Engineering Mathematics MCQ Quiz in తెలుగు - Objective Question with Answer for Engineering Mathematics - ముఫ్త్ [PDF] డౌన్‌లోడ్ కరెన్

ఇలా అనుకుందాం

\(I = \smallint {e^x}\left\{ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right\}dx\)

\( = \smallint {e^x}f\left( x \right)dx + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx+C\)

భాగాల ద్వారా అనుకలన ద్వారా పరిష్కరించడం వల్ల, మనం పొందుతాము

\( = \left\{ {{e^x}f\left( x \right) - \smallint f'\left( x \right){e^x}dx} \right\} + \smallint {e^x}f'\left( x \right)dx +C\)

\( = f\left( x \right).{e^x} +C\)

ఇక్కడ C స్థిరంగా ఉంటుంది

యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న కుటుంబంలో అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉండే సంభావ్యతను నిర్ణయించడానికి, ఈ దశలను అనుసరించండి:

1. పిల్లల సంఖ్యను జాబితా చేయండి:
   ఇచ్చిన సమాచారం 15 ఎంచుకున్న కుటుంబాలలోని పిల్లల సంఖ్యను సూచిస్తుంది:
   \(1, 2, 3, 1, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 2, 1, 1\)
2. మొత్తం కుటుంబాల సంఖ్యను లెక్కించండి:
   మొత్తం \(15\) కుటుంబాలు ఉన్నాయి.
3. అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉన్న కుటుంబాలను గుర్తించండి:
   \(1\) లేదా \(2\) మంది పిల్లలు ఉన్న కుటుంబాల సంఖ్యను లెక్కించాలి.
   • 1 మంది పిల్ల ఉన్న కుటుంబాలు: \(1, 1, 1, 1, 1\) → \(5\) కుటుంబాలు
   • 2 మంది పిల్లలు ఉన్న కుటుంబాలు: \(2, 2, 2, 2\) → \(4\) కుటుంబాలు
   అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉన్న మొత్తం కుటుంబాలు: \(5 + 4 = 9\) కుటుంబాలు
4. సంభావ్యతను లెక్కించండి:
   సంభావ్యత \(P\) అనుకూల ఫలితాల సంఖ్యకు మొత్తం సాధ్యమయ్యే ఫలితాల సంఖ్యకు ఉన్న నిష్పత్తి ద్వారా ఇవ్వబడుతుంది.
   \[ P(\text{at most 2 children}) = \frac{\text{Number of families with at most 2 children}}{\text{Total number of families}} = \frac{9}{15} \]
   భిన్నాన్ని సరళీకృతం చేయడం:
   \[ \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \]

చివరి సమాధానం:

యాదృచ్ఛికంగా ఎంచుకున్న కుటుంబంలో అత్యధికంగా 2 మంది పిల్లలు ఉండే సంభావ్యత:

\[ \boxed{\dfrac{3}{5}} \]

4) గంటాకారం

ప్రధానంగా సాంకేతిక శాస్త్రం మరియు సంభావ్యతలలో ఉపయోగించే ఫ్రీక్వెన్సీ వక్రాలు, ముఖ్యంగా గంటాకార వక్రాన్ని అనుసరిస్తాయి, దీనిని సాధారణ విభాజనం అని కూడా అంటారు. ఈ వక్రం సమమితికంగా ఉంటుంది, ఎక్కువ డేటా సగటు చుట్టూ కేంద్రీకృతమై ఉంటుంది మరియు కేంద్రం నుండి దూరంగా వెళ్ళే కొద్దీ తక్కువ విలువలు కనిపిస్తాయి.

వివరణ:

ఒక శ్రేణిని నాలుగు సమాన భాగాలుగా విభజించే మూడు బిందువులను చతుర్థాంశాలు అంటారు. అవి:

1. మొదటి చతుర్థాంశం (Q₁) - దీనిని దిగువ చతుర్థాంశం అని కూడా అంటారు, ఇది 25వ శతాంశాన్ని సూచిస్తుంది, అంటే 25% డేటా ఈ బిందువు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
2. రెండవ చతుర్థాంశం (Q₂) - దీనిని మధ్యగతం అని కూడా అంటారు, ఇది 50వ శతాంశాన్ని సూచిస్తుంది, అంటే 50% డేటా ఈ బిందువు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
3. మూడవ చతుర్థాంశం (Q₃) - దీనిని ఎగువ చతుర్థాంశం అని కూడా అంటారు, ఇది 75వ శతాంశాన్ని సూచిస్తుంది, అంటే 75% డేటా ఈ బిందువు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.

డేటా పంపిణీ మరియు వ్యాప్తిని అర్థం చేసుకోవడానికి సాంఖ్యక విశ్లేషణలో చతుర్థాంశాలు ఉపయోగపడతాయి.

1) శతాంశాలు

ఒక ఓజివ్ వక్రం (సంకలన పౌనఃపున్య గ్రాఫ్) ప్రధానంగా శతాంశాలు, చతుర్థాంశాలు మరియు మధ్యగతం లను నిర్ణయించడానికి ఉపయోగించబడుతుంది. ఇది ఒక నిర్దిష్ట విలువ కంటే తక్కువగా ఉన్న డేటా పాయింట్ల నిష్పత్తిని గుర్తించడంలో సహాయపడుతుంది, దీని వలన శతాంశాల లెక్కలకు ఇది ఉపయోగకరంగా ఉంటుంది.

• సగటును ఓజివ్ నుండి నేరుగా పొందలేము.
• పరిమాణాలు (చతుర్థాంశాలు మరియు దశాంశాల వంటివి) అంచనా వేయవచ్చు, కానీ ప్రాధమిక ఉపయోగం శతాంశాలు.
• సగటును ఓజివ్ నుండి ఉద్భవించలేకపోవడం వల్ల, "పైవన్నీ" అనేది తప్పు.

భావన:

బహుళకం, మధ్యస్థం మరియు మధ్యమం మధ్య సంబంధం ఇలా ఇవ్వబడింది:

బహుళకం = 3 × మధ్యస్థం - 2 × మధ్యమం

లెక్కింపు:

బహుళకం - మధ్యస్థం = 2

మనకు తెలిసినట్లు

బహుళకం = 3 × మధ్యస్థం - 2 × మధ్యమం

బహుళకం = 2 + మధ్యస్థం

(2 + మధ్యస్థం) = 3 మధ్యస్థం - 2 మధ్యమం

⇒ 2మధ్యస్థం - 2 మధ్యమం = 2

ఒక సంచిలో 3 తెలుపు, 2 నీలం మరియు 5 ఎరుపు బంతులు ఉన్నాయి.

మొత్తం బంతుల సంఖ్య = 3 + 2 + 5 = 10

ఎరుపు రంగులో లేని బంతుల సంఖ్య = 10 - 5 = 5

పద్దతి:

మొదటి క్రమాన్ని పరిష్కరించడానికి, మొదటి-డిగ్రీ అవకలన సమీకరణాలు ఎల్లప్పుడూ వేరియబుల్ సెపరేషన్ పద్ధతిలో పరిశీలించాలి.

సాధన:

అవకలన సమీకరణం ప్రకారం,

\(\frac{{dy}}{{dx}} + 7{x^2}y = 0 \Rightarrow \frac{{dy}}{{dx}} = - 7{x^2}y\), separating variables

\(\frac{{dy}}{y} = - 7{x^2}dx\), ఇరువైపులా ఏకీకరించగా ;

\(\smallint \frac{{dy}}{y} = - 7\smallint {x^2}dx;lny = - 7\frac{{{x^3}}}{3} + lnA\)

ఇక్కడ A స్థిరసంఖ్య.

\(\ln y - \ln A = - \frac{{7{x^3}}}{3} \Rightarrow \ln \left( {\frac{y}{A}} \right) = - \frac{{7{x^3}}}{3}\)

\(\frac{y}{A} = {e^{ - \frac{7}{3}{x^3}}} \Rightarrow y = A{e^{ - \frac{7}{3}{x^3}}}\) …(1)

సమీకరణం(1)  \(y\left( 0 \right) = \frac{3}{7}\) ని ప్రతిక్షేపించిన

\(\Rightarrow \frac{3}{7} = A\;use\;in\;(1) \Rightarrow y = \frac{3}{7}{e^{ - \frac{{7{x^3}}}{3}}}\)

Key Points

మొదటి ఆర్డర్ ఫస్ట్-డిగ్రీ అవకలన సమీకరణాలను పరిష్కరించే అన్ని పద్ధతులను ప్రాక్టీస్ చేయండి.

ఈ ప్రశ్నలలో, ఎంపికలు చాలా గందరగోళంగా ఉన్నాయి. కాబట్టి, అన్ని ఎంపికలను జాగ్రత్తగా అధ్యయనం చేయండి.

భావన :

సంభావ్యత సిద్ధాంతంలో, మరొక సంఘటన ఇప్పటికే సంభవించినట్లయితే, ఒక సంఘటన యొక్క సంభావ్యత కొలతను షరతులతో కూడిన సంభావ్యతగా సూచిస్తారు.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యతను గణించడానికి, మునుపటి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత మరియు తదుపరి ఈవెంట్ యొక్క సంభావ్యత గుణించబడుతుంది.

షరతులతో కూడిన సంభావ్యత ద్వారా ఇవ్వబడింది

\(P\left( {{E_1}/{E_2}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_2}} \right)}}\)

\(P\left( {{E_2}/{E_1}} \right) = \frac{{P\left( {{E_1} \cap {E_2}} \right)}}{{P\left( {{E_1}} \right)}}\)

E 1 మరియు E 2 ఈవెంట్‌లు.

సాధన:

ఇచ్చిన దత్తాంశం:

ఉర్న్‌లో 5 ఎర్ర బంతులు, 5 నల్లని బంతులు ఉంటాయి.

ఒక బంతి యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడుతుంది.

కేస్ (i): మొదటి బంతి ఎరుపు బంతి

రెండో డ్రాలో ఎర్ర బంతి వచ్చే అవకాశం ఉంది

\({P_1} = \frac{5}{{10}} \times \frac{4}{9} = \frac{2}{9}\)

కేసు (ii): మొదటి బంతి నల్ల బంతి

రెండో డ్రాలో ఎర్ర బంతి వచ్చే అవకాశం ఉంది

\({P_2} = \frac{5}{{10}} \times \frac{5}{9} = \frac{5}{{18}}\)

అవసరమైన సంభావ్యత (P) \(= {P_1} + {P_2} = \frac{2}{9} + \frac{5}{{18}} = \frac{1}{2}\)

కాన్సెప్ట్:

ఇచ్చిన డేటా ప్రకారం,

9, 5, 8, 9, 9, 7, 8, 9, 8

5, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9

⇒ మధ్యస్థం = 8

⇒ బహుళకం = 9

బహుళకం= (9 + 5 + 8 + 9 + 9 + 7 + 8 + 9 + 8)/9 = 8

∴ మధ్యస్థం, బహుళకం, మాధ్యమం = (8, 9, 8)

భావన:

x యొక్క సమీకరణంలో y = f(x) సమీకరణంలో పరిగణించండి.

(విలువ గరిష్టంగా లేదా కనిష్టంగా లేదా రెండూ కావచ్చు).

గరిష్టంగా:

• స్థానిక మాగ్జిమా: స్థానిక మాగ్జిమా కంటే గరిష్ట విలువ ఎక్కువగా ఉన్న మరొక పాయింట్ ఉన్నట్లయితే, ఆ పాయింట్ స్థానిక మాగ్జిమాకు సమీపంలో లేనట్లయితే, ఒక పాయింట్ అనేది ఫంక్షన్ యొక్క స్థానిక మాగ్జిమా.
• గ్లోబల్ మాక్సిమా: ఇది డొమైన్‌లో వేరే పాయింట్ లేని పాయింట్, గ్లోబల్ మాక్సిమా కంటే ఫంక్షన్‌కు ఎక్కువ విలువ ఉంటుంది.

పరిస్థితి:

f"(x) < 0 ⇒ గరిష్టం

f"(x) > 0 ⇒ కనిష్ట

f"(x) = 0 ⇒ పాయింట్ ఆఫ్ ఇన్‌ఫ్లెక్షన్

సాధన:

ఇచ్చిన సమస్య:

f(x) = (k2 - 4)x2 + 6x3 + 8x4

f'(x) = 2(k2 - 4)x + 18x2 + 32x3

f''(x) = 2(k2 - 4) + 36x + 96x2

కాబట్టి, x = 0 వద్ద, f(x) స్థానిక గరిష్టాన్ని కలిగి ఉంటుంది

f''(0) < 0

2(k2 - 4) + 36 × 0 + 96 × 0 < 0

k2 - 4 < 0

ఇక్కడ, 0 కంటే తక్కువగా ఉంచడానికి, k విలువ తప్పనిసరిగా -2 నుండి 2 మధ్య ఉండాలి.

⇒ -2 < k < 2

Mistake Points

గరిష్ట స్థితి అసమానత కాబట్టి, దానిని సమీకరణంగా ఉపయోగించవద్దు, అనగా k2 - 4 = 0. ఇది k = ± 2ని ఇస్తుంది మరియు K < -2 లేదా k > 2కి సమాధానాన్ని మారుస్తుంది.

ఇచ్చినది,

ఇచ్చిన AP అనేది13, 11, 9....

సూత్రం:

T_nt = a + (n - 1)d

a = మొదటి పదం

d = సాధారణ పదం

గణన:

a = 13

d = 11 - 13

d = (-2)

T50 = 13 + (50 – 1) × (-2)

⇒ T50 = 13 + 49 × (-2)

⇒ T50 = 13 – 98

∴ T50 = -85

ఉపయోగించిన భావన:

సమమితిక మాత్రిక - ఒక మాత్రిక యొక్క పరివర్తన (ట్రాన్స్‌పోజ్) అదే మాత్రికకు సమానమైతే, ఆ మాత్రికను సమమితిక మాత్రిక అంటారు. ఉదా - A = A' మరియు B = B'

వక్ర సమమితిక మాత్రిక - ఒక మాత్రిక యొక్క పరివర్తన (ట్రాన్స్‌పోజ్) ఆ మాత్రిక యొక్క రుణాత్మక విలువకు సమానమైతే, ఆ మాత్రికను వక్ర సమమితిక మాత్రిక అంటారు.

ఉదా - a_ij = -a_ji

గణన:

సమమితిక మాత్రిక మరియు వక్ర సమమితిక మాత్రికల మొత్తాన్ని చతురస్ర మాత్రిక అంటారు.

∴ సమమితిక మాత్రిక, వక్ర సమమితిక మాత్రిక

ఇచ్చిన దత్తాంశం:  

P(A) = 0.60

P(B/A) = 0.10

భావన:    

P(A | B) ⋅ P(B) = P(B | A) ⋅ P(A)

సాధన:            

A ఈవెంట్‌గా ఉండనివ్వండి: ఉద్యోగులు గ్రాడ్యుయేట్

B ఈవెంట్‌గా ఉండనివ్వండి: ఉద్యోగులు విక్రయాల్లో ఉన్నారు

⇒ P(B) = P(A).P(B/A) + P(A'). P(B/A)'

⇒ 0.60 x 0.10 + 0.40 x 0.80

∴ యాదృచ్ఛికంగా ఎంపిక చేయబడిన ఉద్యోగి విక్రయాలలో ఉండే సంభావ్యత 0.38

 Important Points

సంభావ్యత ఎల్లప్పుడూ 0 నుండి 1 మధ్య ఉంటుంది