కో-ఆర్డినేట్ సిస్టమ్ ఆధారంగా అప్లికేషన్స్ MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Applications Based on Co-ordinate System - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

P(5, 6) బిందువు A(2, 3) మరియు B(9, 10) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని అంతర్గతంగా ఏ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుందో కనుగొనడానికి ఈ దశలను అనుసరించండి:

ఖండన సూత్రాన్ని ఉపయోగించండి:
ఖండన సూత్రం ఏమిటంటే, P(x, y) బిందువు A(x₁, y₁) మరియు B(x₂, y₂) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని k : 1 నిష్పత్తిలో అంతర్గతంగా విభజిస్తే, అప్పుడు:
\[ x = \frac{kx_2 + x_1}{k + 1}, \quad y = \frac{ky_2 + y_1}{k + 1} \]
ఇక్కడ:

A(2, 3) అనేది (x1, y1),

B(9, 10) అనేది (x2, y2),

P(5, 6) అనేది (x, y).

1. నిరూపకాలను ఖండన సూత్రంలో ప్రతిక్షేపించండి:
   x-నిరూపకాలను ఉపయోగించి:
   \[ 5 = \frac{k(9) + 2}{k + 1} \]
   రెండు వైపులా k + 1తో గుణించండి:
   \[ 5(k + 1) = 9k + 2 \]
   విస్తరించి సరళీకరించండి:
   \[ 5k + 5 = 9k + 2 \]
   \[ 5 - 2 = 9k - 5k \]
   \[ 3 = 4k \]
   \[ k = \frac{3}{4} \]
2. y-నిరూపకాలతో ధృవీకరించండి:
   y-నిరూపకాలను ఉపయోగించి:
   \[ 6 = \frac{k(10) + 3}{k + 1} \]
   k = \(\frac{3}{4}\) ను ప్రతిక్షేపించండి:
   \[ 6 = \frac{\frac{3}{4}(10) + 3}{\frac{3}{4} + 1} \]
   సరళీకరించండి:
   \[ 6 = \frac{\frac{30}{4} + 3}{\frac{7}{4}} \]
   \[ 6 = \frac{\frac{30}{4} + \frac{12}{4}}{\frac{7}{4}} \]
   \[ 6 = \frac{\frac{42}{4}}{\frac{7}{4}} \]
   \[ 6 = \frac{42}{4} \times \frac{4}{7} \]
   \[ 6 = 6 \]
   y-నిరూపకాలు ఫలితాన్ని ధృవీకరిస్తాయి.
3. నిష్పత్తిని రాయండి:
   k : 1 నిష్పత్తి \(\frac{3}{4} \): 1. దీన్ని పూర్ణాంకాల నిష్పత్తిగా వ్యక్తీకరించడానికి, రెండు వైపులా 4తో గుణించండి:
   \[ 3 : 4 \]

చివరి సమాధానం:

P(5, 6) బిందువు A(2,3) మరియు B(9,10) బిందువులను కలిపే రేఖాఖండాన్ని అంతర్గతంగా ఈ నిష్పత్తిలో విభజిస్తుంది:

\[ \boxed{3 : 4} \]

చతుర్భుజం వైశాల్యాన్ని కనుగొనడానికి \( ABCD \), మనం సూత్రాన్ని ఉపయోగిస్తాము:

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times d_1 \times (h_1 + h_2) \]

ఇక్కడ:

• \( d_1 = BD = 10 \, \text{cm} \),
• \( h_1 \) మరియు \( h_2 \) అనేవి వరుసగా \( A \) మరియు \( C \) నుండి \( BD \), వరకు ఉన్న లంబాల పొడవులు.

లంబాల మొత్తం \( 18 \, \text{cm} \), విలువలను సూత్రంలోకి ప్రతిక్షేపించండి:

\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times 10 \times 18 \]

\[ \text{Area} = 5 \times 18 \]

కాబట్టి, చతుర్భుజం వైశాల్యం \( ABCD \) అంటే:

\[ \boxed{90} \]

ఇవ్వబడింది:

రెండు సరళ సమీకరణాలు: 2x + y = 6 మరియు 2x - y = -2

ఉపయోగించిన సూత్రం:

త్రిభుజం వైశాల్యం = 1/2 × బేస్ × ఎత్తు

గణన:

x-అక్షంతో ఖండన బిందువులను కనుగొనడం:

2x + y = 6 కోసం:

⇒ y = 0

⇒ 2x + 0 = 6

⇒ x = 3

బిందువు: (3, 0)

2x - y = -2 కోసం:

⇒ y = 0

⇒ 2x - 0 = -2

⇒ x = -1

బిందువు: (-1, 0)

రెండు పంక్తుల ఖండన బిందువును కనుగొనడం:

రెండు సమీకరణాలను కలుపుతూ:

2x + y + 2x - y = 6 - 2

⇒ 4x = 4

⇒ x = 1

x = 1ని 2x + y = 6కి ప్రత్యామ్నాయం చేయండి:

⇒ 2(1) + y = 6

⇒ 2 + y = 6

⇒ y = 4

బిందువు: (1, 4)

ఇప్పుడు మనకు త్రిభుజం యొక్క శీర్షాలు ఉన్నాయి: (3, 0), (-1, 0), మరియు (1, 4)

బేస్ ((-1, 0) మరియు (3, 0) మధ్య దూరం):

⇒ 3 - (-1) = 4

ఎత్తు ((1, 4) యొక్క y-కోఆర్డినేట్):

⇒ 4

ప్రాంతం:

⇒ 1/2 × బేస్ × ఎత్తు

⇒ 1/2 × 4 × 4

⇒ 8 చదరపు యూనిట్లు

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక 2.

ఇవ్వబడింది:

సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం: 5x + 12y = 60

ఉపయోగించిన భావన:

సరళ రేఖ సమీకరణం యొక్క అంతరఖండం : \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)

ఇక్కడ a మరియు b వరుసగా x మరియు y అంతరఖండాలు.

గణన:

5x + 12y = 60

రెండు వైపులా 60తో భాగించడం,

⇒ \(\frac{5x}{60}+\frac{12y}{60} =\frac{60}{60}\)

⇒ \(\frac{x}{12}+\frac{y}{5} =1\)

ఇక్కడ,

x-అంతరఖండం = a = 12

y-అంతరఖండం = b = 5

ఇప్పుడు,

అక్షాల మధ్య అంతరఖండం యొక్క పొడవు అంతరఖండాల మధ్య దూరం ఇవ్వబడుతుంది:

పొడవు = \(\sqrt{a^2+b^2}\)

⇒ పొడవు = \(\sqrt{12^2+5^2} \)

⇒ పొడవు = \(\sqrt{144+25}\)

⇒ పొడవు = \(\sqrt{169}\) = 13 సెం.మీ

∴ సరైన సమాధానం ఎంపిక (2).

ఇచ్చినది:

బిందువు, P = (2, 5)

ఉపయోగించిన భావన:

X- అక్షానికి లంబంగా ఉండే పంక్తి నిలువు వరుస. ఒక బిందువు (a, b) గుండా వెళుతున్న నిలువు రేఖ యొక్క సమీకరణం x = a ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది, ఇక్కడ 'a' అనేది బిందువు యొక్క x-అక్షాంశాలు.

గణన:

ప్రశ్న ప్రకారం,

బిందువు (2, 5) రేఖపై ఉంటుంది, X- అక్షానికి లంబంగా మరియు బిందువు (2, 5) గుండా వెళుతున్న సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం:

కాబట్టి, x = 2

⇒ x - 2 = 0

∴ సరళ రేఖ యొక్క సమీకరణం x - 2 = 0.

⇒ అంతర ఖండన బిందువు సూత్రం = {[(mx2 + nx1)/(m + n)], [(my2 + ny1)/(m + n)]}

⇒ ఇక్కడ, x1, y1 = (- 1, 0) మరియు x2, y2 = (2, 6). m : n = 2 : 1

⇒ [(2 × 2) + (1 × - 1)]/(2 + 1), [(2 × 6) + (1 × 0)]/(2 + 1) = (1, 4)

ఇచ్చిన దత్తాంశం,

ఇచ్చిన సమీకరణం 2x = 5 – 3y

భావన:/సూత్రం:

సమీకరణం x-అక్షాన్ని ఖండిస్తే, అప్పుడు y = 0

లెక్కింపు:

⇒ 2x = 5 – 3y

సమీకరణం P (α, β) వద్ద x-అక్షాన్ని ఖండిస్తే, అప్పుడు y = 0

⇒ 2x = 5 – 0

⇒ x = 5/2

⇒ α = 5/2 మరియు β = 0

ఇప్పుడు,

⇒ (2 α + β)

⇒ (2 × 5/2 + 0)

⇒ 5

ఇచ్చిన:

(x 1, y 1 ) = (2, 4),

(x 2, y ₂ ) = (-3, -1)

(x 3, y 3 ) = (5, 3)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం = [x ₁ (y ₂ - y ₃ ) + x ₂ (y ₃ - y ₁ ) + x ₃ (y ₁ - y ₂ )] / 2

లెక్కింపు:

త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం = [x 1 (y 2 - y 3 ) + x 2 (y 3 - y 1 ) + x 3 (y 1 - y 2 )] / 2

సూత్రంలో విలువలను ప్రత్యామ్నాయం చేయండి

⇒[2 (-1 - 3) + (-3) (3 - 4) + 5 (4 + 1)] / 2

 [-8 + 3 + 25] / 2 = 10 చదరపు యూనిట్లు

ఇచ్చిన:

PQ అనేది 13 యూనిట్ల పొడవు గల సరళ రేఖ

P = (2, 5) యొక్క కో-ఆర్డినేట్‌లు

Q యొక్క కో-ఆర్డినేట్‌లు = (x, -7)

ఉపయోగించిన ఫార్ములా:

D ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ²

D = దూరం

(x ₁ , y ₁ ) = మొదటి పాయింట్ యొక్క కో-ఆర్డినేట్‌లు

(x ₂ , y ₂ ) = రెండవ పాయింట్ యొక్క కో-ఆర్డినేట్‌లు

లెక్కింపు:

D 2 = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2

(13) ² = (x - 2) ² + (-7 - 5) ²

⇒ 169 = (x - 2) ² + 144

⇒ (x - 2) ² = 25

⇒ x - 2 = 5

⇒ x = 7

∴ x విలువ 7.

ఇచ్చిన బిందువులు భూమి 6 యూనిట్లు మరియు ఎత్తు 8 యూనిట్లతో లంబ కోణ త్రిభుజాన్ని ఏర్పరుస్తాయి.

∴ త్రిభుజం యొక్క వైశాల్యం = (భూమి × ఎత్తు) /2 = (6 × 8) /2 = 24 చదరపు యూనిట్లు.

రెండు బిందువులను కలిపే రేఖ సమీకరణం:

\(\left( {y - 4} \right) = \frac{{\left( {k - 4} \right)}}{{ - 3 - 5}} \times \left( {x - 5} \right)\)

పై రేఖ యొక్క వాలు = \(m1 = \frac{{4 - k}}{8}\)

మరొక రేఖ:

kx – y + 11 = 0

y = kx + 11

పై రేఖ యొక్క వాలు = k

రెండు రేఖలు సమాంతరంగా ఉన్నాయి:

m1 = m2

(4 – k)/8 = k

4 – k = 8k

4 = 9k

k = 4/9

ఇచ్చినది:

శీర్షాలు (-3, 2), (5, 4),(7, -6) మరియు (-5, -4)తో చతుర్భుజం ఏర్పడింది.

భావన:

చతుర్భుజ ABCD వైశాల్యం =  (1/2) ⋅ [(x1y2 + x2y3 + x3y4 + x4y1) – (x2y1 + x3y2 + x4y3 + x1y4)]

గణనలు:

A(-3, 2), B(5, 4), C(7, -6) మరియు D(-5, -4) చతుర్భుజ ABCD యొక్క శీర్షాలుగా అనుకుందాం.

ఈ విధంగా,

A(-3, 2) = (x 1 , y 1 )

B(5, 4) = (x 2 , y 2 )

C(7, -6) = (x 3 , y 3 )

D(-5, -4) = (x 4 , y 4 )

అది మాకు తెలుసు,

చతుర్భుజ ABCD వైశాల్యం = (1/2) ⋅ [(x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 1 ) – (x 2 y 1 + x 3 y 2 + x 4 y 3 + x1 y 4 )]

విలువలను భర్తీ చేయడం,

= ( \(\frac{1}{2}\) ). {[-3(4) + 5(-6) + 7(-4) + (-5)2] – {[5(2) + 7(4) + (-5)(-6) + (- 3)(-4)]}

= ( \(\frac{1}{2}\) ).[(-12 – 30 – 28 – 10) – (10 + 28 + 30 + 12)]

= ( \(\frac{1}{2}\) ) [-80 – 80]

= 160/2 {వైశాల్యం అనేది రుణాత్మకంగా ఉండకూడదు కాబట్టి}

= 80

\(\therefore\) ఇవ్వబడిన శీర్షాలతో ఏర్పడిన చతుర్భుజ వైశాల్యం 80 చదరపు యూనిట్లు.

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

నిరూపకాలు= (a, - b) మరియు (- a, - b)

ఉపయోగించిన సూత్రం:

రెండు బిందువుల మధ్య దూరం (x1, y1) మరియు (x2, y2) is √{(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2}

సాధన:

A మరియు B అనే రెండు నిరుపకాలు వరుసగా (a, -b) మరియు (-a, -b)గా అనుకుందాం

నిరూపకం, A = (a, - b)

ఎక్కడ, x1 = a, y1 = - b

నిరూపకం, B = (- a, - b)

ఎక్కడ, x2 = - a, y2 = - b

అది మాకు తెలుసు,

AB మధ్య దూరం = √{(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2}

⇒ √{(- a - a)2 + (- b + b)2}

⇒ √(- 2a)2 

⇒ √(4a2)

⇒ 2a

∴(a, - b) మరియు (- a, - b) మధ్య దూరం 2a.

ఇచ్చిన దత్తాంశం

A = (4,3) మరియు B = (2, -1):

సూత్రం:

దూరం యొక్క సూత్రం = √[(x1 - x2)2 + (y1 - y1)2]

సాధన:

AB యొక్క పొడవు= √[(2 - 4)2 + (-1 - 3)2] = √20 = 2√5 యూనిట్లు