Triangles MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Triangles - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

త్రిభుజం \( ABC \) లో, కోణాల మొత్తం \( 180^\circ \). ఇవ్వబడింది:

\[ \angle A = x^0 + y^0, \quad \angle B = 60^\circ + y^0, \quad \angle C = 50^\circ - x^0 \]

కోణాలను కూడితే:

\[ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ \]

\[ (x + y) + (60 + y) + (50 - x) = 180 \]

సరళీకరించగా:

\[ x + y + 60 + y + 50 - x = 180 \]

\[ 2y + 110 = 180 \]

\[ 2y = 70 \]

\[ y = 35 \]

కాబట్టి, \( y \) విలువ:

\[ \boxed{35} \]

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం ABC లో, ∠ABC = 90º మరియు BA = BC.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం = 180º

గణన:

∠ABC = 90º మరియు BA = BC కాబట్టి, త్రిభుజం ABC ఒక సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజం.

సమద్విబాహు లంబకోణ త్రిభుజంలో, రెండు భూమి కోణాలు సమానం.

∠A మరియు ∠C ల కొలత xº అనుకుందాం.

త్రిభుజం ABC లోని కోణాల మొత్తం = 180º

⇒ xº + xº + 90º = 180º

⇒ 2xº + 90º = 180º

⇒ 2xº = 180º - 90º

⇒ 2xº = 90º

⇒ xº = 45º

కాబట్టి, కోణాలు A మరియు C ల కొలతలు వరుసగా 45º మరియు 45º.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజ కోణాలు 1:2:3 నిష్పత్తిలో ఉన్నాయి.

ఉపయోగించిన సూత్రం:

త్రిభుజంలోని కోణాల మొత్తం = 180^o

గణన:

కోణాలను x, 2x మరియు 3x అనుకుందాం.

కోణాల మొత్తం = x + 2x + 3x

⇒ 6x = 180^o

⇒ x = 180^o / 6

⇒ x = 30^o

అతిచిన్న కోణం = x = 30^o

అతిపెద్ద కోణం = 3x = 3 x 30^o = 90^o

వ్యత్యాసం = అతిపెద్ద కోణం - అతిచిన్న కోణం

⇒ వ్యత్యాసం = 90^o - 30^o

⇒ వ్యత్యాసం = 60^o

అతిపెద్ద మరియు అతిచిన్న కోణాల మధ్య వ్యత్యాసం 60^o.

ఇచ్చినవి:

∆PQR లో, PQ = PR మరియు PT ⊥ QR.

PQ = 17 సెం.మీ

PT = 15 సెం.మీ

ఉపయోగించిన సూత్రం:

శీర్షం నుండి భూమికి లంబం గీయబడిన సమద్విబాహు త్రిభుజంలో, లంబం భూమిని సమద్విఖండన చేస్తుంది.

త్రిభుజాలు PTQ మరియు PTR లలో పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి:

PQ² = PT² + QT²

QR = 2 x QT

గణన:

PQ = PR = 17 సెం.మీ

∆PTQ లో పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించి:

PQ² = PT² + QT²

⇒ 17² = 15² + QT²

⇒ 289 = 225 + QT²

⇒ QT² = 289 - 225

⇒ QT² = 64

⇒ QT = 8 సెం.మీ

QR = 2 x QT

⇒ QR = 2 x 8

⇒ QR = 16 సెం.మీ

QR కొలత 16 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం ABC లో, D అనేది BC యొక్క మధ్య బిందువు.

DL ⊥ AB మరియు DM ⊥ AC

DL = DM

ఉపయోగించిన సూత్రం:

ఒక త్రిభుజంలో, ఒక భుజం మధ్య బిందువు నుండి మిగిలిన రెండు భుజాలకు గీయబడిన లంబాలు సమానమైతే, ఆ త్రిభుజం సమద్విబాహు త్రిభుజం అవుతుంది.

గణన:

DL = DM మరియు D అనేది BC యొక్క మధ్య బిందువు అని ఇవ్వబడింది, దీని అర్థం త్రిభుజం ABD, త్రిభుజం ACD కి RHS (లంబకోణం-కర్ణం-భుజం) సర్వసమానత ద్వారా సర్వసమానం.

త్రిభుజం ABD ≅ త్రిభుజం ACD అయితే, దీని అర్థం AB = AC.

కాబట్టి, త్రిభుజం ABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం.

సరైన సమాధానం ఎంపిక 1: సమద్విబాహు త్రిభుజం

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

త్రిభుజంలో, ABC, AB = 12 సెం.మీ మరియు AC = 10 సెం.మీ మరియు ∠BAC = 60°.

ఉపయోగించిన కాన్సెప్ట్:

కొసైన్ నియమం ప్రకారం, a, b మరియు c త్రిభుజం యొక్క మూడు భుజాలు ఉంటే ΔABC మరియు ∠C అనేది AC మరియు AB మధ్య కోణం అయితే,  a2 = b2 + c2 - 2bc × cos∠A

సాధన:

కాన్సెప్ట్ ప్రకారం,

BC2 = AB2 + AC2 - 2 × AB × AC × cos60°

⇒ BC2 = 122 + 102 - 2 × 12 × 10 × 1/2

⇒ BC2 = 124

⇒ BC ≈ 11.13

∴ BC యొక్క కొలత 11.13 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

త్రిభుజం యొక్క మొదటి భుజం = 30 సెం.మీ

త్రిభుజం యొక్క రెండవ భుజం = x సెం.మీ

త్రిభుజం యొక్క మూడవ భుజం = 42 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

(మూడవ భుజం - మొదటి భుజం) < రెండవ భుజం < (మూడవ భుజం + మొదటి భుజం)

గణన:

రెండవ భుజం యొక్క వ్యాప్తి = (42 - 30) < x < (42 + 30)

⇒ 12 < x < 72

∴ సరైన ఎంపిక 3.

ఇచ్చింది:

ABC అనేది B కోణం వద్ద లంబ కోణ త్రిభుజం, BC = 10 సెం.మీ

AC = 12 సెం.మీ, p అనేది B నుంచి AC వరకు లంబంగా ఉండే పొడవు

ఉపయోగించిన సూత్రం:

AR = 1/2 × భూమి × ఎత్తు

గణన:

ఒక Δ ABCలో, పైథాగరస్ సిద్ధాంతాన్ని ఉపయోగించడం ద్వారా

AC² = AB² + BC²

144 = AB² + 100

AB² = 44

AB = √44

ΔABC యొక్క వైశాల్యం = ΔABC యొక్క వైశాల్యం

⇒ 1/2 × 10 × √44 = 1/2 × 12 × p

⇒ 5 × 2√11 = 6p

⇒ p = (5√11)/3 సెం.మీ

∴ సరైన సమాధానం (5√11)/3 సెం.మీ

ఇవ్వబడింది:

AB = 8.4 సెం.మీ, మరియు AC = 5.6 సెం.మీ, DC = 2.8 సెం.మీ

ఉపయోగించిన భావన:

త్రిభుజం యొక్క కోణ సమద్విఖండన రేఖ, ఎదుటి భుజాన్ని త్రిభుజం యొక్క మిగిలిన రెండు భుజాలకు అనులోమానుపాతంలో ఉన్న రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

గణన:

భావన ప్రకారం,

AB/AC = BD/DC

⇒ 8.4/5.6 = BD/2.8

⇒ 8.4/2 = BD

⇒ 4.2 = BD

కాబట్టి, BD + DC = BC

BC = 4.2 + 2.8

⇒ 7 సెం.మీ

∴ భుజం BC పొడవు 7 సెం.మీ.

ఇవ్వబడింది:

POR = 140 డిగ్రీలు

ఉపయోగించిన భావన:

త్రిభుజం యొక్క అంతఃకేంద్రం త్రిభుజం యొక్క అన్ని భుజాలకు సమానంగా వంగి ఉంటుంది.

అంతఃకేంద్రం వద్ద కోణం = 90° + శీర్ష కోణం/2

గణన:

భావన ప్రకారం,

90° + ∠PQR/2 = 140°

⇒ ∠PQR/2 = 140° - 90°

⇒ ∠PQR/2 = 50°

⇒ ∠PQR = 100°

∴ కోణం PQR 100°.

సాధన : 

ఇచ్చిన:

KI = IT; EK = ET

∠KET = 150°

లెక్కింపు:

△KEI మరియు △TEI లో

⇒ KI = IT (ఇవ్వబడింది)

⇒ EK = ET (ఇవ్వబడింది)

⇒ EI = EI (సాధారణం)

△KEI ≅ △TEI (SSS)

⇒ ∠ KEI = ∠ TEI (CPCT ద్వారా)

ఇప్పుడు,

⇒ ∠KET + ∠KEI + ∠TEI = 360°

⇒ 150° + 2 x ∠TEI = 360°

⇒ 2 x ∠TEI = 360° - 150°

⇒ ∠TEI = 210/2 = 105°

∴ సరైన సమాధానం 105°.

ఇచ్చిన సమస్య:

CD అనేది ∠BCA యొక్క ద్విభాగము.

CD = DA

∠BDC = 76°

ఉపయోగించిన పద్దతి:

సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న సమద్విబాహు త్రిభుజం యొక్క రెండు కోణాలు కొలతలో సమానంగా ఉంటాయి.

కోణాల మొత్తం = త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం 180°.

సాధన:

ABC త్రిభుజంలో,

CD అనేది ∠BCA యొక్క ద్విభాగము.

⇒ ∠BCD = ∠DCA = θ

నుండి, CD = DA [ఇచ్చిన]

⇒ ∠DCA = ∠CAD = θ

⇒ ∠BDC = 76° [ఇచ్చిన]

⇒ ∠BDC = ∠DCA + ∠CAD

⇒ θ + θ = 76°

⇒ 2θ = 76°

⇒ θ = 38°

త్రిభుజంలో CBDలో,

∠BCD + ∠CDB + ∠CBD = 180°

⇒ θ + 76° + ∠CBD = 180°

⇒ 38° + 76° + ∠CBD = 180°

⇒ ∠CBD = 180° - 114°

⇒ ∠CBD = 66°

∴ ఎంపిక 4 సరైన సమాధానం.

ఇచ్చినది:

7-అంతస్తుల భవనంలో 28 మీటర్ల పొడవైన నీడ ఉంటుంది.

గణన:

భవనం యొక్క అంతస్తుల సంఖ్య x మీగా అనుకుందాం

ప్రశ్న ప్రకారం,

7/28 = x /48

⇒ x = 12 మీ

∴ సరైన ఎంపిక 4

ఇచ్చిన సమస్య:

AB = 10 సెం.మీ, మరియు AC = 14 సెం.మీ

ఉపయోగించిన పద్దతి:

త్రిభుజం యొక్క కోణ ద్విభుజం త్రిభుజం యొక్క ఇతర రెండు భుజాలకు అనులోమానుపాతంలో ఎదురుగా ఉన్న భాగాన్ని రెండు భాగాలుగా విభజిస్తుంది.

సాధన:

పద్దతి ప్రకారం..

AB/AC = BD/DC

⇒ 10/14 = BD/DC

⇒ 5/7 = BD/DC

కాబట్టి, BD : DC = 5 : 7

ఇప్పుడు, BC = 5 + 7

⇒ 12

కాబట్టి, BD : BC = 5 : 12

∴ అవసరమైన సమాధానం 5 : 12.