Theorem on Segments MCQ Quiz in தமிழ் - Objective Question with Answer for Theorem on Segments - இலவச PDF ஐப் பதிவிறக்கவும்

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

மையக் கோணம் பெரிய கோணத்தின் இரட்டிப்பாகும்

வட்ட நாற்கரத்தில் எதிர் கோணத்தின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்

கணக்கீடு:

∠POR = 2 × ∠PSR

⇒ ∠PSR = 150°/2 = 75°

⇒ ∠PQR + ∠PSR = 180° 

⇒ ∠PQR + 75° = 180°

⇒ ∠PQR = 105°

∴ சரியான பதில் 105°.

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

PA × PB = PC × PD

கணக்கீடு:

PA × PB = PC × PD

⇒ 10 × 22 = 11 × PD

PD = \(\frac{10 \times 22}{11}\) = 20

∴ சரியான பதில் 20

கொடுக்கப்பட்டது:

∠BAT = 40°  

பயன்படுத்தப்பட்ட கருத்து:

மாற்று பிரிவு தேற்றம்:

தொடுகோட்டின் தொடர்பு புள்ளியில் இருந்து ஒரு நாண் வரையப்பட்டால், தொடுகோலுடன் நாண் உருவாக்கிய கோணங்கள் தொடர்புடைய மாற்றுப் பிரிவுகளில் உருவாகும் கோணங்களுக்கு சமமாக இருக்கும்.

∠BAT = ∠BCA

∠BAP = ∠BDA

கணக்கீடு:

கேள்வியின் படி,

∠BAT = 40°

மாற்று பிரிவு தேற்றம் மூலம்,

∠BAT = ∠BCA = 40°

∠AOB = 2∠BCA

⇒ 2 × 40°

⇒ 80°

இருந்து, OA = OB

∴ ∠AOB + ∠OBA + ∠OAB = 180°

⇒ 80° + 2∠OAB = 180°

⇒ 2∠OAB = 100°

⇒ ∠OAB = 50°

விகிதம் = ∠AOB : ∠OAB

⇒ 80° : 50°

⇒ 8 : 5

∴ சரியான பதில் 8 :5 .

கருத்து:

மையத்தில் உள்ள ஒரு வளைவின் கோணமானது அதன் விளிம்புகளில் உள்ள கோணத்தின் இரட்டிப்பாகும்.

எனவே, ∠AOB = 2 × ∠ACB

கணக்கீடு:

In the figure, ∠AXC = 120º ÷ 2 = 60º

Quadrilateral AXCB is a cyclic quadrilateral and hence, the exterior angle of the cyclic quadrilateral is equal to the opposite interior angle of the quadrilateral. 

⇒ ∠MBC = ∠AXC = 60º

∴ The measure of ∠MBC is 60º.

படத்தில், ∠AXC = 120º ÷ 2 = 60º

நாற்கர AXCB என்பது ஒரு சுழற்சி நாற்கரமாகும், எனவே, சுழற்சி நாற்கரத்தின் வெளிப்புறக் கோணமானது நாற்கரத்தின் எதிர் உள் கோணத்திற்குச் சமமாக இருக்கும்.

⇒ ∠MBC = ∠AXC = 60º

∴ ∠MBC இன் அளவு 60º ஆகும்.

கொடுக்கப்பட்டது:

∠CBD = 90°

∠BDA = 30°

கருத்து:

இருசமபக்க முக்கோணம்: இருசமபக்க முக்கோணம் என்பது சம நீளம் கொண்ட இரு பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம்.

இருசமபக்க முக்கோணத்தில் சம பக்கங்களின் தொடர்புடைய கோணம் சமம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.

கணக்கீடு:

ΔBCD இல்,

BC = BD

∠BCD = ∠BDC (இருசமபக்க முக்கோணத்தில் சம பக்கங்களின் தொடர்புடைய கோணம் சமம்)

⇒ ∠BCD + ∠BDC + ∠CBD = 180° (முக்கோணத்தின் அனைத்து உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்.)

⇒ 2∠BCD + 90° = 180°

⇒ 2∠BCD = 90°

⇒ ∠BCD = 45° .....(1)

ΔABD இல்,

AB = BD

∠BAD = ∠BDA = 30° (இருசமபக்க முக்கோணத்தில் சம பக்கங்களின் தொடர்புடைய கோணம் சமம்)

∠BAD + ∠BDA + ∠ABD = 180° (முக்கோணத்தின் அனைத்து உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°)

⇒ 30° + 30° + ∠ABD = 180°

⇒ ∠ABD = 180° - 60°

⇒ ∠ABD = 120° ....(2)

சமன்பாட்டிலிருந்து (1) மற்றும் (2)

∠ABD - ∠BCD

⇒ 120° - 45° = 75°

∴ ∠ABD - ∠BCD = 75°

தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த அரைவட்டத்திலுள்ள கோணம் ஒரு நேர்க்கோணம், 

⇒ ∠BOA = 90°

தேற்றம்: ஒரு தொடுகோட்டுக்கும் தொடுபுள்ளி வழியேயான தொடுநாணுக்கும் இடைப்பட்ட கோணம் மாற்றுத் துண்டின் கோணத்திற்குச் சமமாக இருக்கும் என்று மாற்று வட்டத்துண்டு தேற்றம் குறிப்பிடுகிறது. 

⇒ ∠BOQ = ∠BAO = 60°

ΔABOஇல்,

முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூடுதல் 180°

⇒ ∠ABO = 180° – ∠BOA – ∠BAO = 180° – 90° – 60° = 30°

∠OPT = 90° [∵ ஆரம் தொடுகோட்டிற்கு செங்குத்தாக இருக்கும்]

∠OPQ = 90° - ∠QPT = 90° - α

∠OQP = 90° - α [∵ OQ = OP]

مثلث OQP இல்

∠O + ∠Q + ∠P = 180°

∠O + 90 - α + 90 - α = 180

∴ ∠O = 2α

கொடுக்கப்பட்டவை:

∠AOC = 110°

∠AOB = 90°

பயன்படுத்தப்பட்ட கோட்பாடு:

மையத்தில் உள்ள ஒரு வளைவின் கோணமானது, வட்டத்தின் சுற்றளவைக் கொண்டிருக்கும் கோணத்தின் இரட்டிப்பாகும்.

ஒரு புள்ளியைச் சுற்றியுள்ள கோணங்கள் எப்போதும் 360° வரை சேர்க்கும்

கணக்கீடு:

∠AOC = 110°

∠AOB = 90°

ஒரு புள்ளியைச் சுற்றியுள்ள கோணங்கள் எப்போதும் 360° வரை சேர்க்கும்

∠BOC = 360° - (∠AOC + ∠AOB)

⇒ ∠BOC = 360° - (110° + 90°)

⇒ ∠BOC = 160°

இப்போது,

∠BAC = ∠BOC/2

∠BAC = 160°/2

∠BAC = 80°

∴ x மதிப்பு 80° ஆகும்.

Alternate Method
AOC முக்கோணத்தில்,

OC = OA (வட்டத்தின் ஆரம்)

எனவே, இந்த பக்கங்களுக்கு எதிர் கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். (∠OCA = ∠OAC)

∠OCA மற்றும் ∠OAC ஆகியவை y ஆக இருக்கட்டும்

110 + 2y = 180

2y = 70

y = 35

AOB முக்கோணத்தில்,

OA = OB (வட்டத்தின் ஆரம்)

எனவே, இந்த பக்கங்களுக்கு எதிர் கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். (∠OAB = ∠OBA)

∠OAB மற்றும் ∠OBA ஆகியவை z ஆக இருக்கட்டும்

90 + 2z = 180

2z = 90

z = 45

எனவே, 'x' இன் மதிப்பு (y + z) = 35 + 45 = 80 ஆக இருக்கும்

கொடுக்கப்பட்டவை, AB ∶ BC = 4 ∶ 5

⇒ BC = (5/4) × AB

∵ AC = AB + BC

⇒ AC = AB + (5/4) × AB = (9/4) × AB

தொடு-வெட்டுக்கோடு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதால், தொடுகோடு மற்றும் வெட்டுக்கோடு ஆகியவை ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புடையவை,

⇒ AD2 = AB × AC

⇒ AD2 = (9/4) × AB2

⇒ AD/AB = √(9/4) = 3/2

இந்தப் படத்தில்

PB = x என்க

வர்க்கச் செகண்டின் பண்பின்படி

PB x PA = PD x PC [PC = PD + CD]

x x 15 = 6 x 10

x = 4 = PB

நமக்குத் தெரியும்,

AO × OB = OC × OD

⇒ (9x – 2) × (2x + 2) = (4x) × (7x – 2)

⇒ 18x2 – 4x + 18x – 4 = 28x2 – 8x

⇒ 10x2 – 22x + 4 = 0

⇒ 10x2 – 20x – 2x + 4 = 0

⇒ 10x(x – 2) – 2(x – 2) = 0

⇒ (x – 2)(10x – 2)  = 0

⇒ x = 2 அல்லது x = 0.2

⇒ x = 2

AO = (9x – 2) = (18 – 2) = 16 செ.மீ

∴ AO இன் மதிப்பு 16 செ.மீ ஆகும்.

மாற்றுப் பிரிவு தேற்றத்தின்படி, தொடர்புப் புள்ளியில் ஒரு தொடுகோடு மற்றும் நாண் இடையே உள்ள கோணம் வட்டத்தின் மாற்றுப் பிரிவில் உள்ள நாண் உருவாக்கிய கோணத்திற்குச் சமம்.

கொடுக்கப்பட்டுள்ள படத்தில்,

⇒ ∠APQ = ∠QRP = 35°

நமக்குத் தெரிந்தபடி, வட்டத்தின் மையத்தில் ஒரு வளைவின் கோணமானது வட்டத்தின் வேறு எந்தப் புள்ளியிலும் வளைவால் குறைக்கப்பட்ட கோணத்தின் இரு மடங்கு ஆகும்.

⇒ ∠QOP = 2 × ∠QRP = 2 × 35° = 70°

இப்போது, ΔOQP ஐக் கருத்தில் கொண்டு,

∵ OQ = OP = என்பது வட்டத்தின் ஆரம்

⇒ ΔOQP என்பது ஒரு சமபக்க முக்கோணம்

⇒ ∠OQP = ∠OPQ

∵ முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை = 180°

⇒ ∠QOP + ∠OQP + ∠OPQ = 180°

∴ ∠OQP = (180° – 70°)/2 = 110°/2 = 55°

கொடுக்கப்பட்டது,

⇒ ∠RPO = 30°

⇒ ∠RPQ = 2∠RPO = 60°

பிறகு,

⇒ ∠RPQ = 1/2 × ∠QOR

⇒ ∠QOR = 120°

பிறகு,

QR பிரிவின் பரப்பளவு 

= QRO பிரிவின் பரப்பளவு  - ΔQOR இன் பரப்பளவு 

பிரிவின் பரப்பளவு = (θ/360°) × πr ²

இதில் θ என்பது உருவான கோணம் மற்றும் r என்பது ஆரம்

முக்கோணத்தின் பரப்பளவு = 1/2 × a × b × sin θ

இதில் a, b என்பது பக்கங்கள் மற்றும் θ என்பது அவற்றுக்கிடையேயான கோணம்

= (120/360) × 22/7 × 7 × 7 – (7 × 7/2) × sin120°

= 51.33 - 21.21 = 30.12 சதுர அலகுகள்

AE என்பது ∠CAB இன் கோண இருசமவெட்டி ஆகும்.

⇒ ∠EAB = ∠CAE

மேலும் ∠CBA = ∠CEA (வட்டத்தில் நாண் AC மூலம் கோண எதிரமைத்தல்)

⇒ ∆AEC ~ ∆ABD

⇒ AC/AE = AD/AB = 4/7

⇒ AD : AB = 4 : 7

மையத்தை இணைக்கும் கோடு பொதுவான நாண்க்கு செங்குத்தாக இருக்கும், மேலும் அதை இரண்டாகப் பிரிக்கும்.

ΔNPR மற்றும் ΔNQR இல்

NP = NQ (ஆரம்)

NR பொதுவானது

∠PNR = ∠QNR [∵ NP மற்றும் NQ ஆகியவை பெரிய வட்டத்திற்கு தொடுகோடுகள்]

∴ முக்கோணங்கள் சமமாக உள்ளன

ΔMNP என்பது ஒரு செங்கோண முக்கோணம். ஏனெனில் பக்கங்கள் பித்தகோரியன் மும்மடங்கு அதாவது 12 ² + 9 ² = 15 ²

ΔMNP பகுதி = 1/2 × MN × PR = 1/2 × MP × NP

⇒ MN × PR = MP × NP

⇒ 15 × PR = 12 × 9

PR = 7.2 செ.மீ

PQ = 2 × PR = 14.4 செ.மீ