} + 1} \]
   సరళీకరించండి:
   \[ 6 = \frac{\frac{30}{4} + 3}{\frac{7}{4}} \]
   \[ 6 = \frac{\frac{30}{4} + \frac{12}{4}}{\frac{7}{4}} \]
   \[ 6 = \frac{\frac{42}{4}}{\frac{7}{4}} \]
   \[ 6 = \frac{42}{4} \times \frac{4}{7} \]
   \[ 6 = 6 \]
   y-నిరూపకాలు ఫలితాన్ని ధృవీకరిస్తాయి.
3. నిష్పత్తిని రాయండి:
   k : 1 నిష్పత్తి \(\frac{3}{4} \): 1. దీన్ని పూర్ణాంకాల నిష్పత్తిగా వ్యక్తీకరించడానికి, రెండు వైపులా 4తో గుణించండి:
   \[ 3 : 4 \]

చివరి సమాధానం:

P(5, 6) బిందువు A(2,3) మరియు B(9,10) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని అంతర్గతంగా ఈ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది:

\[ \boxed{3 : 4} \]

చతుర్భుజం వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి \( ABCD \), మనం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times (h_1 + h_2) \]

ఇక్కడ:

• \( d_1 = BD = 10 \, \text{cm} \),
• \( h_1 \) మరియు \( h_2 \) అనేవి వరుసగా \( A \) మరియు \( C \) నుండి \( BD \), వరకు ఉన్న లంబాల పొడవులు.

లంబాల మొత్తం \( 18 \, \text{cm} \), విలువలను సూత్రంలోకి ప్రతిక్షేపించండి:

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 10 \times 18 \]

\[ \text{Area} = 5 \times 18 \]

కాబట్టి, చతుర్భుజం వైశాల్యం \( ABCD \) అంటే:

\[ \boxed{90} \]

A(4, 1), B(1, 1) మరియు C(3, 5) లు ఒక త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు, అప్పుడు

⇒ AB2 = (1 - 1)2 + (1 - 4)2 = 9

⇒ BC2 = (5 - 1)2 + (3 - 1)2 = 20

⇒ AC2 = (5 - 1)2 + (3 - 4)2 = 17

ఇవ్వబడినది:

సెంట్రాయిడ్ బిందువు = (4,8)

శీర్షం 1 బిందువు= (9,7)

శీర్షం 2 బిందువు = (1,4)

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

త్రిభుజం యొక్క శీర్షాల బిందువులు (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), (x 3 , y 3 ) అయితే, త్రిభుజం యొక్క సెంట్రాయిడ్ సూత్రం క్రింద ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం యొక్క సెంట్రాయిడ్ = ((x 1 + x 2 + x 3 )/3, (y 1 + y 2 + y 3 )/3)

వైశాల్యం = (1/2) [x 1 (y 2 – y 3 ) + x 2 (y 3 – y 1 ) + x 3 (y 1 – y 2 )]

గణన:

మూడవ శీర్షం యొక్క బిందువు (a,b)గా ఉండనివ్వండి.

ప్రశ్న ప్రకారం,

(a + 9 + 1) ÷ 3 = 4

⇒ a = 2

(b + 7 + 4) ÷ 3 = 8

⇒ b = 13

కాబట్టి, మూడవ శీర్షం యొక్క బిందువు (2,13)

కాబట్టి, త్రిభుజం వైశాల్యం = (1/2) [9(13 - 4) + 2(4 - 7) + 1(7 - 13)] = 34.5 యూనిట్ ²

∴ త్రిభుజం వైశాల్యం 34.5 యూనిట్ ² .

సూత్రం:

రేఖ యొక్క వాలు = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁)

ఇచ్చినది:

y₂ = 2,    y₁ = -4,    x₂ = 5,    x₁ =3

గణన:

⇒ {2 – (- 4)}/{5 – 3}

⇒ (6)/(2)

⇒ 3

ఇచ్చిన:

రెండు పాయింట్లు (-6, y) మరియు (18, 6) మధ్య దూరం 26 యూనిట్లు.

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

D = \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

ఎక్కడ,

రెండు పాయింట్లు (x ₁ , y ₁ ) మరియు (x ₂ , y ₂ ) మధ్య దూరం D యూనిట్లు.

లెక్కింపు:

రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం = 26 యూనిట్లు

మొదటి కో-ఆర్డినేట్ విలువ = (x ₁ , y ₁ ) = (-6, y)

రెండవ కో-ఆర్డినేట్ విలువ = (x 2 , y 2 ) = (18, 6)

ప్రశ్న ప్రకారం,

⇒ D = \(\sqrt{(18-(-6))^2 + (6-y)^2} \)

⇒ 26 = \(\sqrt{(24)^2 + (6-y)^2} \)

సమీకరణం యొక్క ఇరువైపులా వర్గం చేయగా,

⇒ 676 = 24 ² + (6 - y) ²

⇒ 676 = 576 + (6 - y) 2

⇒ 100 = (6 - y) 2

⇒ 10 ² = (6 - y) 2

సమీకరణం యొక్క ఇరువైపులా వర్గమూలాన్ని తీసుకోగా.

⇒ 10 = 6 - y

⇒ y = -4

∴ అవసరమైన సమాధానం -4.

ఇచ్చినది:

x₁ = 4, x₂ = 3, y₁  = 3, y₂ = - 2

ఫార్ములా:

రెండు పాయింట్ల మధ్య దూరం = √[(x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²]

లెక్కింపు:

√[(4 – 3)2 + (3 – {-2})2]

⇒ √[(1)² + (5)²]

ఉపయోగించిన భావన:

కేంద్రం (h, k) మరియు వ్యాసార్థం r ఉన్న వృత్తం యొక్క సమీకరణం

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

లెక్కింపు:

వ్యాసం యొక్క కేంద్రం మరియు చివర మధ్య దూరం వ్యాసార్థం.

\( ⇒ r = \sqrt{(2-(-2))^2+(3-5)^2} = \sqrt{4^2+2^2} = \sqrt{20}\)

అందువల్ల ఇచ్చిన వృత్తం యొక్క సమీకరణం (x - (-2))2 + (y - 5)2 = 20

⇒(x - (-2))2 + (y - 5)2 = 20

ఇప్పుడు, వ్యాసం యొక్క మరొక చివర సమీకరణాన్ని కూడా సంతృప్తి పరచాలి.
ఎంపికల నుండి, వృత్తం యొక్క సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరిచే ఒక బిందువు మాత్రమే ఉంది, (-6, 7)

⇒ (-6 + 2)2 + (7 - 5)2 =  (-4)2 + (2)   = 16 + 4 = 20 = కుడి చేతి వైపు

అందువల్ల, (-6, 7) అనేది వ్యాసం యొక్క మరొక చివర బిందువులు.

⇒ అంతర ఖండన బిందువు సూత్రం = {[(mx2 + nx1)/(m + n)], [(my2 + ny1)/(m + n)]}

⇒ ఇక్కడ, x1, y1 = (- 1, 0) మరియు x2, y2 = (2, 6). m : n = 2 : 1

⇒ [(2 × 2) + (1 × - 1)]/(2 + 1), [(2 × 6) + (1 × 0)]/(2 + 1) = (1, 4)

భావన:

సమాసాన్ని పరిగణించండి: a1x + b1y + c = 0 మరియు a2x + b2y + c = 0 

 a1/a2 ≠ b1/b2 అయితే సమీకరణానికి ప్రత్యేక పరిష్కారం ఉంటుంది

a1/a2 = b1/b2 = c1/c2 అయితే సమీకరణం అనంతమైన పరిష్కారాన్ని కలిగి ఉంటుంది

a1/a2 = b1/b2 ≠ c1/c2 అయితే సమీకరణానికి పరిష్కారం ఉండదు

గణన:

సమీకరణం x – Ky = 2, 3x + 2y = 5

ఇక్కడ, a1 = 1, b1 = -k, a2 = 3, b2 = 2

1/3 ≠ -k/2

k ≠ -2/3

∴ K యొక్క అవసరమైన విలువ -2/3కి సమానంగా ఉండకూడదు

భావన:

Y అక్షంపై పాయింట్ (x, y) ప్రతిబింబం (-x, y) అవుతుంది.

మరియు, X అక్షంపై పాయింట్ (x, y) ప్రతిబింబం (x, -y) అవుతుంది.

లెక్కింపు: